Είναι ρητός (Μέχρι Α Λυκείου)

#1

Αν $\displaystyle{a , b , \frac{2018+a\sqrt{12}}{3027+b\sqrt{27}}}$ είναι ρητοί αριθμοί , να αποδείξετε ότι $\displaystyle{a=b}$

(Μέχρι 15-1-2018)

Κατερινόπουλος Νικόλας · #2

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 06, 2018 5:09 pm
Αν $\displaystyle{a , b , \frac{2018+a\sqrt{12}}{3027+b\sqrt{27}}}$ είναι ρητοί αριθμοί , να αποδείξετε ότι $\displaystyle{a=b}$

(Μέχρι 15-1-2018)

Έστω

$\displaystyle{\dfrac{2018+a\sqrt{12}}{3027+b\sqrt{27}}=\dfrac{m}{n}}$ όπου m,n

ρητοί.

Άρα:

$\dfrac{2018+2a\sqrt{3}}{3027+3a\sqrt{3}}=\dfrac{m}{n}\Rightarrow$
$2018n+2an\sqrt{3}=3027m+3bm\sqrt{3}\Rightarrow$

$\displaystyle{\sqrt{3}(2an-3bd)=3027m-2018n}$

Επειδή $\sqrt{3}$ άρρητος και 2an-3bm,3027m-2018n

ρητοί, έχω 2an-3bm=3027m-2018n=0.

Επομένως,

$\left.\begin{matrix} 2an=3bm & \\ 3027m=2018n & \end{matrix}\right\}\begin{matrix} \dfrac{3bm}{2a}=n & \\ \dfrac{3027m}{2018}=n & \end{matrix}$

Άρα

$\dfrac{3027m}{2018}=\dfrac{3bm}{2a}\Rightarrow 6054am=6054bm\Rightarrow\boxed{a=b}$

Είναι ρητός (Μέχρι Α Λυκείου)

Είναι ρητός (Μέχρι Α Λυκείου)

Re: Είναι ρητός (Μέχρι Α Λυκείου)

Μέλη σε σύνδεση