Κριτήριο ομοιότητας

Σ' αυτόν τόν φάκελο καταχωρούνται, γιά περιορισμένο χρονικό διάστημα, ασκήσεις πού προτείνονται από οποιοδήποτε μέλος, αλλά η επίλυσή τους αφήνεται ΜΟΝΟ στούς μαθητές.

Συντονιστής: polysot

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10655
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Κριτήριο ομοιότητας

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Δευ Ιούλ 16, 2018 7:26 pm

Κριτήριο ομοιότητας.png
Κριτήριο ομοιότητας.png (11.73 KiB) Προβλήθηκε 751 φορές
Τα τρίγωνα ABC, A_1B_1C_1 έχουν διαμέσους AM, A_1M_1 αντίστοιχα και B\widehat AM=B_1\widehat A_1M_1, M\widehat AC=M_1\widehat A_1C_1.

Είναι τα τρίγωνα αυτά όμοια; Αιτιολογήστε την απάντησή σας.

Μέχρι 18/07/2018



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Διονύσιος Αδαμόπουλος
Δημοσιεύσεις: 807
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας

Re: Κριτήριο ομοιότητας

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Διονύσιος Αδαμόπουλος » Δευ Ιούλ 16, 2018 7:42 pm

Εκτελούμε νόμο ημιτόνων στα τρίγωνα BAM και CAM. Έχουμε:

\dfrac{\sin{\widehat{BAM}}}{\sin{\widehat{AMB}}}=\dfrac{BM}{AB} και \dfrac{\sin{\widehat{CAM}}}{\sin{\widehat{AMC}}}=\dfrac{CM}{AC}.

Λόγω του ότι BM=CM και \sin{\widehat{AMB}}=\sin{\widehat{AMC}}, αφού οι γωνίες αυτές είναι παραπληρωματικές, έχουμε ότι \dfrac{\sin{\widehat{BAM}}}{\sin{\widehat{CAM}}}=\dfrac{AC}{AB}

Όμοια εκτελούμε νόμο ημιτόνων στα τρίγωνα B_1A_1M_1 και C_1A_1M_1 και προκύπτει ότι:

\dfrac{\sin{\widehat{B_1A_1M_1}}}{\sin{\widehat{C_1A_1M_1}}}=\dfrac{A_1C_1}{A_1B_1}

Από τις ισότητες γωνιών προκύπτει τελικά ότι \dfrac{AC}{AB}=\dfrac{A_1C_1}{A_1B_1}, άρα αφού \widehat{BAC}=\widehat{B_1A_1C_1}, τα τρίγωνα είναι πράγματι όμοια.


Houston, we have a problem!
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8045
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Κριτήριο ομοιότητας

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Δευ Ιούλ 16, 2018 9:16 pm

george visvikis έγραψε:
Δευ Ιούλ 16, 2018 7:26 pm
Κριτήριο ομοιότητας.png
Τα τρίγωνα ABC, A_1B_1C_1 έχουν διαμέσους AM, A_1M_1 αντίστοιχα και B\widehat AM=B_1\widehat A_1M_1, M\widehat AC=M_1\widehat A_1C_1.

Είναι τα τρίγωνα αυτά όμοια; Αιτιολογήστε την απάντησή σας.

Μέχρι 18/07/2018
κρητήριο ομοιότητας.png
κρητήριο ομοιότητας.png (21.54 KiB) Προβλήθηκε 722 φορές
Αν E,\,\,{E_1} τα συμμετρικά των A,\,\,{A_1} ως προς τα M,\,\,{M_1} αντίστοιχα , τότε αβίαστα προκύπτουν:

1 ) Τα μεν τετράπλευρα ABEC\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,{A_1}{B_1}{E_1}{C_1}\, είναι παραλληλόγραμμα .

2 ) Τα δε τρίγωνα ABE\,\,\kappa \alpha \iota \,\,{A_1}{B_1}{E_1} είναι όμοια .

Θα ισχύει λοιπόν : \dfrac{{AC}}{{{A_1}{C_1}}} = \dfrac{{CE}}{{{C_1}{E_1}}} = \dfrac{{AB}}{{{A_1}{B_1}}} συνεπώς τα τρίγωνα ABC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,{A_1}{B_1}{C_1}

έχουν δύο πλευρές ανάλογες,\boxed{\frac{{AC}}{{{A_1}{C_1}}} = \frac{{AB}}{{{A_1}{B_1}}}} . και τις περιεχόμενες γωνίες , \boxed{\widehat {BAC}\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\widehat {{B_1}{A_1}{C_1}}} ίσες, οπότε είναι όμοια .


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3371
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Κριτήριο ομοιότητας

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Δευ Ιούλ 16, 2018 11:13 pm

george visvikis έγραψε:
Δευ Ιούλ 16, 2018 7:26 pm
Κριτήριο ομοιότητας.png
Τα τρίγωνα ABC, A_1B_1C_1 έχουν διαμέσους AM, A_1M_1 αντίστοιχα και B\widehat AM=B_1\widehat A_1M_1, M\widehat AC=M_1\widehat A_1C_1.

Είναι τα τρίγωνα αυτά όμοια; Αιτιολογήστε την απάντησή σας.

Μέχρι 18/07/2018
Παίρνω το  A_1B_1C_1 και το τοποθετώ πάνω στο ABC

Το  M_1 θα πέσει πάνω στην AM

Αν η  B_1C_1 είναι παράλληλη στην BC τέλος.

Διαφορετικά φέρω την  B_2C_2 που περνάει από το  M_1 και είναι παράλληλη στην BC.

Ευκολα προκύπτει ότι το B_1C_1C_2B_2 παραλληλόγραμμο ΑΤΟΠΟ


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 1450
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Re: Κριτήριο ομοιότητας

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Τρί Ιούλ 17, 2018 1:47 am

Καλημέρα.Ενδιαφέρον θέμα ! Ας επιχειρήσουμε μια γενίκευση :
Κριτήριο ομοιότητας.PNG
Κριτήριο ομοιότητας.PNG (6.99 KiB) Προβλήθηκε 666 φορές
Αν για τα τρίγωνα ABC, DEZ ισχύει επιπλέον \dfrac{BH}{HC}=\lambda = \dfrac{EI}{IZ} να εξεταστεί αν αυτά είναι όμοια
.

Εφαρμόζοντας όπως πριν ο Διονύσης τον Νόμο παίρνουμε

Στο τρίγωνο ABC : \dfrac{\eta \mu \omega }{BH}=\dfrac{\eta \mu x}{AB}\Rightarrow \eta \mu \omega \cdot AB=\eta \mu x \cdot BH. Ομοίως στο AHC : \eta \mu \theta \cdot AC=\eta \mu \left ( \pi -x \right )\cdot HC .

Με διαίρεση κατά μέλη \eta \mu \omega \cdot AB=\lambda \cdot \eta \mu \theta \cdot AC...\left ( 1 \right )

Αλλά και στα τρίγωνα DEI, DIZ προκύπτουν \eta \mu \omega \cdot DE=\eta \mu y\cdot EI και \eta \mu \theta \cdot DZ=\eta \mu \left ( \pi -y \right )\cdot IZ

οπότε διαιρώντας τες \eta \mu \omega \cdot DE=\lambda \cdot \eta \mu \theta \cdot DZ...\left ( 2 \right )

Με μια ακόμη διαίρεση των (1) , (2) παίρνουμε \dfrac{AB}{DE}=\dfrac{AC}{DZ} ενώ \widehat{BAC}=\widehat{EDZ} που σημαίνει ότι τα εν λόγω τρίγωνα είναι όμοια.. Φιλικά Γιώργος.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10655
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Κριτήριο ομοιότητας

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Ιούλ 17, 2018 11:41 am

Μία αντιμετώπιση που ισχύει και για την αρχική άσκηση, αλλά και για την γενίκευση του Γιώργου Μήτσιου.
Κριτήριο ομοιότητας.β.png
Κριτήριο ομοιότητας.β.png (14.13 KiB) Προβλήθηκε 632 φορές
Επί των AB, AC θεωρώ τα σημεία K, L αντίστοιχα, ώστε AK=DE, AL=DZ. Άρα τα τρίγωνα

AKL, DEZ είναι ίσα και το P που είναι αντίστοιχο του I θα πέσει πάνω στην AH.

\displaystyle \frac{{BH}}{{HC}} = \lambda  = \frac{{EI}}{{IZ}} = \frac{{KP}}{{PL}} \Rightarrow KL||BC και το ζητούμενο έπεται.


Άβαταρ μέλους
min##
Δημοσιεύσεις: 326
Εγγραφή: Τρί Απρ 18, 2017 3:40 pm

Re: Κριτήριο ομοιότητας

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από min## » Τρί Ιούλ 17, 2018 12:08 pm

Εναλλακτικά,μετακινώντας και μεγεθύνοντας το DEZ επαρκώς για να συμπέσουν BC,EZ
,θα συμπέσουν και τα H,I.Εύκολα βλέπουμε ότι δεδομένου ότι βρίσκονται τα 2 τρίγωνα στο ίδιο ημιεπίπεδο,το D βρίσκεται πάνω σε κύκλους που ορίζονται από τα ABH,ACH,δηλαδή είναι η τομή τους,το A κλπ.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης