Διάστημα μήκους 1

Σ' αυτόν τόν φάκελο καταχωρούνται, γιά περιορισμένο χρονικό διάστημα, ασκήσεις πού προτείνονται από οποιοδήποτε μέλος, αλλά η επίλυσή τους αφήνεται ΜΟΝΟ στούς μαθητές.

Συντονιστής: polysot

Λάμπρος Κατσάπας
Δημοσιεύσεις: 729
Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Διάστημα μήκους 1

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Κατσάπας » Τετ Νοέμ 20, 2019 9:22 pm

Να βρεθούν όλες οι θετικές πραγματικές τιμές της παραμέτρου a ώστε οι κοινές λύσεις των

ανισώσεων x^2-2x\leq a^2-1 και x^2-4x\leq -a-2 να σχηματίζουν διάστημα μήκους 1

στην ευθεία των πραγματικών.

21-11



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 839
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: Διάστημα μήκους 1

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Τετ Νοέμ 20, 2019 10:33 pm

Λάμπρος Κατσάπας έγραψε:
Τετ Νοέμ 20, 2019 9:22 pm
Να βρεθούν όλες οι θετικές πραγματικές τιμές της παραμέτρου a ώστε οι κοινές λύσεις των

ανισώσεων x^2-2x\leq a^2-1 και x^2-4x\leq -a-2 να σχηματίζουν διάστημα μήκους 1

στην ευθεία των πραγματικών.

21-11
x^2-2x\leq a^2-1\Leftrightarrow \left ( x-1 \right )^2\leq a^2\Leftrightarrow -a\leq x-1\leq a\Leftrightarrow -a+1\leq x\leq a+1
x^2-4x\leq -a-2\Leftrightarrow \left ( x-2 \right )^2\leq -a+2\Leftrightarrow -\sqrt{-a+2}\leq x-2\leq \sqrt{-a+2},0<a\leq 2\Leftrightarrow ...2-\sqrt{-a+2}\leq x\leq \sqrt{-a+2}+2
Διακρίνουμε περιπτώσεις:
  • a\in \left ( \dfrac{\sqrt{5}+1}{2},2 \right ]
    2+\sqrt{-a+2}\leq a+1\Leftrightarrow -a+2\leq a^2-2a+1\Leftrightarrow a^2-a-1\geq 0\overset{a\geq 0}{\Leftrightarrow }a\geq \dfrac{\sqrt{5}+1}{2} που ισχύει ,άρα και η αρχική.
    2-\sqrt{-a+2}\geq -a+1\Leftrightarrow -a+2\leq a^2+2a+1\Leftrightarrow a^2+3a-1\geq 0\overset{a> 0}{\Leftrightarrow }a\geq \dfrac{\sqrt{13}-3}{2} <\dfrac{\sqrt{5}+1}{2} άρα και αυτή ισχύει .Οι κοινές λύσεις είναι 2-\sqrt{-a+2}\leq x \leq 2+\sqrt{-a+2}
    και πρέπει \left ( 2+\sqrt{-a+2} \right )-\left ( 2-\sqrt{-a+2} \right )=1\Leftrightarrow \sqrt{-a+2}=\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow a=\dfrac{7}{4}
  • a\in [\dfrac{\sqrt{13}-3}{2},\dfrac{\sqrt{5}+1}{2}).Όμοια οι κοινές λύσεις είναι οι 2-\sqrt{-a+2}\leq x\leq a+1 και πρέπει a+1-\left ( 2-\sqrt{-a+2} \right )=1 \Leftrightarrow \sqrt{-a+2}= -a+2 \overset{a\neq 2}{\Leftrightarrow} -a+2=1\Leftrightarrow a=1
  • a\in \left ( 0,\dfrac{\sqrt{13}-3}{2} \right ) όμοια οι κοινές λύσεις είναι οι -a+1\leq x\leq a+1
    και πρέπει a+1-\left ( -a+1 \right )=1\Leftrightarrow a=\dfrac{1}{2}>\dfrac{\sqrt{13}-3}{2} άρα απορρίπτεται.
Συνολικά είναι a=1,a=\dfrac{7}{4}


Απάντηση

Επιστροφή σε “Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης