Ζητούνται δύο λόγοι

Γιώργος Μήτσιος · #1

Καλημέρα σε όλους.

: Δύο λόγοι.PNG (9.25 KiB) Προβλήθηκε 1095 φορές

Δίνεται το παραλληλόγραμμο ABCD

. Θεωρούμε τα $E \in CD$ και $N \in AB$ ώστε $\dfrac{DE}{EC}=\dfrac{BN}{AN}=\Phi$ ,όπου $\Phi$ ο χρυσός αριθμός .

Οι AE,DN

τέμνονται στο

και οι

στο

.

) Να εξεταστεί αν ο λόγος $\dfrac{\left ( ABCD \right )}{\left ( FIDE \right )}$ είναι ακέραιος

Αν οι CF,AD

τέμνονται στο

τότε :

) Να εξεταστεί αν ισχύει $\dfrac{\left ( FIDE \right )}{\left ( MAN \right )}=\Phi ^{4}$ .

ώρες μόνο για μαθητές . Σας ευχαριστώ , Γιώργος.

ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ · #2

Καλησπέρα!
α) Έστω

και

τα σημεία τομής της

με τις

και

αντίστοιχα.
Έχουμε ED=BN=a

και

, με $\dfrac{a}{b}=\phi$
Φέρω το τμήμα $EB\parallel DF$ και την διαγώνιο

, οπότε έχουμε $\left ( EDB \right )=\left ( EFB \right )\Leftrightarrow \left ( EDL \right )=\left ( LFB \right )\Leftrightarrow \left ( DIFE \right )=\left ( BID \right )\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\left ( EFBC \right )=\left ( CDB \right )$ .
Τώρα έχουμε
$\dfrac{(ABDC)}{(FIDE)}=\dfrac{\left ( EFBC \right )+\left ( DIFE \right )+\left ( ABI \right )}{(BID)}=\dfrac{\left ( DBC \right )+\left ( BID \right )+\left ( AIB \right )}{\left ( BID\right )}=\dfrac{\left ( BDC \right )}{(BID)}+\dfrac{\left ( AIB \right )}{\left ( BID \right )}+..+1 =\dfrac{AD}{DI}+\dfrac{IA}{ID}+1=\dfrac{DI+2AI}{DI}+1=2\cdot \dfrac{AI}{DI}+2$

Στο τρίγωνο ENC

έχουμε $EL\parallel CP$ , οπότε $\dfrac{DL}{LP}=\dfrac{DE}{EC}=\phi$ . Ακόμη, στο τρίγωνο ALB

έχουμε $NP\parallel AL$ οπότε $\dfrac{BP}{PL}=\dfrac{BN}{NA}=\phi$ .
Τώρα έχουμε $\dfrac{DL}{LP}=\dfrac{BI}{LP}\Leftrightarrow DL=PB$ , οπότε $\dfrac{BL}{DL}=\dfrac{PB+PL}{PB}=1+\dfrac{PL}{PB}=1+\dfrac{1}{\phi }=\phi$ .
Απο το θεώρημα Ceva έχουμε $\dfrac{BL}{LD}\cdot \dfrac{AN}{NB}\cdot \dfrac{DI}{IA}=1\Leftrightarrow \phi \cdot \dfrac{1}{\phi }\cdot \dfrac{DI}{IA}=1\Leftrightarrow \dfrac{DI}{IA}=1$ , οπότε έχουμε $\dfrac{\left ( ABDC \right )}{\left ( FIDE \right )}=2+2=4\in Z$
β) Έστω

το σημείο τομής της

με την

.
Τρίγωνα EFC

και

είναι όμοια οπότε $\dfrac{EC}{AT}=\dfrac{EF}{FA}$ . Είναι ακόμη $\dfrac{EF}{FA}=\dfrac{DF}{FN}=\phi$ , οπότε $\dfrac{EC}{AT}=\phi \Leftrightarrow AT=\dfrac{EC}{\phi }=\dfrac{b}{\phi }$

Τα τρίγωνα DMC

και

είναι όμοια , οπότε
$\dfrac{DM}{AM}=\dfrac{a +b}{\frac{b}{\phi }}\Leftrightarrow \dfrac{AM+2IM}{AM}=\dfrac{\left (a+b \right )\phi }{b}\Leftrightarrow 1+2\cdot \dfrac{IM}{AM}=\dfrac{\left ( a+b \right )\phi }{b}\Leftrightarrow 2\cdot \dfrac{IM}{AM}=\dfrac{a\phi +b\phi }{b}-...1\Leftrightarrow \dfrac{IM}{AM}=(\phi ^{2}+\phi -1)/2 =\phi=\dfrac{AN}{NB}\Leftrightarrow MN\parallel IB\Leftrightarrow \overset{\Delta }{AMN }\approx \overset{\Delta }{AIB}$

Επειδή είναι DI=IA

έχουμε $\left ( FIDE \right )=\left ( BID \right )=\left (BAI \right )$ .
Είναι $\dfrac{\left ( BAI \right )}{\left ( MAN \right )}=\lambda ^{2}=\left (\dfrac{a+b}{b} \right )^{2}=\left ( \phi +1 \right )^{2}=\phi ^{4}$ , άρα $\dfrac{\left (FIDE \right )}{\left (MAN \right )}=\phi ^{4}$ .

Γιώργος Μήτσιος · #3

Καλημέρα σε όλους.
Να ευχαριστήσω θερμά τον Θεοδόση για την αναλυτική και πλήρη κάλυψη του παρόντος!
Ας κάνω μόνο ένα ...ελαφρύ σχόλιο: Ο λόγος της χρυσής τομής συμβολίζεται διεθνώς με το γράμμα $\varphi$ .
Προέρχεται -όπως αναφέρεται και στο σχολικό βιβλίο- από το όνομα του γλύπτη της κλασικής αρχαιότητας Φειδία που γράφεται βεβαίως με κεφαλαίο $\Phi$ .

Θαρρώ ότι μπορούμε μερικοί από μας να γράφουμε (αφού το δηλώσουμε) και τον συμβολισμό $\Phi$ για τον χρυσό αριθμό.

Θα έλεγα ότι τώρα έχουμε ένα ακόμη.."διπλό λόγο" για να το κάνουμε .
Πρόκειται για τα αδέλφια $\Phi$ ωτιάδη ,Θεοδόση και Πρόδρομο ,
των οποίων το μέλλον προδιαγράφεται (και το ευχόμαστε ολόψυχα) να είναι λαμπρό!

Να ευχηθώ (λόγω απουσίας μου) και σε όλο το

: ΚΑΛΟ ΚΑΛΟΚΑΙΡΙ! Φιλικά , Γιώργος.

#4

Γιώργος Μήτσιος έγραψε: ↑
Πέμ Ιούλ 18, 2019 10:51 am
Καλημέρα σε όλους.
Να ευχαριστήσω θερμά τον Θεοδόση για την αναλυτική και πλήρη κάλυψη του παρόντος!
Ας κάνω μόνο ένα ...ελαφρύ σχόλιο: Ο λόγος της χρυσής τομής συμβολίζεται διεθνώς με το γράμμα $\varphi$ .
Προέρχεται -όπως αναφέρεται και στο σχολικό βιβλίο- από το όνομα του γλύπτη της κλασικής αρχαιότητας Φειδία που γράφεται βεβαίως με κεφαλαίο $\Phi$ .

Θαρρώ ότι μπορούμε μερικοί από μας να γράφουμε (αφού το δηλώσουμε) και τον συμβολισμό $\Phi$ για τον χρυσό αριθμό.

Θα έλεγα ότι τώρα έχουμε ένα ακόμη.."διπλό λόγο" για να το κάνουμε .
Πρόκειται για τα αδέλφια $\Phi$ ωτιάδη ,Θεοδόση και Πρόδρομο ,
των οποίων το μέλλον προδιαγράφεται (και το ευχόμαστε ολόψυχα) να είναι λαμπρό!

Να ευχηθώ (λόγω απουσίας μου) και σε όλο το : ΚΑΛΟ ΚΑΛΟΚΑΙΡΙ! Φιλικά , Γιώργος.

Καλό μεσημέρι!

Δράττομαι της ευκαιρίας να δηλώσω το θαυμασμό μου στους ακούραστους εργάτες, τους αδελφούς Φωτιάδη,

Θεοδόσιο και Πρόδρομο

για το μέγεθος της προσφοράς τους σε σύντομο χρονικό διάστημα στο

Να εξάρω επίσης τις εμπεριστατωμένες λύσεις τους, τη στρωτή γραφή και τη σαφήνεια του λόγου τους, στοιχεία

αντιστρόφως ανάλογα με την ηλικία τους! Τέτοια παιδιά κοσμούν με την παρουσία τους το

Καλή Πρόοδο!!!

ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ · #5

Σας ευχαριστούμε απο καρδιάς για τις ευχές και τα καλά σας λόγια.
Ευχαριστούμε ακόμη εσάς, και όλο το

, για την ουσιαστική βοήθεια που μας προσφέρετε όλον αυτόν τον καιρό, μέσα από τις ασκήσεις και τις παρατηρήσεις σας. Ευχόμαστε να είστε υγιείς και να συνεχίσετε

.

Με εκτίμηση, Θεοδόσιος και Πρόδρομος Φωτιάδης.

Ζητούνται δύο λόγοι

Ζητούνται δύο λόγοι

Re: Ζητούνται δύο λόγοι

Re: Ζητούνται δύο λόγοι

Re: Ζητούνται δύο λόγοι

Re: Ζητούνται δύο λόγοι

Μέλη σε σύνδεση