Εκτίμηση αριθμού

Σ' αυτόν τόν φάκελο καταχωρούνται, γιά περιορισμένο χρονικό διάστημα, ασκήσεις πού προτείνονται από οποιοδήποτε μέλος, αλλά η επίλυσή τους αφήνεται ΜΟΝΟ στούς μαθητές.

Συντονιστής: polysot

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2638
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Εκτίμηση αριθμού

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Δευ Σεπ 23, 2019 1:44 pm

Εστω

A=\sqrt{95+\sqrt{21+\sqrt{15}}}

Δείξτε ότι

9,999< A<10

Μέχρι 25-9-2019



Λέξεις Κλειδιά:
Summand
Δημοσιεύσεις: 15
Εγγραφή: Πέμ Σεπ 05, 2019 12:10 am

Re: Εκτίμηση αριθμού

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Summand » Δευ Σεπ 23, 2019 8:08 pm

Καλησπέρα. Η απόδειξη για το 9,999<A είναι άσχημη, κάτι πρέπει να χάνω, σίγουρα υπάρχει καλύτερος τρόπος.


Αρχικά έχουμε 10=\sqrt{100}=\sqrt{95+5}=\sqrt{95+\sqrt{25}}=\sqrt{95+\sqrt{21+4}}=\sqrt{95+\sqrt{21+\sqrt{16}}}


Άρα 10=\sqrt{95+\sqrt{21+\sqrt{16}}}>\sqrt{95+\sqrt{21+\sqrt{15}}}=A\Leftrightarrow 10>A


Για τη δεύτερη ανίσωση 9,999<A υψώνουμε στο τετράγωνο, αφού οι όροι είναι θετικοί και έχουμε

99,980001<95+\sqrt{21+\sqrt{15}}\Leftrightarrow 4,980001<\sqrt{21+\sqrt{15}}


Υψώνοντας ξανά στο τετράγωνο παίρνουμε 24,800409960001<21+\sqrt{15}\Leftrightarrow 3,800409960001<\sqrt{15}


Τετραγωνίζοντας για τελευταία φορά προκύπτει 3,800409960001<\sqrt{15}\Leftrightarrow 14,443115864074802419920001<15 που αληθεύει

και το ζητούμενο έπεται.


Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8248
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Εκτίμηση αριθμού

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Τρί Σεπ 24, 2019 9:08 am

Έχουμε

\displaystyle  10-A = \frac{100-A^2}{10+A} = \frac{5-\sqrt{21+\sqrt{15}}}{10+A} < \frac{5-\sqrt{21+\sqrt{15}}}{19} .

Η τελευταία ισότητα ισχύει αφού A > \sqrt{95} > 9.

Με παρόμοιο τρόπο έχουμε \displaystyle  5-\sqrt{21+\sqrt{15}} = \frac{4-\sqrt{15}}{5+\sqrt{21+\sqrt{15}}} < \frac{4-\sqrt{15}}{9}

και \displaystyle  4-\sqrt{15} = \frac{1}{4+\sqrt{15}} < \frac{1}{7}.

Άρα \displaystyle  10-A < \frac{1}{19\cdot 9 \cdot 7} < \frac{1}{1000}

όπως θέλαμε να δείξουμε.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης