Πρώτος προς τους προηγούμενους

Σ' αυτόν τόν φάκελο καταχωρούνται, γιά περιορισμένο χρονικό διάστημα, ασκήσεις πού προτείνονται από οποιοδήποτε μέλος, αλλά η επίλυσή τους αφήνεται ΜΟΝΟ στούς μαθητές.

Συντονιστής: polysot

Λάμπρος Κατσάπας
Δημοσιεύσεις: 425
Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Πρώτος προς τους προηγούμενους

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Κατσάπας » Τρί Μάιος 21, 2019 2:56 pm

Θεωρούμε το πολυώνυμο P(x) με ακέραιους συντελεστές και P(0) = P(1) = 1.

Αν x_0 είναι ακέραιος αριθμός και ισχύει η σχέση  x_{n+1} = P(x_n), n = 0, 1, 2, ..., να αποδείξετε ότι

για κάθε φυσικό n\geq 1 ο ακέραιος x_{n} είναι πρώτος προς τους x_{0},x_{1},...,x_{n-1}.

24 ώρες



Λέξεις Κλειδιά:
Λάμπρος Κατσάπας
Δημοσιεύσεις: 425
Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Πρώτος προς τους προηγούμενους

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Κατσάπας » Πέμ Μάιος 23, 2019 12:29 pm

Ανοικτή.


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2455
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Πρώτος προς τους προηγούμενους

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Σάβ Μάιος 25, 2019 12:01 am

Λάμπρος Κατσάπας έγραψε:
Τρί Μάιος 21, 2019 2:56 pm
Θεωρούμε το πολυώνυμο P(x) με ακέραιους συντελεστές και P(0) = P(1) = 1.

Αν x_0 είναι ακέραιος αριθμός και ισχύει η σχέση  x_{n+1} = P(x_n), n = 0, 1, 2, ..., να αποδείξετε ότι

για κάθε φυσικό n\geq 1 ο ακέραιος x_{n} είναι πρώτος προς τους x_{0},x_{1},...,x_{n-1}.

24 ώρες
Το πολυώνυμο P(x)-1 έχει ρίζες τα 0,1

Αρα υπάρχει πολυώνυμο Q(x) με ακέραιους συντελεστές ώστε

P(x)=1+x(x-1)Q(x)

Εχουμε
x_{1}=1+x_{0}(x_{0}-1)Q(x_{0})=1+x_{0}(x_{0}-1)k.k\in \mathbb{Z}
αρα και
x_{1}-1=x_{0}(x_{0}-1)Q(x_{0})=1+x_{0}(x_{0}-1)k,k\in \mathbb{Z}

Επίσης x_{2}=1+x_{1}(x_{1}-1)Q(x_{1})

Αντικαθιστώντας την προηγούμενη έχουμε

x_{2}=1+x_{0}x_{1}(x_{0}-1)Q(x_{1})

δηλαδή

x_{2}=1+x_{0}x_{1}m,m \in \mathbb{Z}

συνεχίζοντας η πιο σωστά κάνοντας επαγωγή παίρνουμε

ότι x_{n}=1+x_{0}x_{1}x_{2}...x_{n-1}r,r\in \mathbb{Z}

Είναι σαφές ότι αν k/x_{n}

και k/x_{i} για κάποιο i με 0\leq i\leq n-1

τότε k/1

Αρα MK\Delta (x_{n},x_{i})=1,i=0,1,...,n-1


Απάντηση

Επιστροφή σε “Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες