Με άριστα το 10

Γιώργος Μήτσιος · #1

Γεια σας.

: Με άριστα το 10.PNG (9.35 KiB) Προβλήθηκε 672 φορές

Το τρίγωνο ABC

έχει

και

.Θεωρούμε οποιοδήποτε σημείο

επί της πλευράς

.

Η

τέμνει την διχοτόμο της $\widehat{A}$ στο σημείο

.

Ο κύκλος που ορίζουν τα B,E,H

τέμνει ξανά την

στο

.Να δειχθεί ότι ισχύει $BN\leq 10$ .

ώρες για τους μαθητές. Ευχαριστώ , Γιώργος.

#2

Γιώργος Μήτσιος έγραψε: ↑
Τετ Οκτ 16, 2019 11:30 pm
Γεια σας.
Με άριστα το 10.PNG
Το τρίγωνο έχει και .Θεωρούμε οποιοδήποτε σημείο επί της πλευράς .

Η τέμνει την διχοτόμο της $\widehat{A}$ στο σημείο .

Ο κύκλος που ορίζουν τα τέμνει ξανά την στο .Να δειχθεί ότι ισχύει $BN\leq 10$ .

ώρες για τους μαθητές. Ευχαριστώ , Γιώργος.

Καλημέρα!

: Άριστα 10.png (15.81 KiB) Προβλήθηκε 556 φορές

Έχει αποδειχθεί εδώ ότι το BN=m

μεγιστοποιείται όταν γίνει διάμετρος του κύκλου και $\displaystyle EB = 2b - \sqrt {4{b^2} - {a^2}} = 6.$

Με Π.Θ τώρα, $\displaystyle {m^2} = {(18 - m)^2} + 36 \Leftrightarrow m = 10,$ άρα $\boxed{BN\leq 10}$

Γιώργος Μήτσιος · #3

Καλό βράδυ. Ευχαριστώ τον Γιώργο για την ως άνω λύση αλλά και για την συμβολή του στην ..ακόλουθη:

: Με άριστα το 10 Β.PNG (7.71 KiB) Προβλήθηκε 457 φορές

Εύκολα βρίσκουμε ότι το ύψος AM=12

οπότε $\eta \mu B=\dfrac{12}{15}=\dfrac{4}{5}$ . Ακόμη οι γωνίες $\theta$ είναι ίσες άρα EN=NC=BC-BN

.

Ο Νόμος ημιτόνων στο τρίγωνο BEN

μας δίνει $\dfrac{BN}{\eta \mu x}=\dfrac{BC-BN}{\eta \mu B}\Leftrightarrow BN=\dfrac{BC\eta \mu x}{\eta \mu B+\eta \mu x}$ .

Αρκεί να δείξουμε $\dfrac{BC\eta \mu x}{\eta \mu B+\eta \mu x}\leq 10\Leftrightarrow BC\eta \mu x\leq 10\eta \mu B+10\eta \mu x$

και για $BC=18..\eta \mu B=\dfrac{4}{5}$ ισοδύναμα αρκεί να δείξουμε ότι

$18\eta \mu x\leq 10\cdot \dfrac{4}{5}+10\eta \mu x\Leftrightarrow \eta \mu x\leq 1$ που ισχύει . Άρα $BN\leq10$ .Φιλικά , Γιώργος.

Με άριστα το 10

Με άριστα το 10

Re: Με άριστα το 10

Re: Με άριστα το 10

Μέλη σε σύνδεση