Πρώτος προς τους προηγούμενους

Λάμπρος Κατσάπας · #1

Θεωρούμε το πολυώνυμο P(x)

με ακέραιους συντελεστές και P(0) = P(1) = 1

.

Αν

είναι ακέραιος αριθμός και ισχύει η σχέση $x_{n+1} = P(x_n), n = 0, 1, 2, ...,$ να αποδείξετε ότι

για κάθε φυσικό $n\geq 1$ ο ακέραιος $x_{n}$ είναι πρώτος προς τους $x_{0},x_{1},...,x_{n-1}.$

24 ώρες

Λάμπρος Κατσάπας · #2

Ανοικτή.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

Λάμπρος Κατσάπας έγραψε: ↑
Τρί Μάιος 21, 2019 2:56 pm
Θεωρούμε το πολυώνυμο με ακέραιους συντελεστές και .

Αν είναι ακέραιος αριθμός και ισχύει η σχέση $x_{n+1} = P(x_n), n = 0, 1, 2, ...,$ να αποδείξετε ότι

για κάθε φυσικό $n\geq 1$ ο ακέραιος $x_{n}$ είναι πρώτος προς τους $x_{0},x_{1},...,x_{n-1}.$

24 ώρες

Το πολυώνυμο P(x)-1

έχει ρίζες τα 0,1

Αρα υπάρχει πολυώνυμο Q(x)

με ακέραιους συντελεστές ώστε

P(x)=1+x(x-1)Q(x)

Εχουμε
$x_{1}=1+x_{0}(x_{0}-1)Q(x_{0})=1+x_{0}(x_{0}-1)k.k\in \mathbb{Z}$
αρα και
$x_{1}-1=x_{0}(x_{0}-1)Q(x_{0})=1+x_{0}(x_{0}-1)k,k\in \mathbb{Z}$

Επίσης $x_{2}=1+x_{1}(x_{1}-1)Q(x_{1})$

Αντικαθιστώντας την προηγούμενη έχουμε

$x_{2}=1+x_{0}x_{1}(x_{0}-1)Q(x_{1})$

δηλαδή

$x_{2}=1+x_{0}x_{1}m,m \in \mathbb{Z}$

συνεχίζοντας η πιο σωστά κάνοντας επαγωγή παίρνουμε

ότι $x_{n}=1+x_{0}x_{1}x_{2}...x_{n-1}r,r\in \mathbb{Z}$

Είναι σαφές ότι αν $k/x_{n}$

και $k/x_{i}$ για κάποιο

με $0\leq i\leq n-1$

τότε k/1

Αρα $MK\Delta (x_{n},x_{i})=1,i=0,1,...,n-1$

Πρώτος προς τους προηγούμενους

Πρώτος προς τους προηγούμενους

Re: Πρώτος προς τους προηγούμενους

Re: Πρώτος προς τους προηγούμενους

Μέλη σε σύνδεση