Πόσες τιμές;

Σ' αυτόν τόν φάκελο καταχωρούνται, γιά περιορισμένο χρονικό διάστημα, ασκήσεις πού προτείνονται από οποιοδήποτε μέλος, αλλά η επίλυσή τους αφήνεται ΜΟΝΟ στούς μαθητές.

Συντονιστής: polysot

Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11549
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Πόσες τιμές;

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Πέμ Νοέμ 07, 2019 1:10 pm

Αν abc\ne 0, ποιες είναι οι δυνατές τιμές που μπορεί να λάβει η παράσταση

\displaystyle{\dfrac {a}{|a|}+ \dfrac {b}{|b|} + \dfrac {c}{|c|} +\dfrac {abc}{|abc|}} ;

Κάνει για μικρές τάξεις του Γυμνασίου.



Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11549
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Πόσες τιμές;

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Κυρ Νοέμ 10, 2019 10:01 pm

Ανοικτή σε όλους.


Άβαταρ μέλους
Christos.N
Δημοσιεύσεις: 1715
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 26, 2009 2:28 pm
Τοποθεσία: Ίλιον

Re: Πόσες τιμές;

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Christos.N » Κυρ Νοέμ 10, 2019 10:54 pm

\displaystyle{\dfrac {a}{|a|}+ \dfrac {b}{|b|} + \dfrac {c}{|c|} +\dfrac {abc}{|abc|}}=(-1)^i+(-1)^j+(-1)^k+(-1)^{i+j+k},i,j,k\in\{0,1\}

\begin{matrix} 
i &j  &k  &(i+j+k)mod2 \\  
 1&  1& 1 & 1\\  
 1&  1&  0 & 0\\  
 1&  0&  1& 0\\  
 1&  0&  0& 1\\  
 0&  1&  1& 0\\  
 0&  1&  0& 1\\  
 0&  0&  1&1\\ 
0& 0& 0&0 
\end{matrix}

\displaystyle{\dfrac {a}{|a|}+ \dfrac {b}{|b|} + \dfrac {c}{|c|} +\dfrac {abc}{|abc|}}\in\{-4,0,4\}


Χρήστος Ντάβας
Wir müssen wissen — wir werden wissen! D.Hilbert
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 4436
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Πόσες τιμές;

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Κυρ Νοέμ 10, 2019 10:58 pm

Καλησπέρα σε όλους. Κάπως πιο "γυμνασιακά" σε σχέση με την απάντηση του Χρήστου.

Απάντηση:
Αν είναι όλοι θετικοί, τότε abc>0, οπότε  \displaystyle \frac{a}{{|a|}} + \frac{b}{{|b|}} + \frac{c}{{|c|}} + \frac{{abc}}{{|abc|}} = 4

Αν είναι δύο θετικοί, τότε abc<0, οπότε  \displaystyle \frac{a}{{|a|}} + \frac{b}{{|b|}} + \frac{c}{{|c|}} + \frac{{abc}}{{|abc|}} = 0
Αν είναι ένας θετικός, τότε abc>0, οπότε  \displaystyle \frac{a}{{|a|}} + \frac{b}{{|b|}} + \frac{c}{{|c|}} + \frac{{abc}}{{|abc|}} = 0

Αν είναι όλοι αρνητικοί, τότε abc<0, οπότε  \displaystyle \frac{a}{{|a|}} + \frac{b}{{|b|}} + \frac{c}{{|c|}} + \frac{{abc}}{{|abc|}} =  - 4


Θα περιγράψω πώς θα το παρουσίαζα σε μια τάξη Γυμνασίου(*)

(*) Σε πρώτη επαφή με την έννοια της απόλυτης τιμής ερχόμαστε στο 7ο κεφάλαιο της Άλγεβρας στην Α΄ Γυμνασίου.


Ξεκινάμε από το το  \displaystyle \frac{a}{{\left| a \right|}} . Συζητάμε για τον παρονομαστή. Το βλέμμα πέφτει στην αφισούλα που έχουμε στην τάξη των Μαθηματικών (στο σχολείο έχουμε διάταξη αιθουσών μαθημάτων κι ότι αίθουσες τμημάτων).

Εύκολα καταλήγουμε ότι μπορεί να πάρει δύο τιμές: -1, 1.

Τώρα πάμε στο άθροισμα  \displaystyle \frac{a}{{\left| a \right|}} + \frac{b}{{\left| b \right|}} . Βλέπουμε ότι αφού τα a, b παίρνουν τιμές ανεξάρτητα το ένα από το άλλο, το άθροισμά τους μπορεί να είναι -2, 0, 2.

Ομοίως για το  \displaystyle \frac{a}{{\left| a \right|}} + \frac{b}{{\left| b \right|}} + \frac{c}{{\left| c \right|}} που είναι -3, -1, 1, 3 και τέλος πάμε στο αρχικό, για το οποίο βλέπουμε ότι υπάρχει εξάρτηση στο τελευταίο κλάσμα με τα προηγούμενα.

Αφισούλα:
25442903-981673048652039-601804744753776177-n_orig.jpg
25442903-981673048652039-601804744753776177-n_orig.jpg (27.36 KiB) Προβλήθηκε 163 φορές


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2694
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Πόσες τιμές;

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Κυρ Νοέμ 10, 2019 11:22 pm

Εστω f(x)=\frac{x}{|x|},f(x)=-1 or 1
γράφεται
f(a)(1+f(b)f(c))+f(b)+f(c)

αν f(b)f(c)=-1 προφανώς η τιμή της παράστασης είναι 0

αν f(b)f(c)=1

τότε για f(b)=f(c)=1 η τιμή της είναι 0 η 4

ενώ αν f(b)=f(c)=-1 τιμή της είναι 0 η -4

οι τιμές που παίρνει είναι 0,4,-4


Απάντηση

Επιστροφή σε “Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης