Γίνεται;

Λάμπρος Κατσάπας · #1

Έχουμε

παίκτες οι οποίοι διαγωνίστηκαν σε ένα τουρνουά τένις στο οποίο κάθε παίκτης παίζει από μια φορά με

όλους τους υπόλοιπους. Κάθε νίκη μέτρησε ως

πόντος και κάθε ήττα ως

πόντοι.

Για τρεις παίκτες A,B,C

από τους

είχαμε τα εξής αποτελέσματα.

Ο

έχασε από τον

ο οποίος έχασε από τον

Στο τέλος του τουρνουά οι διοργανωτές ανακοίνωσαν την τελική κατάταξη όπου κάθε παίκτης τερμάτισε με διαφορετικό

αριθμό πόντων από τους υπόλοιπους. Μήπως έγινε κάποιο λάθος στους πόντους;

29/10

Ορέστης Λιγνός · #2

Λάμπρος Κατσάπας έγραψε: ↑
Δευ Οκτ 28, 2019 10:03 am
Έχουμε παίκτες οι οποίοι διαγωνίστηκαν σε ένα τουρνουά τένις στο οποίο κάθε παίκτης παίζει από μια φορά με

όλους τους υπόλοιπους. Κάθε νίκη μέτρησε ως πόντος και κάθε ήττα ως πόντοι.

Για τρεις παίκτες από τους είχαμε τα εξής αποτελέσματα.

Ο έχασε από τον ο οποίος έχασε από τον ο οποίος έχασε από τον

Στο τέλος του τουρνουά οι διοργανωτές ανακοίνωσαν την τελική κατάταξη όπου κάθε παίκτης τερμάτισε με διαφορετικό

αριθμό πόντων από τους υπόλοιπους. Μήπως έγινε κάποιο λάθος στους πόντους;

29/10

Έστω $P_1, P_2, \ldots, P_N$ οι παίκτες. Προφανώς παίχτηκαν $\displaystyle \binom{N}{2}=\dfrac{N(N-1)}{2}$ παιχνίδια, και αφού σε κάθε αγώνα ''μετράμε''

πόντο συνολικά (1 πόντος που παίρνει ο νικητής και 0 που παίρνει ο ηττημένος).

Άρα, $P_1+P_2+ \ldots +P_N=\dfrac{N(N-1)}{2}$ .

Αν τώρα, όλα τα P_i

είναι διαφορετικά μεταξύ τους, δηλαδή όλοι οι παίκτες είχαν διαφορετικό αριθμό πόντων μεταξύ τους, τότε WLOG $P_N>P_{N-1} > \ldots >P_1$ .

Αν $P_1 \geqslant 1$ , τότε $P_2 >P_1 \geqslant 1 \Rightarrow P_2 \geqslant 2$ , και άρα $P_j \geqslant j$ , για κάθε

οπότε $P_1+\ldots+P_N \geqslant 1+2+\ldots +N =\dfrac{N(N+1)}{2} > \dfrac{N(N-1)}{2}$ , άτοπο.

Οπότε, P_1=0

, και αν $P_2 \geqslant 2$ , ομοίως με ανισοτικές σχέσεις έχουμε άτοπο, άρα P_2=1

και συνεχίζοντας έχουμε P_j=j-1

για κάθε

.

Τώρα όμως, ο παίκτης P_1

έχει

πόντους, δηλαδή με όποιον έπαιξε ηττήθηκε, άρα και με τον P_2

, ο οποίος έχει μόνο μία νίκη (έναν πόντο).

Συνεπώς, ο P_2

νίκησε μόνο τον P_1

. Όμοια, ο P_3

νίκησε σίγουρα τον P_1

αλλά και τον P_2

(που δεν έχει καμία άλλη νίκη εκτός αυτής επί του P_1

).

Συνεχίζοντας, έχουμε ότι ο P_i

νίκησε όλους τους P_j

για κάθε

, και μόνον αυτούς. (1)

Έστω τώρα, ότι ο παίκτης

είναι ο

, ο παίκτης

είναι ο $P_\ell$ και ο παίκτης

είναι ο

.

Τότε, αφού o $P_\ell$ νίκησε τον P_k

(ο

νίκησε τον

), από την (1), έχω ότι $\ell>k$ . Ομοίως, ο P_m

νίκησε τον $P_\ell$ , οπότε $m>\ell$ και ο P_k

νίκησε τον P_m

, άρα

.

Συνεπώς, $\ell>k>m>\ell$ , άτοπο!

Οπότε, μία τέτοια κατάσταση είναι αδύνατη.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

Ορέστης Λιγνός έγραψε: ↑
Δευ Οκτ 28, 2019 2:00 pm

Λάμπρος Κατσάπας έγραψε: ↑
Δευ Οκτ 28, 2019 10:03 am
Έχουμε παίκτες οι οποίοι διαγωνίστηκαν σε ένα τουρνουά τένις στο οποίο κάθε παίκτης παίζει από μια φορά με

όλους τους υπόλοιπους. Κάθε νίκη μέτρησε ως πόντος και κάθε ήττα ως πόντοι.

Για τρεις παίκτες από τους είχαμε τα εξής αποτελέσματα.

Ο έχασε από τον ο οποίος έχασε από τον ο οποίος έχασε από τον

Στο τέλος του τουρνουά οι διοργανωτές ανακοίνωσαν την τελική κατάταξη όπου κάθε παίκτης τερμάτισε με διαφορετικό

αριθμό πόντων από τους υπόλοιπους. Μήπως έγινε κάποιο λάθος στους πόντους;

29/10
Έστω $P_1, P_2, \ldots, P_N$ οι παίκτες. Προφανώς παίχτηκαν $\displaystyle \binom{N}{2}=\dfrac{N(N-1)}{2}$ παιχνίδια, και αφού σε κάθε αγώνα ''μετράμε'' πόντο συνολικά (1 πόντος που παίρνει ο νικητής και 0 που παίρνει ο ηττημένος).

Άρα, $P_1+P_2+ \ldots +P_N=\dfrac{N(N-1)}{2}$ .

Αν τώρα, όλα τα είναι διαφορετικά μεταξύ τους, δηλαδή όλοι οι παίκτες είχαν διαφορετικό αριθμό πόντων μεταξύ τους, τότε WLOG $P_N>P_{N-1} > \ldots >P_1$ .

Αν $P_1 \geqslant 1$ , τότε $P_2 >P_1 \geqslant 1 \Rightarrow P_2 \geqslant 2$ , και άρα $P_j \geqslant j$ , για κάθε οπότε $P_1+\ldots+P_N \geqslant 1+2+\ldots +N =\dfrac{N(N+1)}{2} > \dfrac{N(N-1)}{2}$ , άτοπο.

Οπότε, , και αν $P_2 \geqslant 2$ , ομοίως με ανισοτικές σχέσεις έχουμε άτοπο, άρα και συνεχίζοντας έχουμε για κάθε .

Θεωρώ ότι αυτό θα μπορούσε να προκύψει ευκολότερα.
Κάθε παίκτης μπορεί να κάνει από

εως

νίκες.
Αφου όλοι εχουν κάνει διαφορετικό αριθμό νικών και είναι

το πλήθος
θα μπορούμε να τους διατάξουμε έτσι ώστε P_j=j-1

κλπ

Γίνεται;

Γίνεται;

Re: Γίνεται;

Re: Γίνεται;

Μέλη σε σύνδεση