Εξίσωση

Σ' αυτόν τόν φάκελο καταχωρούνται, γιά περιορισμένο χρονικό διάστημα, ασκήσεις πού προτείνονται από οποιοδήποτε μέλος, αλλά η επίλυσή τους αφήνεται ΜΟΝΟ στούς μαθητές.

Συντονιστής: polysot

Άβαταρ μέλους
Λάμπρος Μπαλός
Δημοσιεύσεις: 908
Εγγραφή: Τρί Αύγ 13, 2013 12:21 pm
Τοποθεσία: Τρίκαλα

Εξίσωση

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Μπαλός » Σάβ Απρ 28, 2018 1:59 pm

Α' Λυκείου , μέχρι την 1η Μαΐου

Αν x_{1},x_{2}>0 είναι οι ρίζες της εξίσωσης x^{2}-Sx+P=0 και A=\sqrt[3]{x_{1}} + \sqrt[3]{x_{2}},

α) Να αποδείξετε ότι A^{3}=3 \sqrt[3]{P}\cdot A+S.

β) Να βρείτε μία ρίζα της εξίσωσης x^{3}-3x-8=0.


Λάμπρος Μπαλός
lamprosbalos81@gmail.com

Λέξεις Κλειδιά:
glinos
Δημοσιεύσεις: 16
Εγγραφή: Σάβ Φεβ 17, 2018 3:08 pm
Τοποθεσία: Περαία, Θεσσαλονίκη

Re: Εξίσωση

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από glinos » Δευ Απρ 30, 2018 1:16 pm

Λάμπρος Μπαλός έγραψε:
Σάβ Απρ 28, 2018 1:59 pm
Α' Λυκείου , μέχρι την 1η Μαΐου

Αν x_{1},x_{2}>0 είναι οι ρίζες της εξίσωσης x^{2}-Sx+P=0 και A=\sqrt[3]{x_{1}} + \sqrt[3]{x_{2}},

α) Να αποδείξετε ότι A^{3}=3 \sqrt[3]{P}\cdot A+S.

β) Να βρείτε μία ρίζα της εξίσωσης x^{3}-3x-8=0.
α)

A^{3}=\left ( {\sqrt[3]{{x_1{}}}}+{\sqrt[3]{{x_{2}}}} \right )^{3}=

{x_1}+3{\sqrt[3]{{x_1}^2}}{\sqrt[3]{{x_2}}}+3{\sqrt[3]{{x_2}^2}}{\sqrt[3]{{x_1}}}+x_2=

x_1+x_2+3{\sqrt[3]{{x_1}{x_2}}}\left ( {\sqrt[3]{{x_1}}}+{\sqrt[3]{{x_2}}} \right )=

3{\sqrt[3]{P}}\cdot A+S

β)

Από την προηγούμενη απάντηση συνεπάγεται ότι A^3-3{\sqrt[3]{P}}\cdot A-S=0

δηλαδή A^3-3{\sqrt[3]{{x_1}{x_2}}}\cdot A-(x_1+x_2)=0, ενώ A={\sqrt[3]{x_1}}+{\sqrt[3]{x_2}}.

Παρόμοια θα εργαστούμε και στην εξίσωση x^3-3x-8=0.

Τότε μία ρίζα είναι x={\sqrt[3]{\rho_1}}+{\sqrt[3]{\rho_2}}

όπου 3{\sqrt[3]{\rho_1\rho_2}}=3 και \rho_1+\rho_2=8.

Λύνοντας το σύστημα βρίσκουμε \rho_1=4+{\sqrt{15}} και

\rho_2=4-{\sqrt{15}}, οπότε μία ρίζα είναι η x={\sqrt[3]{4+\sqrt{15}}}+{\sqrt[3]{4-\sqrt{15}}}


Γιαννάκης Άγγελος
Απάντηση

Επιστροφή σε “Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης