Θέμα Γ (Όρια - Συνέχεια)

Σ' αυτόν τόν φάκελο καταχωρούνται, γιά περιορισμένο χρονικό διάστημα, ασκήσεις πού προτείνονται από οποιοδήποτε μέλος, αλλά η επίλυσή τους αφήνεται ΜΟΝΟ στούς μαθητές.

Συντονιστής: polysot

Άβαταρ μέλους
Λάμπρος Μπαλός
Δημοσιεύσεις: 908
Εγγραφή: Τρί Αύγ 13, 2013 12:21 pm
Τοποθεσία: Τρίκαλα

Θέμα Γ (Όρια - Συνέχεια)

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Μπαλός » Τετ Νοέμ 14, 2018 10:12 am

Για μαθητές της Γ, μέχρι την Κυριακή 18-11-2018

Έστω η συνεχής συνάρτηση f: R \rightarrow R, για την οποία ισχύουν :

lim_{x \rightarrow a} \frac{f(x)-x-1}{x^{2}-a^{2}}= \frac{1}{4}, για κάποιο a \in R και

f^{2}(x)=x(2f(x)+1)+1 , για κάθε x \in R.

Να αποδείξετε ότι :

i. f(a)=a+1

ii. f(x)= \sqrt{x^{2}+x+1}+x, για κάθε x \in R.

iii. a=-1.


Λάμπρος Μπαλός
lamprosbalos81@gmail.com

Λέξεις Κλειδιά:
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2462
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Θέμα Γ (Όρια - Συνέχεια)

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τρί Μάιος 21, 2019 11:02 pm

Ξεχασμένη.
Καιρός να λυθεί.


Λάμπρος Κατσάπας
Δημοσιεύσεις: 427
Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Θέμα Γ (Όρια - Συνέχεια)

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Κατσάπας » Τετ Μάιος 22, 2019 12:24 am

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Τρί Μάιος 21, 2019 11:02 pm
Ξεχασμένη.
Καιρός να λυθεί.
Ας λυθεί.

Α. Από συνέχεια έχουμε

f(a)-a-1=\lim_{x \rightarrow a} \left (f(x)-x-1 \right )= \lim_{x \rightarrow a}\dfrac{f(x)-x-1}{x^2-a^2}(x^2-a^2)=\dfrac{1}{4}\cdot 0=0

B. f^{2}(x)=x(2f(x)+1)+1\Leftrightarrow \left ( f(x)-x ^\right )^2=x^2+x+1\Leftrightarrow \left | f(x)-x \right |=\sqrt{x^2+x+1}>0

για κάθε x. Από συνέχεια η f(x)-x διατηρεί πρόσημο. Από το δοσμένο όριο παίρνουμε

\lim_{x \rightarrow a} \left (f(x)-x-1 \right )=0\Rightarrow \lim_{x \rightarrow a} \left (f(x)-x \right )=1 και

επομένως f(x)-x>0 για κάθε x. Άρα

\left | f(x)-x \right |=\sqrt{x^2+x+1}\Rightarrow f(x)-x =\sqrt{x^2+x+1}\Rightarrow f(x)=\sqrt{x^2+x+1}+x.

Γ. f(a)=a+1\Leftrightarrow a+1=\sqrt{a^2+a+1}+a\Leftrightarrow 1=\sqrt{a^2+a+1}\Leftrightarrow a=0
ή a=-1.

Η a=0 απορρίπτεται γιατί στο δοσμένο όριο τα πλευρικά βγαίνουν \pm \infty .


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2462
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Θέμα Γ (Όρια - Συνέχεια)

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τετ Μάιος 22, 2019 12:46 am

Λάμπρος Μπαλός έγραψε:
Τετ Νοέμ 14, 2018 10:12 am


Έστω η συνεχής συνάρτηση f: R \rightarrow R, για την οποία ισχύουν :

lim_{x \rightarrow a} \frac{f(x)-x-1}{x^{2}-a^{2}}= \frac{1}{4}, για κάποιο a \in R και

Να αποδείξετε ότι :
f(a)=a+1


Εχω μια απορία.

Αν στο παραπάνω ένας μαθητής έγραφε

Αφου ο παρανομαστής για x=a μηδενίζεται και η συνάρτηση στον αριθμητή είναι συνεχής και το
όριο πεπερασμένο , θα πρέπει και αυτή να μηδενίζεται.
Αρα f(a)=a+1

Τι βαθμό θα του βάζατε;


Λάμπρος Κατσάπας
Δημοσιεύσεις: 427
Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Θέμα Γ (Όρια - Συνέχεια)

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Κατσάπας » Τετ Μάιος 22, 2019 1:01 am

Σπίρτο ο/η μαθητής/τρια. 20/20


Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 3913
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη , Παρίσι
Επικοινωνία:

Re: Θέμα Γ (Όρια - Συνέχεια)

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Τετ Μάιος 22, 2019 8:28 am

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Τετ Μάιος 22, 2019 12:46 am
Λάμπρος Μπαλός έγραψε:
Τετ Νοέμ 14, 2018 10:12 am


Έστω η συνεχής συνάρτηση f: R \rightarrow R, για την οποία ισχύουν :

lim_{x \rightarrow a} \frac{f(x)-x-1}{x^{2}-a^{2}}= \frac{1}{4}, για κάποιο a \in R και

Να αποδείξετε ότι :
f(a)=a+1


Εχω μια απορία.

Αν στο παραπάνω ένας μαθητής έγραφε

Αφου ο παρανομαστής για x=a μηδενίζεται και η συνάρτηση στον αριθμητή είναι συνεχής και το
όριο πεπερασμένο , θα πρέπει και αυτή να μηδενίζεται.
Αρα f(a)=a+1

Τι βαθμό θα του βάζατε;

Σταύρο,


αυτό είναι ένα κομμάτι που αρκετοί δε το δέχονται όπως το λες. Προσωπικά το κάνω και έτσι αλλά έχω συναντήσει ενστάσεις.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Τσιαλας Νικολαος
Δημοσιεύσεις: 345
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 17, 2015 1:04 pm

Re: Θέμα Γ (Όρια - Συνέχεια)

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Τσιαλας Νικολαος » Τετ Μάιος 22, 2019 10:29 am

Tolaso J Kos έγραψε:
Τετ Μάιος 22, 2019 8:28 am
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Τετ Μάιος 22, 2019 12:46 am
Λάμπρος Μπαλός έγραψε:
Τετ Νοέμ 14, 2018 10:12 am


Έστω η συνεχής συνάρτηση f: R \rightarrow R, για την οποία ισχύουν :

lim_{x \rightarrow a} \frac{f(x)-x-1}{x^{2}-a^{2}}= \frac{1}{4}, για κάποιο a \in R και

Να αποδείξετε ότι :
f(a)=a+1


Εχω μια απορία.

Αν στο παραπάνω ένας μαθητής έγραφε

Αφου ο παρανομαστής για x=a μηδενίζεται και η συνάρτηση στον αριθμητή είναι συνεχής και το
όριο πεπερασμένο , θα πρέπει και αυτή να μηδενίζεται.
Αρα f(a)=a+1

Τι βαθμό θα του βάζατε;

Σταύρο,


αυτό είναι ένα κομμάτι που αρκετοί δε το δέχονται όπως το λες. Προσωπικά το κάνω και έτσι αλλά έχω συναντήσει ενστάσεις.
+1 στον Αποστόλη. Με τον κύριο Σταύρο τα έχουμε πει και σε πμ... Οτιδήποτε "ξεφεύγει" από τα τετριμμένα ενέχει κινδύνους :(


Απάντηση

Επιστροφή σε “Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης