Τρίγωνο προς ορθογώνιο

Σ' αυτόν τόν φάκελο καταχωρούνται, γιά περιορισμένο χρονικό διάστημα, ασκήσεις πού προτείνονται από οποιοδήποτε μέλος, αλλά η επίλυσή τους αφήνεται ΜΟΝΟ στούς μαθητές.

Συντονιστής: polysot

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10749
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Τρίγωνο προς ορθογώνιο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Δευ Μάιος 27, 2019 12:56 pm

Τρίγωνο VS ορθοιγώνιο.png
Τρίγωνο VS ορθοιγώνιο.png (11.04 KiB) Προβλήθηκε 562 φορές
K, M, N είναι τα μέσα των πλευρών BC, CD, DA αντίστοιχα, ορθογωνίου ABCD και P είναι

σημείο του τμήματος NM ώστε PM=3NP. Να υπολογίσετε το λόγο \displaystyle \frac{{(PAK)}}{{(ABCD)}}.

Για 24 ώρες.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 847
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: Τρίγωνο προς ορθογώνιο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Δευ Μάιος 27, 2019 2:01 pm

george visvikis έγραψε:
Δευ Μάιος 27, 2019 12:56 pm
Τρίγωνο VS ορθοιγώνιο.png
K, M, N είναι τα μέσα των πλευρών BC, CD, DA αντίστοιχα, ορθογωνίου ABCD και P είναι

σημείο του τμήματος NM ώστε PM=3NP. Να υπολογίσετε το λόγο \displaystyle \frac{{(PAK)}}{{(ABCD)}}.

Για 24 ώρες.
Χριστός Ανέστη

Έστω x=NP ,a=AD,b=AB
Με πυθαγόρειο στο NDM είναι x^2=\dfrac{a^2+b^2}{64}

Είναι:

\left ( NDM \right )=\left (MCK\right )=\dfrac{ab}{8}

\left ( NPA \right )=\dfrac{1}{2}\cdot \sin\widehat{ANP}\cdot x\cdot \dfrac{a}{2}=\dfrac{a}{4}\cdot x\cdot \dfrac{b}{8x}=\dfrac{ab}{32}

\left ( MRK \right )=\dfrac{1}{2}\cdot \sin\widehat{RPK}\cdot 3x\cdot 4x=6\cdot \dfrac{a^2+b^2}{64}\cdot \sin\left ( 2\widehat{NMD} \right )=6\cdot \dfrac{a^2+b^2}{64}\cdot 2\cdot \dfrac{\dfrac{a}{2}}{4x}\cdot \dfrac{\dfrac{b}{2}}{4x}=..=\dfrac{3}{16}ab

\left ( ABK \right )=\dfrac{ab}{4}

Από τα παραπάνω:

\left ( PAK \right )=\left ( ABCD \right )-2\left ( DNM \right )-\left ( PMK \right )-\left ( ABK \right )-\left ( NPA \right )=ab-\dfrac{ab}{4}-\dfrac{3}{16}ab-\dfrac{ab}{4}-\dfrac{ab}{32}=...\dfrac{9}{32}ab

Άρα \boxed{\dfrac{\left (PAK \right )}{\left (ABCD \right )}=\dfrac{9}{32}}


Άβαταρ μέλους
Μιχάλης Νάννος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3338
Εγγραφή: Δευ Ιαν 05, 2009 4:09 pm
Τοποθεσία: Σαλαμίνα
Επικοινωνία:

Re: Τρίγωνο προς ορθογώνιο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Νάννος » Δευ Μάιος 27, 2019 5:00 pm

george visvikis έγραψε:
Δευ Μάιος 27, 2019 12:56 pm

K, M, N είναι τα μέσα των πλευρών BC, CD, DA αντίστοιχα, ορθογωνίου ABCD και P είναι

σημείο του τμήματος NM ώστε PM=3NP. Να υπολογίσετε το λόγο \displaystyle \frac{{(PAK)}}{{(ABCD)}}.

Για 24 ώρες.
Ωραία άσκηση Γιώργο!
shape.png
shape.png (20.1 KiB) Προβλήθηκε 516 φορές
Το αρχικό ορθογώνιο ABCD μετασχηματίζεται στο ισεμβαδικό παραλληλόγραμμο EKLN και στο ισεμβαδικό τραπέζιο PLKS, οπότε:

2(PAK) = \dfrac{{9xy}}{2} \Leftrightarrow (PAK) = \dfrac{{9xy}}{4}\,\,(1) και (ABCD) = \dfrac{{16xy}}{2}\, = 8xy\,(2)

Από (1):(2) \Rightarrow \dfrac{{(PAK)}}{{(ABCD)}} = \dfrac{9}{{32}}


«Δε θα αντικαταστήσει ο υπολογιστής τον καθηγητή...θα αντικατασταθεί ο καθηγητής που δεν ξέρει υπολογιστή...» - Arthur Clarke
Altrian
Δημοσιεύσεις: 217
Εγγραφή: Τρί Μάιος 01, 2018 4:51 pm
Τοποθεσία: Βούλα, Αττική

Re: Τρίγωνο προς ορθογώνιο

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Altrian » Δευ Μάιος 27, 2019 10:32 pm

Καλησπέρα σε όλους.

Φέρνω από το P\left | \right |NC\left | \right |AK.

\bigtriangleup SNP\approx \bigtriangleup MPF\Rightarrow MF=3SN=3a

(ASN)=(KFC)=\dfrac{1}{4}(KCM)=\dfrac{1}{32}(ABCD)

(APK)=(ASK)=(ANK)+(ASN)=\dfrac{(ABCD)}{4}+\dfrac{(ABCD)}{32}=\dfrac{9}{32}(ABCD)
Συνημμένα
τριγωνο προς ορθογωνιο.png
τριγωνο προς ορθογωνιο.png (20.66 KiB) Προβλήθηκε 474 φορές


Αλέξανδρος Τριανταφυλλάκης
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 1466
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Re: Τρίγωνο προς ορθογώνιο

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Τρί Μάιος 28, 2019 11:47 pm

Χαιρετώ τους φίλους! Μια ακόμη , κατά το δυνατόν ..εικονική λύση:
Τρίγωνο προς ορθογώνιο.PNG
Τρίγωνο προς ορθογώνιο.PNG (9.04 KiB) Προβλήθηκε 433 φορές
Έστω \left ( PAN \right )=m . Τότε \left ( PDN \right )=m...\left ( PDM \right )=3m και \left ( MCK \right )=\left ( DMN \right )=4m .

Είναι \left ( ABCD \right )=4\left ( MCK \right )=32m

οπότε (MNK) =8m που χωρίζεται από την KP σε λόγο 3:1 άρα (MPK)=6m.

Ακόμη (KAB)=8m συνεπώς \left ( PAK \right )=32m -23m=9m και ο ζητούμενος λόγος είναι \dfrac{9}{32}. Φιλικά Γιώργος.


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8107
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Τρίγωνο προς ορθογώνιο

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τετ Μάιος 29, 2019 1:04 am

Τρίγωνο πρός ορθογώνιο.png
Τρίγωνο πρός ορθογώνιο.png (27.26 KiB) Προβλήθηκε 421 φορές

Έστω O το μέσο του NK. Θέτω με E = (ABCD) και (σχήμα) με {E_1}\,,\,\,{E_2}\,,\,\,{E_3} τα επιμέρους τεμάχια του ζητούμενου εμβαδού.

{E_1} = \dfrac{1}{2}(PNK) = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{4}(MNK) = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{1}{4}E \Rightarrow \boxed{{E_1} = \dfrac{1}{{32}}E} (1)

Επειδή το τετράπλευρο ANPO είναι τραπέζιο θα είναι

{E_3} = (NAO) \Rightarrow \boxed{{E_2} + {E_3} = (ANK) = \dfrac{1}{4}E\,}\,\,(2)


Από τις (1)\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,(2) με πρόσθεση έχω: \boxed{(PAK) = \left( {\frac{1}{4} + \frac{1}{{32}}} \right)E = \frac{9}{{32}}E}.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης