Λόγος καθέτων πλευρών

#1

: Λόγος καθέτων πλευρών.png (8.08 KiB) Προβλήθηκε 594 φορές

Έστω

σημείο της υποτείνουσας

ορθογωνίου τριγώνου ABC,

ώστε

Αν επιπλέον $PA=\dfrac{3PB}{4},$ να υπολογίσετε το λόγο $\dfrac{b}{c}.$

24 ώρες μόνο για μαθητές

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #2

george visvikis έγραψε: ↑
Τρί Ιούλ 30, 2019 6:22 pm
Λόγος καθέτων πλευρών.png

Έστω σημείο της υποτείνουσας ορθογωνίου τριγώνου ώστε

Αν επιπλέον $PA=\dfrac{3PB}{4},$ να υπολογίσετε το λόγο $\dfrac{b}{c}.$

24 ώρες μόνο για μαθητές

Θέτω

, $\cos\widehat{APB}=x$

Με νόμο συνημιτόνων στα APB,APC

και πυθαγόρειο στο ABC

είναι $\left\{\begin{matrix} & b^2=\dfrac{9}{4}k^2+k^2+2k\dfrac{3}{2}kx & \\ & c^2=4k^2+\dfrac{9}{4}k^2-2\dfrac{3}{2}k\cdot 2kx & \\ & b^2+c^2=9k^2& \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} & b^2=\dfrac{15}{4}k^2 & \\ & c^2=\dfrac{21}{4}k^2 & \\ & x=\dfrac{1}{6} & \end{matrix}\right.\Rightarrow \dfrac{b}{c}=\sqrt{\dfrac{5}{7}}$

#3

Ας είναι

το μέσο του $BC = 12k,\,\,k > 0$ και

το ύψος προς την υποτείνουσα.

Θα είναι: $\left\{ \begin{gathered} PC = 4k\,\,\,,\,\,PB = 8k \hfill \\ AP = \frac{3}{4}8k = 6k \hfill \\ AO = \frac{{BC}}{2} = 6k \hfill \\ \end{gathered} \right.$

: Λόγος καθέτων πλευρών.png (15.77 KiB) Προβλήθηκε 470 φορές

Έτσι στο ισοσκελές τρίγωνο AOP

το ύψος του

είναι και διάμεσος άρα

$TO = TP = k \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} BT = 7k\,\, \hfill \\ TC = 5k \hfill \\ \end{gathered} \right.$ . Επειδή $\dfrac{{{b^2}}}{{{c^2}}} = \dfrac{{TC}}{{TB}} = \dfrac{5}{7} \Rightarrow \boxed{\dfrac{b}{c} = \sqrt {\dfrac{5}{7}} }$ .

Λόγος καθέτων πλευρών

Λόγος καθέτων πλευρών

Re: Λόγος καθέτων πλευρών

Re: Λόγος καθέτων πλευρών

Μέλη σε σύνδεση