H 36άρα

#1

Γνωστή, αλλά με πολλαπλές και ποικίλες λύσεις.

: Η 36άρα.png (9.76 KiB) Προβλήθηκε 2064 φορές

είναι η διχοτόμος ισοσκελούς τριγώνου ABC (AB=BC).

Αν

να δείξετε ότι $\widehat B=36^\circ.$

Για ένα 24ωρο μόνο για μαθητές, με ύλη μέχρι Γ' Γυμνασίου .

Μετά τη λήξη της προθεσμίας όλες οι λύσεις δεκτές και απ' όλους.

Ορέστης Λιγνός · #2

george visvikis έγραψε: ↑
Τετ Ιουν 19, 2019 10:35 am
Γνωστή, αλλά με πολλαπλές και ποικίλες λύσεις.
Η 36άρα.png
είναι η διχοτόμος ισοσκελούς τριγώνου Αν να δείξετε ότι $\widehat B=36^\circ.$

Για ένα 24ωρο μόνο για μαθητές, με ύλη μέχρι Γ' Γυμνασίου .

Μετά τη λήξη της προθεσμίας όλες οι λύσεις δεκτές και απ' όλους.

Καλησπέρα Γιώργο!

Έστω ότι η κάθετη από το

προς την

τέμνει την

στο

. Τότε, με $F \equiv EC \cap AD$ στο τρίγωνο $\vartriangle AEC$ η

είναι διχοτόμος και ύψος, άρα το τρίγωνο αυτό είναι ισοσκελές, με AE=AC

.

Ακόμη, έχουμε $AE=AC, \angle EAD=\angle DAC$ , άρα τα τρίγωνα $\vartriangle AED, \vartriangle ACD$ είναι ίσα, οπότε $\angle AED=\angle C$ (1).

Επίσης, είναι BE=AB-AE=BC-AC=BC-BD=DC=DE

, από τα προαναφερθέντα ίσα τρίγωνα. Άρα, το $\vartriangle BED$ είναι ισοσκελές, οπότε $\angle AED=2\angle B$ (2).

Από (1), (2), προκύπτει $\angle C=2\angle B$ , οπότε έχουμε $\angle A+\angle B+\angle C=180^\circ \Rightarrow 5\angle B=180^\circ \Rightarrow \angle B=36^\circ$ , και η απόδειξη ολοκληρώθηκε.

Ορέστης Λιγνός · #3

george visvikis έγραψε: ↑
Τετ Ιουν 19, 2019 10:35 am
Γνωστή, αλλά με πολλαπλές και ποικίλες λύσεις.
Η 36άρα.png
είναι η διχοτόμος ισοσκελούς τριγώνου Αν να δείξετε ότι $\widehat B=36^\circ.$

Για ένα 24ωρο μόνο για μαθητές, με ύλη μέχρι Γ' Γυμνασίου .

Μετά τη λήξη της προθεσμίας όλες οι λύσεις δεκτές και απ' όλους.

Εναλλακτικά ...

Έστω ότι, η παράλληλη από το

προς την

τέμνει την

στο

.

Τότε, έχουμε ότι $\angle PDA=\angle DAC=\angle PAD \Rightarrow PA=PD$ .

Επίσης, έχουμε $\angle BPD=\angle BAC=\angle BCA=\angle BDP \Rightarrow BD=BP$ , και αφού BA=BC

, προκύπτει $PA=BA-BP=BC-BD=DC \Rightarrow PA=DC$ .

Οπότε, DC=PA=PD

.

Τα τρίγωνα, $\vartriangle BPD, \vartriangle DAC$ έχουν και τις τρεις πλευρές τους ίσες, οπότε είναι ίσα (Π-Π-Π), συνεπώς $\angle DAC=\angle B \Rightarrow \angle A=2\angle B$ , και η συνέχεια είναι ίδια με την προηγούμενη λύση.

Ορέστης Λιγνός · #4

george visvikis έγραψε: ↑
Τετ Ιουν 19, 2019 10:35 am
Γνωστή, αλλά με πολλαπλές και ποικίλες λύσεις.
Η 36άρα.png
είναι η διχοτόμος ισοσκελούς τριγώνου Αν να δείξετε ότι $\widehat B=36^\circ.$

Για ένα 24ωρο μόνο για μαθητές, με ύλη μέχρι Γ' Γυμνασίου .

Μετά τη λήξη της προθεσμίας όλες οι λύσεις δεκτές και απ' όλους.

Και μια τρίτη ...

Έστω, ότι ο κύκλος (C,CD)

τέμνει την προέκταση της

(προς το

) στο

.

Τότε, είναι CD=CQ

, οπότε

, άρα

, και αφού $\angle BAD=\angle DAQ$ , τα τρίγωνα $\vartriangle BAD, \vartriangle DAQ$ είναι ίσα.

Συνεπώς, $\angle DQC=\angle B$ , άρα $\angle C=2\angle CQD=2\angle B$ , και η συνέχεια όπως πριν.

Ορέστης Λιγνός · #5

george visvikis έγραψε: ↑
Τετ Ιουν 19, 2019 10:35 am
Γνωστή, αλλά με πολλαπλές και ποικίλες λύσεις.
Η 36άρα.png
είναι η διχοτόμος ισοσκελούς τριγώνου Αν να δείξετε ότι $\widehat B=36^\circ.$

Για ένα 24ωρο μόνο για μαθητές, με ύλη μέχρι Γ' Γυμνασίου .

Μετά τη λήξη της προθεσμίας όλες οι λύσεις δεκτές και απ' όλους.

Ας αλλάξουμε φάκελο ...

Έστω, CD=y, BD=AC=x, AB=BC=x+y

.

Από Θ. Εσωτερικής Διχοτόμου, $\dfrac{x}{y}=\dfrac{x+y}{x}$ , οπότε θέτοντας $\dfrac{y}{x}=t$ , προκύπτει $t^2+t=1 \Rightarrow t=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}$ .

Άρα, $\dfrac{BA}{AC}=\dfrac{x+y}{x}=1+t=\dfrac{\sqrt{5}+1}{2}$ .

Έστω, $\angle BAD=\angle DAC=\phi, \angle BCA=2\phi, \angle ABC=180^\circ-4\phi$ .

Τότε, από Ν.Ημιτόνων, $\dfrac{BA}{AC}=\dfrac{\sin 2\phi}{\sin 4\phi}=\dfrac{\sqrt{5}+1}{2} \Rightarrow \cos 2\phi=\dfrac{\sqrt{5}-1}{4} =\cos 72^\circ$ , οπότε $2\phi=72^\circ \Rightarrow \angle A=\angle C=72^\circ \Rightarrow \angle B=36^\circ$

Ορέστης Λιγνός · #6

Μία ακόμη ...

Πάλι, από Θ. Εσωτερικής διχοτόμου $\dfrac{BD}{DC}=\dfrac{BA}{AC}$ .

Όμως, $\dfrac{BC}{AC}=\dfrac{BA}{AC}=\dfrac{BD}{DC}=\dfrac{CA}{CD} \Rightarrow CA^2=CD \cdot CB$ , οπότε η

εφάπτεται στον κύκλο (B,A,D)

, συνεπώς $\angle DAC=\angle ABC \Rightarrow \angle A=2\angle B \Rightarrow \angle B=36^\circ$ .

#7

Συγχαρητήρια για κάθε λύση ξεχωριστά

Ιστοσελίδα · #8

Ορέστη 5

: shape.png (13.67 KiB) Προβλήθηκε 1955 φορές

Θέτω $\angle A = \angle C = 2\omega ,\,CD = y$ και προεκτείνω την

κατά

Από $\triangleleft EAD \sim \triangleleft ACD \Rightarrow A{D^2} = y(x + y)\,\,(1)$

Από θεώρημα εσ. διχοτόμου στο $\triangleleft ABC:{x^2} = y(x + y)\,\,(2)$

Από $(1),(2) \Rightarrow \triangleleft ADC,\, \triangleleft EAD,\, \triangleleft ABE$ ισοσκελή, άρα $5\omega = {180^ \circ } \Leftrightarrow \omega = {36^ \circ }$

Γιώργος Μήτσιος · #9

Καλό βράδυ σε όλους! Για τον Ορέστη να είμαστε καλά για να τον

και να τον θαυμάζουμε !
Μια απαγωγή..

: Η 36άρα.PNG (7.03 KiB) Προβλήθηκε 1918 φορές

Είναι $\theta +4\omega =180^{0}$ . Αν $\theta > 36^{0}\Leftrightarrow \omega < 36^{0}< \theta$ τότε

στο τρίγωνο BAD

παίρνουμε

ενώ στο

προκύπτει

δηλ. ΑΤΟΠΟ.

Ομοίως αποκλείουμε $\theta < 36^{0}$ . H τιμή $\theta = 36^{0}$ ασφαλώς δεκτή. Φιλικά , Γιώργος.

Altrian · #10

Καλημέρα,
Μια ακόμα λύση (από τις λίγες που μας άφησε ο Ορέστης

)

Φέρνουμε $FB=\left | \right |AC$ . FBCA

παραλληλόγραμμο και εύκολα προκύπτουν οι γωνίες του σχήματος.
v+4u=180

Επειδή η

φαίνεται από τα A,F

υπό ίσες γωνίες $\Rightarrow FBDA$ εγγράψιμο. Αρα u=v

(από τα ίσα τόξα BD,BF)

. Τελικά $5u=180\Rightarrow u=v=36$

#11

Όλες οι λύσεις που διάβασα είναι πολύ ωραίες

Ο Ορέστης φυσικά μας "τουφέκισε" με βολές " κατά ριπάς "

Του εύχομαι και σε όλα τα παιδιά της ολυμπιακής ομάδος νέων που βρίσκονται στη Κύπρο καλή επιτυχία
Α τρόπος

: τριανταεξάρα_5.png (23.42 KiB) Προβλήθηκε 1860 φορές

Γράφω το κύκλο (A,AB)

που τέμνει την

στο

. Στο ισοσκελές τρίγωνο ABS

η ευθεία

είναι και μεσοκάθετη στη βάση

συνεπώς

.

Αλλά αφού $BC = AB = AS \Rightarrow DC = CS$ και άρα το τρίγωνο CDS

είναι ισοσκελές με κορυφή το

και θα έχει τις παρά τη βάση του

μ γωνίες ίσες με $\widehat \theta$ κάθε μια .

Τώρα όμως και το τρίγωνο DSA

είναι ισοσκελές με κορυφή το

( το οποίο είναι και περίκεντρο του $\vartriangle ABS$ ) ,

το δε $\vartriangle ADC$ ισοσκελές με κορυφή το

έχει άθροισμα γωνιών : $\widehat \theta + 2\widehat \theta + 2\widehat \theta = 180^\circ \Rightarrow \boxed{\widehat \theta = 36^\circ }$

Β τρόπος

: τριανταεξάρα.png (15.74 KiB) Προβλήθηκε 1860 φορές

Επειδή $A{D^2} = AB \cdot AC - DB \cdot DC = (x + y)x - xy = {x^2}$ θα είναι AD = x = AC

και από το ισοσκελές τρίγωνο ADC

έχω $\boxed{\widehat \theta = 36^\circ }$

#12

Καλησπέρα σε όλους. Τις ευχές μου για καλή επιτυχία στα παιδιά της Ολυμπιακής Ομάδας Νέων.\

Λίγες επιλογές έχουν μείνει. Θεωρούμε ένα κανονικό πολύγωνο εγγεγγραμμένο σε κύκλο. Τότε...

: 20-06-2019 Γεωμετρία.png (56.69 KiB) Προβλήθηκε 1831 φορές

$\displaystyle AC = {\lambda _\nu }$ .

Επίσης, από Θ. Διχοτόμων, είναι $\displaystyle BD = BC \cdot \frac{{AB}}{{AB + AC}} = R \cdot \frac{R}{{R + {\lambda _\nu }}}$

Οπότε, $\displaystyle BD = {\rm A}C \Leftrightarrow \frac{{{R^2}}}{{R + {\lambda _\nu }}} = {\lambda _\nu } \Leftrightarrow \lambda _\nu ^2 + R{\lambda _\nu } - {R^2} = 0$ ,

άρα $\displaystyle {\lambda _\nu } = \frac{{\sqrt 5 - 1}}{2}R = \frac{R}{\varphi } \Rightarrow \nu = 10$ οπότε B = 36^0

.

Μιχάλης Τσουρακάκης · #13

george visvikis έγραψε: ↑
Τετ Ιουν 19, 2019 10:35 am
Γνωστή, αλλά με πολλαπλές και ποικίλες λύσεις. Η 36άρα.png
είναι η διχοτόμος ισοσκελούς τριγώνου Αν να δείξετε ότι $\widehat B=36^\circ.$

Για ένα 24ωρο μόνο για μαθητές, με ύλη μέχρι Γ' Γυμνασίου .

Μετά τη λήξη της προθεσμίας όλες οι λύσεις δεκτές και απ' όλους.

Θεωρούμε τον κύκλο $\displaystyle \left( {C,b} \right)$ που τέμνεται από την $\displaystyle AD$ στο $\displaystyle E$ κι από την $\displaystyle BC$ στο $\displaystyle Z$

Έστω ακόμη $\displaystyle I$ το έκκεντρο του $\displaystyle \vartriangle ABC$

Είναι $\displaystyle CE//AB \Rightarrow x = \angle B$ και $\displaystyle x = 2\omega$ (σχέση επίκεντρης-εγγεγραμμένης)

άρα $\displaystyle B = 2\omega \Rightarrow AIZB$ ισοσκελές τραπέζιο ,συνεπώς $\displaystyle AD = BD = AC$

Άρα $\displaystyle B = \phi$ και $\displaystyle C = 2\phi \Rightarrow 5\phi = {180^0} \Rightarrow \boxed{\phi = {{36}^0}}$

Γιώργος Μήτσιος · #14

Χαιρετώ. Συγχαρητήρια στις αποστολές και βεβαίως σε όλους τους μαθητές Ελλάδας και Κύπρου που συμμετείχαν στην JBMO 2019 !!
Μια ακόμη με ..περιπλάνηση και χρήση του σχήματος:

: Η 36-άρα.PNG (8.41 KiB) Προβλήθηκε 1719 φορές

Αν

τότε $DE \parallel AC$ και AE=ED=DC=y

Δείχνω την σχέση $AB^{2}=AB\cdot BD+AD^{2}..\left ( 1 \right )$ . Πράγματι $\left ( 1 \right )\Leftrightarrow \left ( k+y \right )^{2}=\left ( k+y \right )k+AD^{2}\Leftrightarrow AD^{2}=y^{2}+ky$

που ισχύει από το θ. Πτολεμαίου στο εγγράψιμο AEDC

.

Από την (1)

όπως εδώ προκύπτει $\angle ADB=\pi/2+\theta/2 \Rightarrow 3\omega =\pi /2+\theta/2$ ενώ και $\theta +4\omega =\pi$ . Απ' αυτές παίρνουμε $\theta =\omega =\pi /5$ .
Φιλικά , Γιώργος.

H 36άρα

H 36άρα

Re: H 36άρα

Re: H 36άρα

Re: H 36άρα

Re: H 36άρα

Re: H 36άρα

Re: H 36άρα

Re: H 36άρα

Re: H 36άρα

Re: H 36άρα

Re: H 36άρα

Re: H 36άρα

Re: H 36άρα

Re: H 36άρα

Μέλη σε σύνδεση