Άσκηση στα όρια (5)

#1

Να αποδείξετε ότι αν $\displaystyle{\rm \lim_{x\to +\infty}(f(x)+g(x))=+\infty}$ τότε:

(1) $\displaystyle{\rm \lim_{x\to +\infty}(f^2(x)+g^2(x))=+\infty}$

(2) $\displaystyle{\rm \lim_{x\to +\infty}(f^3(x)+g^3(x))=+\infty}$

Μέχρι τη Δευτέρα

harrisp · #2

Παύλος Μαραγκουδάκης έγραψε: ↑
Παρ Ιούλ 05, 2019 11:35 pm
Να αποδείξετε ότι αν $\displaystyle{\rm \lim_{x\to +\infty}(f(x)+g(x))=+\infty}$ τότε:

(1) $\displaystyle{\rm \lim_{x\to +\infty}(f^2(x)+g^2(x))=+\infty}$

(2) $\displaystyle{\rm \lim_{x\to +\infty}(f^3(x)+g^3(x))=+\infty}$

Μέχρι τη Δευτέρα

(1) Από την γνωστή $x^2+y^2\geq \dfrac {(x+y)^2}{2}$

γράφουμε $f(x)^2+f(y)^2\geq \dfrac {(f(x)+f(y))^2}{2}$ και παίρνοντας τα όρια στο συν άπειρο προκύπτει η ζητούμενη.

(2) Ισχύει επίσης
$x^2+y^2\geq 2xy$ ή $x^2-xy+y^2\geq xy$ ή

$x^3+y^3\geq (x+y)xy$ ή

$3x^3+3y^3\geq 3x^2y+3xy^2$

ή $4(x^3+y^3)\geq (x+y)^3$ άρα

$(x^3+y^3)\geq \dfrac {(x+y)^3}{4}$ οπότε με την ίδια λογική με το (1) προκύπτει το ζητούμενο.

Άσκηση στα όρια (5)

Άσκηση στα όρια (5)

Re: Άσκηση στα όρια (5)

Μέλη σε σύνδεση