Κριτήριο ομοιότητας

#1

: Κριτήριο ομοιότητας.png (11.73 KiB) Προβλήθηκε 1113 φορές

Τα τρίγωνα ABC, A_1B_1C_1

έχουν διαμέσους AM, A_1M_1

αντίστοιχα και $B\widehat AM=B_1\widehat A_1M_1, M\widehat AC=M_1\widehat A_1C_1.$

Είναι τα τρίγωνα αυτά όμοια; Αιτιολογήστε την απάντησή σας.

Μέχρι 18/07/2018

Διονύσιος Αδαμόπουλος · #2

Εκτελούμε νόμο ημιτόνων στα τρίγωνα BAM

και

. Έχουμε:

$\dfrac{\sin{\widehat{BAM}}}{\sin{\widehat{AMB}}}=\dfrac{BM}{AB}$ και $\dfrac{\sin{\widehat{CAM}}}{\sin{\widehat{AMC}}}=\dfrac{CM}{AC}$ .

Λόγω του ότι BM=CM

και $\sin{\widehat{AMB}}=\sin{\widehat{AMC}}$ , αφού οι γωνίες αυτές είναι παραπληρωματικές, έχουμε ότι $\dfrac{\sin{\widehat{BAM}}}{\sin{\widehat{CAM}}}=\dfrac{AC}{AB}$

Όμοια εκτελούμε νόμο ημιτόνων στα τρίγωνα B_1A_1M_1

και

και προκύπτει ότι:

$\dfrac{\sin{\widehat{B_1A_1M_1}}}{\sin{\widehat{C_1A_1M_1}}}=\dfrac{A_1C_1}{A_1B_1}$

Από τις ισότητες γωνιών προκύπτει τελικά ότι $\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{A_1C_1}{A_1B_1}$ , άρα αφού $\widehat{BAC}=\widehat{B_1A_1C_1}$ , τα τρίγωνα είναι πράγματι όμοια.

#3

george visvikis έγραψε: ↑
Δευ Ιούλ 16, 2018 7:26 pm
Κριτήριο ομοιότητας.png
Τα τρίγωνα έχουν διαμέσους αντίστοιχα και $B\widehat AM=B_1\widehat A_1M_1, M\widehat AC=M_1\widehat A_1C_1.$

Είναι τα τρίγωνα αυτά όμοια; Αιτιολογήστε την απάντησή σας.

Μέχρι 18/07/2018

: κρητήριο ομοιότητας.png (21.54 KiB) Προβλήθηκε 1084 φορές

Αν $E,\,\,{E_1}$ τα συμμετρικά των $A,\,\,{A_1}$ ως προς τα $M,\,\,{M_1}$ αντίστοιχα , τότε αβίαστα προκύπτουν:

1 ) Τα μεν τετράπλευρα $ABEC\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,{A_1}{B_1}{E_1}{C_1}\,$ είναι παραλληλόγραμμα .

2 ) Τα δε τρίγωνα $ABE\,\,\kappa \alpha \iota \,\,{A_1}{B_1}{E_1}$ είναι όμοια .

Θα ισχύει λοιπόν : $\dfrac{{AC}}{{{A_1}{C_1}}} = \dfrac{{CE}}{{{C_1}{E_1}}} = \dfrac{{AB}}{{{A_1}{B_1}}}$ συνεπώς τα τρίγωνα $ABC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,{A_1}{B_1}{C_1}$

έχουν δύο πλευρές ανάλογες, $\boxed{\frac{{AC}}{{{A_1}{C_1}}} = \frac{{AB}}{{{A_1}{B_1}}}}$ . και τις περιεχόμενες γωνίες , $\boxed{\widehat {BAC}\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\widehat {{B_1}{A_1}{C_1}}}$ ίσες, οπότε είναι όμοια .

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #4

george visvikis έγραψε: ↑
Δευ Ιούλ 16, 2018 7:26 pm
Κριτήριο ομοιότητας.png
Τα τρίγωνα έχουν διαμέσους αντίστοιχα και $B\widehat AM=B_1\widehat A_1M_1, M\widehat AC=M_1\widehat A_1C_1.$

Είναι τα τρίγωνα αυτά όμοια; Αιτιολογήστε την απάντησή σας.

Μέχρι 18/07/2018

Παίρνω το

και το τοποθετώ πάνω στο ABC

Το

θα πέσει πάνω στην

Αν η

είναι παράλληλη στην

τέλος.

Διαφορετικά φέρω την B_2C_2

που περνάει από το M_1

και είναι παράλληλη στην

.

Ευκολα προκύπτει ότι το B_1C_1C_2B_2

παραλληλόγραμμο ΑΤΟΠΟ

Γιώργος Μήτσιος · #5

Καλημέρα.Ενδιαφέρον θέμα ! Ας επιχειρήσουμε μια γενίκευση :

: Κριτήριο ομοιότητας.PNG (6.99 KiB) Προβλήθηκε 1028 φορές

Αν για τα τρίγωνα ABC, DEZ

ισχύει επιπλέον $\dfrac{BH}{HC}=\lambda = \dfrac{EI}{IZ}$ να εξεταστεί αν αυτά είναι όμοια
.

Εφαρμόζοντας όπως πριν ο Διονύσης τον Νόμο παίρνουμε

Στο τρίγωνο ABC

: $\dfrac{\eta \mu \omega }{BH}=\dfrac{\eta \mu x}{AB}\Rightarrow \eta \mu \omega \cdot AB=\eta \mu x \cdot BH$ . Ομοίως στο AHC

: $\eta \mu \theta \cdot AC=\eta \mu \left ( \pi -x \right )\cdot HC$ .

Με διαίρεση κατά μέλη $\eta \mu \omega \cdot AB=\lambda \cdot \eta \mu \theta \cdot AC...\left ( 1 \right )$

Αλλά και στα τρίγωνα DEI, DIZ

προκύπτουν $\eta \mu \omega \cdot DE=\eta \mu y\cdot EI$ και $\eta \mu \theta \cdot DZ=\eta \mu \left ( \pi -y \right )\cdot IZ$

οπότε διαιρώντας τες $\eta \mu \omega \cdot DE=\lambda \cdot \eta \mu \theta \cdot DZ...\left ( 2 \right )$

Με μια ακόμη διαίρεση των (1) , (2)

παίρνουμε $\dfrac{AB}{DE}=\dfrac{AC}{DZ}$ ενώ $\widehat{BAC}=\widehat{EDZ}$ που σημαίνει ότι τα εν λόγω τρίγωνα είναι όμοια.. Φιλικά Γιώργος.

#6

Μία αντιμετώπιση που ισχύει και για την αρχική άσκηση, αλλά και για την γενίκευση του Γιώργου Μήτσιου.

: Κριτήριο ομοιότητας.β.png (14.13 KiB) Προβλήθηκε 994 φορές

Επί των

θεωρώ τα σημεία K, L

αντίστοιχα, ώστε AK=DE, AL=DZ.

Άρα τα τρίγωνα

AKL, DEZ

είναι ίσα και το

που είναι αντίστοιχο του

θα πέσει πάνω στην AH.

$\displaystyle \frac{{BH}}{{HC}} = \lambda = \frac{{EI}}{{IZ}} = \frac{{KP}}{{PL}} \Rightarrow KL||BC$ και το ζητούμενο έπεται.

min## · #7

Εναλλακτικά,μετακινώντας και μεγεθύνοντας το DEZ

επαρκώς για να συμπέσουν BC,EZ

,θα συμπέσουν και τα H,I

.Εύκολα βλέπουμε ότι δεδομένου ότι βρίσκονται τα 2 τρίγωνα στο ίδιο ημιεπίπεδο,το

βρίσκεται πάνω σε κύκλους που ορίζονται από τα ABH,ACH

,δηλαδή είναι η τομή τους,το

κλπ.

Κριτήριο ομοιότητας

Κριτήριο ομοιότητας

Re: Κριτήριο ομοιότητας

Re: Κριτήριο ομοιότητας

Re: Κριτήριο ομοιότητας

Re: Κριτήριο ομοιότητας

Re: Κριτήριο ομοιότητας

Re: Κριτήριο ομοιότητας

Μέλη σε σύνδεση