Ζητούνται δύο λόγοι

Σ' αυτόν τόν φάκελο καταχωρούνται, γιά περιορισμένο χρονικό διάστημα, ασκήσεις πού προτείνονται από οποιοδήποτε μέλος, αλλά η επίλυσή τους αφήνεται ΜΟΝΟ στούς μαθητές.

Συντονιστής: polysot

Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 1028
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Ζητούνται δύο λόγοι

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Τετ Ιούλ 10, 2019 11:48 am

Καλημέρα σε όλους.
Δύο λόγοι.PNG
Δύο λόγοι.PNG (9.25 KiB) Προβλήθηκε 335 φορές
Δίνεται το παραλληλόγραμμο ABCD . Θεωρούμε τα E \in CD και N  \in AB ώστε \dfrac{DE}{EC}=\dfrac{BN}{AN}=\Phi ,όπου \Phi ο χρυσός αριθμός .

Οι AE,DN τέμνονται στο F και οι BF,AD στο I. a) Να εξεταστεί αν ο λόγος \dfrac{\left ( ABCD \right )}{\left ( FIDE \right )} είναι ακέραιος

Αν οι CF,AD τέμνονται στο M τότε :b) Να εξεταστεί αν ισχύει\dfrac{\left ( FIDE \right )}{\left ( MAN \right )}=\Phi ^{4} .

48 ώρες μόνο για μαθητές
. Σας ευχαριστώ , Γιώργος.



Λέξεις Κλειδιά:
ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ
Δημοσιεύσεις: 71
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 11:47 pm

Re: Ζητούνται δύο λόγοι

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ » Τετ Ιούλ 10, 2019 8:30 pm

Καλησπέρα!
α) Έστω L και P τα σημεία τομής της DB με τις EA και CN αντίστοιχα.
Έχουμε ED=BN=a και EC=AN=b, με \dfrac{a}{b}=\phi
Φέρω το τμήμα EB\parallel DF και την διαγώνιο BD, οπότε έχουμε \left ( EDB \right )=\left ( EFB \right )\Leftrightarrow \left ( EDL \right )=\left ( LFB \right )\Leftrightarrow \left ( DIFE \right )=\left ( BID \right )\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\left ( EFBC \right )=\left ( CDB \right ).
Τώρα έχουμε
\dfrac{(ABDC)}{(FIDE)}=\dfrac{\left ( EFBC \right )+\left ( DIFE \right )+\left ( ABI \right )}{(BID)}=\dfrac{\left ( DBC \right )+\left ( BID \right )+\left ( AIB \right )}{\left ( BID\right )}=\dfrac{\left ( BDC \right )}{(BID)}+\dfrac{\left ( AIB \right )}{\left ( BID \right )}+..+1 =\dfrac{AD}{DI}+\dfrac{IA}{ID}+1=\dfrac{DI+2AI}{DI}+1=2\cdot \dfrac{AI}{DI}+2

Στο τρίγωνο ENC έχουμε EL\parallel CP, οπότε \dfrac{DL}{LP}=\dfrac{DE}{EC}=\phi. Ακόμη, στο τρίγωνο ALB έχουμε NP\parallel AL οπότε \dfrac{BP}{PL}=\dfrac{BN}{NA}=\phi.
Τώρα έχουμε \dfrac{DL}{LP}=\dfrac{BI}{LP}\Leftrightarrow DL=PB, οπότε \dfrac{BL}{DL}=\dfrac{PB+PL}{PB}=1+\dfrac{PL}{PB}=1+\dfrac{1}{\phi }=\phi.
Απο το θεώρημα Ceva έχουμε \dfrac{BL}{LD}\cdot \dfrac{AN}{NB}\cdot \dfrac{DI}{IA}=1\Leftrightarrow \phi \cdot \dfrac{1}{\phi }\cdot \dfrac{DI}{IA}=1\Leftrightarrow \dfrac{DI}{IA}=1, οπότε έχουμε \dfrac{\left ( ABDC \right )}{\left ( FIDE \right )}=2+2=4\in Z
β) Έστω T το σημείο τομής της CF με την BA.
Τρίγωνα EFC και FTA είναι όμοια οπότε \dfrac{EC}{AT}=\dfrac{EF}{FA}. Είναι ακόμη \dfrac{EF}{FA}=\dfrac{DF}{FN}=\phi, οπότε \dfrac{EC}{AT}=\phi \Leftrightarrow AT=\dfrac{EC}{\phi }=\dfrac{b}{\phi }

Τα τρίγωνα DMC και MTA είναι όμοια , οπότε
\dfrac{DM}{AM}=\dfrac{a +b}{\frac{b}{\phi }}\Leftrightarrow \dfrac{AM+2IM}{AM}=\dfrac{\left (a+b \right )\phi }{b}\Leftrightarrow 1+2\cdot \dfrac{IM}{AM}=\dfrac{\left ( a+b \right )\phi }{b}\Leftrightarrow 2\cdot \dfrac{IM}{AM}=\dfrac{a\phi +b\phi }{b}-...1\Leftrightarrow \dfrac{IM}{AM}=(\phi ^{2}+\phi -1)/2 =\phi=\dfrac{AN}{NB}\Leftrightarrow MN\parallel IB\Leftrightarrow \overset{\Delta }{AMN }\approx \overset{\Delta }{AIB}

Επειδή είναι DI=IA έχουμε \left ( FIDE \right )=\left ( BID \right )=\left (BAI \right ).
Είναι \dfrac{\left ( BAI \right )}{\left ( MAN \right )}=\lambda ^{2}=\left (\dfrac{a+b}{b} \right )^{2}=\left ( \phi +1 \right )^{2}=\phi ^{4}, άρα \dfrac{\left (FIDE \right )}{\left (MAN \right )}=\phi ^{4}.
Συνημμένα
Ζητούνται δύο λόγοι.PNG
Ζητούνται δύο λόγοι.PNG (54.47 KiB) Προβλήθηκε 244 φορές


Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 1028
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Re: Ζητούνται δύο λόγοι

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Πέμ Ιούλ 18, 2019 10:51 am

Καλημέρα σε όλους.
Να ευχαριστήσω θερμά τον Θεοδόση για την αναλυτική και πλήρη κάλυψη του παρόντος!
Ας κάνω μόνο ένα ...ελαφρύ σχόλιο: Ο λόγος της χρυσής τομής συμβολίζεται διεθνώς με το γράμμα \varphi .
Προέρχεται -όπως αναφέρεται και στο σχολικό βιβλίο- από το όνομα του γλύπτη της κλασικής αρχαιότητας Φειδία που γράφεται βεβαίως με κεφαλαίο \Phi .

Θαρρώ ότι μπορούμε μερικοί από μας να γράφουμε (αφού το δηλώσουμε) και τον συμβολισμό \Phi για τον χρυσό αριθμό.

Θα έλεγα ότι τώρα έχουμε ένα ακόμη.."διπλό λόγο" για να το κάνουμε .
Πρόκειται για τα αδέλφια \Phi ωτιάδη ,Θεοδόση και Πρόδρομο ,
των οποίων το μέλλον προδιαγράφεται (και το ευχόμαστε ολόψυχα) να είναι λαμπρό!

Να ευχηθώ (λόγω απουσίας μου) και σε όλο το :logo: : ΚΑΛΟ ΚΑΛΟΚΑΙΡΙ! Φιλικά , Γιώργος.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8082
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ζητούνται δύο λόγοι

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Πέμ Ιούλ 18, 2019 2:11 pm

Γιώργος Μήτσιος έγραψε:
Πέμ Ιούλ 18, 2019 10:51 am
Καλημέρα σε όλους.
Να ευχαριστήσω θερμά τον Θεοδόση για την αναλυτική και πλήρη κάλυψη του παρόντος!
Ας κάνω μόνο ένα ...ελαφρύ σχόλιο: Ο λόγος της χρυσής τομής συμβολίζεται διεθνώς με το γράμμα \varphi .
Προέρχεται -όπως αναφέρεται και στο σχολικό βιβλίο- από το όνομα του γλύπτη της κλασικής αρχαιότητας Φειδία που γράφεται βεβαίως με κεφαλαίο \Phi .

Θαρρώ ότι μπορούμε μερικοί από μας να γράφουμε (αφού το δηλώσουμε) και τον συμβολισμό \Phi για τον χρυσό αριθμό.

Θα έλεγα ότι τώρα έχουμε ένα ακόμη.."διπλό λόγο" για να το κάνουμε .
Πρόκειται για τα αδέλφια \Phi ωτιάδη ,Θεοδόση και Πρόδρομο ,
των οποίων το μέλλον προδιαγράφεται (και το ευχόμαστε ολόψυχα) να είναι λαμπρό!

Να ευχηθώ (λόγω απουσίας μου) και σε όλο το :logo: : ΚΑΛΟ ΚΑΛΟΚΑΙΡΙ! Φιλικά , Γιώργος.

Καλό μεσημέρι!

Δράττομαι της ευκαιρίας να δηλώσω το θαυμασμό μου στους ακούραστους εργάτες, τους αδελφούς Φωτιάδη,

Θεοδόσιο και Πρόδρομο
:clap2: :clap2: :clap2: για το μέγεθος της προσφοράς τους σε σύντομο χρονικό διάστημα στο :logo:

Να εξάρω επίσης τις εμπεριστατωμένες λύσεις τους, τη στρωτή γραφή και τη σαφήνεια του λόγου τους, στοιχεία

αντιστρόφως ανάλογα με την ηλικία τους! Τέτοια παιδιά κοσμούν με την παρουσία τους το :logo:

Καλή Πρόοδο!!!


ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ
Δημοσιεύσεις: 71
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 11:47 pm

Re: Ζητούνται δύο λόγοι

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ » Πέμ Ιούλ 18, 2019 6:57 pm

Σας ευχαριστούμε απο καρδιάς για τις ευχές και τα καλά σας λόγια.
Ευχαριστούμε ακόμη εσάς, και όλο το :logo:, για την ουσιαστική βοήθεια που μας προσφέρετε όλον αυτόν τον καιρό, μέσα από τις ασκήσεις και τις παρατηρήσεις σας. Ευχόμαστε να είστε υγιείς και να συνεχίσετε :).

Με εκτίμηση, Θεοδόσιος και Πρόδρομος Φωτιάδης.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες