Με άριστα το 10

Σ' αυτόν τόν φάκελο καταχωρούνται, γιά περιορισμένο χρονικό διάστημα, ασκήσεις πού προτείνονται από οποιοδήποτε μέλος, αλλά η επίλυσή τους αφήνεται ΜΟΝΟ στούς μαθητές.

Συντονιστής: polysot

Άβαταρ μέλους
Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 1084
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Με άριστα το 10

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Τετ Οκτ 16, 2019 11:30 pm

Γεια σας.
Με άριστα το 10.PNG
Με άριστα το 10.PNG (9.35 KiB) Προβλήθηκε 334 φορές
Το τρίγωνο ABC έχει AB=AC=15 και BC=18.Θεωρούμε οποιοδήποτε σημείο E επί της πλευράς AB.

Η CE τέμνει την διχοτόμο της \widehat{A} στο σημείο H.

Ο κύκλος που ορίζουν τα B,E,H τέμνει ξανά την BC στο N.Να δειχθεί ότι ισχύει BN\leq 10.

24 ώρες για τους μαθητές. Ευχαριστώ , Γιώργος.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8423
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Με άριστα το 10

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Παρ Οκτ 18, 2019 10:50 am

Γιώργος Μήτσιος έγραψε:
Τετ Οκτ 16, 2019 11:30 pm
Γεια σας.
Με άριστα το 10.PNG
Το τρίγωνο ABC έχει AB=AC=15 και BC=18.Θεωρούμε οποιοδήποτε σημείο E επί της πλευράς AB.

Η CE τέμνει την διχοτόμο της \widehat{A} στο σημείο H.

Ο κύκλος που ορίζουν τα B,E,H τέμνει ξανά την BC στο N.Να δειχθεί ότι ισχύει BN\leq 10.

24 ώρες για τους μαθητές. Ευχαριστώ , Γιώργος.
Καλημέρα!
Άριστα 10.png
Άριστα 10.png (15.81 KiB) Προβλήθηκε 218 φορές
Έχει αποδειχθεί εδώ ότι το BN=m μεγιστοποιείται όταν γίνει διάμετρος του κύκλου και \displaystyle EB = 2b - \sqrt {4{b^2} - {a^2}}  = 6.

Με Π.Θ τώρα, \displaystyle {m^2} = {(18 - m)^2} + 36 \Leftrightarrow m = 10, άρα \boxed{BN\leq 10}


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 1084
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Re: Με άριστα το 10

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Παρ Οκτ 25, 2019 11:50 pm

Καλό βράδυ. Ευχαριστώ τον Γιώργο για την ως άνω λύση αλλά και για την συμβολή του στην ..ακόλουθη:
Με άριστα το 10 Β.PNG
Με άριστα το 10 Β.PNG (7.71 KiB) Προβλήθηκε 119 φορές
Εύκολα βρίσκουμε ότι το ύψος AM=12 οπότε \eta \mu B=\dfrac{12}{15}=\dfrac{4}{5}. Ακόμη οι γωνίες \theta είναι ίσες άρα EN=NC=BC-BN.

Ο Νόμος ημιτόνων στο τρίγωνο BEN μας δίνει \dfrac{BN}{\eta \mu x}=\dfrac{BC-BN}{\eta \mu B}\Leftrightarrow BN=\dfrac{BC\eta \mu x}{\eta \mu B+\eta \mu x}.

Αρκεί να δείξουμε \dfrac{BC\eta \mu x}{\eta \mu B+\eta \mu x}\leq 10\Leftrightarrow BC\eta \mu x\leq 10\eta \mu B+10\eta \mu x

και για BC=18..\eta \mu B=\dfrac{4}{5} ισοδύναμα αρκεί να δείξουμε ότι

18\eta \mu x\leq 10\cdot \dfrac{4}{5}+10\eta \mu x\Leftrightarrow \eta \mu x\leq 1 που ισχύει . Άρα BN\leq10 .Φιλικά , Γιώργος.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης