Μονά-ζυγά Συλλογή Ασκήσεων

Σ' αυτόν τόν φάκελο καταχωρούνται, γιά περιορισμένο χρονικό διάστημα, ασκήσεις πού προτείνονται από οποιοδήποτε μέλος, αλλά η επίλυσή τους αφήνεται ΜΟΝΟ στούς μαθητές.

Συντονιστής: polysot

Άβαταρ μέλους
Ορέστης Λιγνός
Δημοσιεύσεις: 1246
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής

Re: Μονά-ζυγά Συλλογή Ασκήσεων

#61

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ορέστης Λιγνός » Δευ Φεβ 05, 2018 9:06 pm

Ανδρέας Πούλος έγραψε:
Δευ Φεβ 05, 2018 8:20 pm
18η Άσκηση.
Σε μια ευθεία ορίζουμε δύο σημεία A και B.
Στη συνέχει επιλέγουμε τυχαία στην ευθεία 9 σημεία που δεν ανήκουν στο ευθύγραμμο τμήμα AB.
Να αποδείξετε ότι το άθροισμα των αποστάσεων των εννέα σημείων από το A, δεν είναι ίσο με το άθροισμα των αποστάσεών τους από το B.

Αν γενικεύσετε το ερώτημα με n, τι τιμές παίρνει ο φυσικός n ώστε να ισχύει το ζητούμενο;
Καλησπέρα κύριε Ανδρέα.

Θα εργαστούμε κατευθείαν για την γενική περίπτωση.

Θα βρούμε για ποιες τιμές του n μπορεί να είναι S_A=S_B (όπου S_A,S_B τα αθροίσματα των αποστάσεων των n σημείων από τα A,B ).

Ονομάζουμε P_1,P_2, \ldots, P_n τα σημεία.

Έστω πως a σημεία (έστω τα P_1,P_2, \ldots, P_a) βρίσκονται αριστερά του A, και τα υπόλοιπα n-a (έστω τα P_{a+1}, \ldots, P_n) δεξιά του B.

Είναι \displaystyle S_A=\sum_{i=1}^{n} AP_i=\sum_{j=1}^{a}AP_j+\sum_{k=a+1}^{n} AP_k.

Όμοια \displaystyle S_B=\sum_{i=1}^{n} BP_i=\sum_{j=1}^{a}BP_j+\sum_{k=a+1}^{n} BP_k.

Είναι S_A=S_B, άρα \displaystyle S_A-S_B=0 \Rightarrow \sum_{j=1}^{a}(AP_j-BP_j)+\sum_{k=a+1}^{n}(AP_k-BP_k)=0 (1).

Παρατηρούμε ότι για κάθε σημείο αριστερά του A ισχύει AP_j-BP_j=-AB, ενώ για κάθε σημείο δεξιά του B ισχύει AP_k-BP_k=AB.

Έτσι η (1) γίνεται -ABa+AB(n-a)=0 \Rightarrow n=2a=\textnormal{\gr άρτιος}.

Έτσι, το ζητούμενο ισχύει (δηλαδή να μην γίνεται το άθροισμα των αποστάσεων να είναι το ίδιο) όταν \boxed{n=2k+1}.

Η αρχική περίπτωση για n=9 γίνεται προφανής αφού 9 περιττός.


Ο καθένας λέει ότι να΄ναι και είναι πάντα σύμφωνος με τον εαυτό του ! 'Ολοι μιλάνε και κανείς δεν ακούει! Ο κόσμος είναι σε νοητική αδράνεια ! Ελένη Γλυκατζή Αρβελέρ

Λέξεις Κλειδιά:
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 1753
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: 18η Άσκηση Μονά-ζυγά Συλλογή Ασκήσεων

#62

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Δευ Φεβ 05, 2018 9:47 pm

Ανδρέας Πούλος έγραψε:
Δευ Φεβ 05, 2018 8:20 pm
18η Άσκηση.
Σε μια ευθεία ορίζουμε δύο σημεία A και B.
Στη συνέχει επιλέγουμε τυχαία στην ευθεία 9 σημεία που δεν ανήκουν στο ευθύγραμμο τμήμα AB.
Να αποδείξετε ότι το άθροισμα των αποστάσεων των εννέα σημείων από το A, δεν είναι ίσο με το άθροισμα των αποστάσεών τους από το B.

Αν γενικεύσετε το ερώτημα με n, τι τιμές παίρνει ο φυσικός n ώστε να ισχύει το ζητούμενο;
Μετά την λύση του Ορέστη θα δώσω την ίδια λύση με άλλη ορολογία ίσως εκτός φακέλλου.

Θεωρούμε τα σημεία πάνω στον άξονα των πραγματικών.

Μπορούμε να υποθέσουμε ότι A\equiv 0,B\equiv 1

Εστω a_{1}<a_{2}<....<a_{n} τα σημεία με a_{i}\notin [0,1],i=1,2,...n

Θεωρούμε την συνάρτηση

f(x)=\left | x-a_{1} \right |+\left | x-a_{2} \right |+...+\left | x-a_{n} \right |

Για να συμβεί αυτό που θέλουμε πρέπει και αρκεί f(0)=f(1)

Η συνάρτηση στα διαστήματα που ορίζουν τα a_{i},0,1

είναι της μορφής Dx+K

Αν ισχύει η f(0)=f(1) τότε στο διάστημα [0,1] πρέπει να είναι σταθερή.

Αυτό σημαίνει ότι πρέπει να εξαφανιστούν τα x.

Αυτό μπορεί να συμβεί αν το n είναι άρτιος.

Αρα αν το n είναι περιττός δεν μπορεί να συμβεί.

Οταν ο n είναι άρτιος γίνεται αν και μόνο αν τα μισά είναι αρνητικά και τα μισά μεγαλύτερα του 1


Άβαταρ μέλους
Ανδρέας Πούλος
Δημοσιεύσεις: 1344
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 01, 2009 10:47 pm
Τοποθεσία: ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ
Επικοινωνία:

Re: Μονά-ζυγά Συλλογή Ασκήσεων

#63

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ανδρέας Πούλος » Τρί Φεβ 06, 2018 9:23 am

Μπράβο Ορέστη για τη λύση και για τη μόνιμη συνεισφορά σου.
Σταύρο σε ευχαριστούμε για την "άλλη ματιά".
Αν καταφέρουμε να συγκεντρώσουμε γύρω στα 100 θέματα με πολλαπλές λύσεις
και γενικεύσεις όπως σχεδιάσε ο Μιχάλης Λάμπρου
θα είναι δυνατόν να εκδοθεί σε ένα μικρό βιβλίο με κόστος 2-3 ευρώ.
Να είναι προσιτό σε όλους και να μην χρειάζεται ούτε καν να φωτοτυπηθεί.
Προχωράμε, στείλτε προβλήματα σε αυτό το πνεύμα και οι καλοί λύτες είναι εδώ. :idea: :roll:


Άβαταρ μέλους
Ανδρέας Πούλος
Δημοσιεύσεις: 1344
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 01, 2009 10:47 pm
Τοποθεσία: ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ
Επικοινωνία:

Άσκηση 19η: Μονά-ζυγά Συλλογή Ασκήσεων

#64

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ανδρέας Πούλος » Σάβ Φεβ 10, 2018 10:32 am

Το θέμα που προτείνουμε βασίζεται σε γνωστό θεώρημα.
Το σχήμα το έχω πάρει από σχετική ιστοσελίδα.

ΑΣΚΗΣΗ 19η:
Στο σχήμα δίνεται ένα σημείο και μια κλειστή γραμμή.
Να βρεθεί μια τακτική που να προσδιορίζει αν το σημείο βρίσκεται μέσα ή έξω από την κλειστή γραμμή.
Συνημμένα
για μονά ζυγά 1.jpg
για μονά ζυγά 1.jpg (46.35 KiB) Προβλήθηκε 708 φορές


Άβαταρ μέλους
Διονύσιος Αδαμόπουλος
Δημοσιεύσεις: 666
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας

Re: Άσκηση 19η: Μονά-ζυγά Συλλογή Ασκήσεων

#65

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Διονύσιος Αδαμόπουλος » Κυρ Φεβ 11, 2018 10:09 pm

Ανδρέας Πούλος έγραψε:
Σάβ Φεβ 10, 2018 10:32 am
ΑΣΚΗΣΗ 19η:
Στο σχήμα δίνεται ένα σημείο και μια κλειστή γραμμή.
Να βρεθεί μια τακτική που να προσδιορίζει αν το σημείο βρίσκεται μέσα ή έξω από την κλειστή γραμμή.
Αφού η γραμμή είναι κλειστή, ξεκινάμε από ένα σημείο που βρίσκεται έξω από το σχήμα και το ενώνουμε με μια ευθεία με το ζητούμενο σημείο. Κάθε φορά που διασταυρώνουμε την κλειστή γραμμή αλλάζουμε την κατάσταση: μέσα, έξω, μέσα, ... εναλλάξ.

Για συντομία ξεκινάμε έξω από το αριστερό τμήμα του σχήματος. Για να φτάσουμε στο ζητούμενο σημείο έχουμε 3 διασταυρώσεις, περιττός αριθμός, άρα το σημείο είναι μέσα από την κλειστή γραμμή.


Houston, we have a problem!
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10126
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Άσκηση 19η: Μονά-ζυγά Συλλογή Ασκήσεων

#66

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Κυρ Φεβ 11, 2018 10:25 pm

Διονύσιος Αδαμόπουλος έγραψε:
Κυρ Φεβ 11, 2018 10:09 pm
Για συντομία ξεκινάμε έξω από το αριστερό τμήμα του σχήματος. Για να φτάσουμε στο ζητούμενο σημείο έχουμε 3 διασταυρώσεις, περιττός αριθμός, άρα το σημείο είναι μέσα από την κλειστή γραμμή.
Ωραιότατα.

Ας προσθέσω ότι έχουμε 3 διασταυρώσεις αν πάρουμε τον πιο σύντομο/σβέλτο δρόμο. Άλλη κατεύθυνση δίνει 5, \, 7, \, 9, \,11 διασταυρώσεις, πάντως περιττό πλήθος.

Ας επισημάνω οτι η άσκηση είναι απλή ειδική περίπτωση του Θεωρήματος Jordan της Τοπολογίας για "απλές κλειστές καμπύλες", το οποίο είναι δύσκολο θεώρημα. Βλέπε λίγα σχόλια εδώ.


Άβαταρ μέλους
Διονύσιος Αδαμόπουλος
Δημοσιεύσεις: 666
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας

Re: Μονά-ζυγά Συλλογή Ασκήσεων

#67

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Διονύσιος Αδαμόπουλος » Κυρ Φεβ 18, 2018 10:48 pm

Άσκηση 20η

Στο παιχνίδι της εικόνας μπορούμε να μετακινούμε την κενή θέση σύροντας κατάλληλα ένα γειτονικό της κομμάτι ώστε να καταλάβει τη θέση αυτή. Είναι δυνατό μετά από κάποιες κινήσεις η κενή θέση να βρίσκεται στο ίδιο σημείο αλλά να έχει γίνει αντιμετάθεση του 14 με το 15;
14-15-puzzle.png
14-15-puzzle.png (17.66 KiB) Προβλήθηκε 621 φορές


Houston, we have a problem!
Άβαταρ μέλους
Διονύσιος Αδαμόπουλος
Δημοσιεύσεις: 666
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας

Re: Μονά-ζυγά Συλλογή Ασκήσεων

#68

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Διονύσιος Αδαμόπουλος » Σάβ Φεβ 24, 2018 12:24 am

Επαναφορά για όλους!


Houston, we have a problem!
Άβαταρ μέλους
Ανδρέας Πούλος
Δημοσιεύσεις: 1344
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 01, 2009 10:47 pm
Τοποθεσία: ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ
Επικοινωνία:

Re: Μονά-ζυγά Συλλογή Ασκήσεων

#69

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ανδρέας Πούλος » Δευ Φεβ 26, 2018 9:12 pm

Παρ΄ ότι δεν λύθηκε η ΑΣΚΗΣΗ 19 του Διονύση, (με την ευκαιρία, Διονύση, καλή επιτυχία στον ΑΡΧΙΜΗΔΗ 2018),
προτείνω για επίλυση το επόμενο θέμα:

ΑΣΚΗΣΗ 20η:
Κάθε έναν από τους αριθμούς του συνόλου { {1, 2, 3, ..., n}} , όπου n περιττός φυσικός,
τους ονομάζω με τυχαίο τρόπο ως x{1}, x{2}, x{3}, ..., x{n}  .
Να αποδειχθεί ότι το γινόμενο \left (x{1}-1 \right)\left (x{2}-2  \right)\left ( x{3}-3 \right)...\left (x{n}-n)
είναι αριθμός άρτιος.


Άβαταρ μέλους
Ορέστης Λιγνός
Δημοσιεύσεις: 1246
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής

Re: Μονά-ζυγά Συλλογή Ασκήσεων

#70

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ορέστης Λιγνός » Δευ Φεβ 26, 2018 9:22 pm

Ανδρέας Πούλος έγραψε:
Δευ Φεβ 26, 2018 9:12 pm
Παρ΄ ότι δεν λύθηκε η ΑΣΚΗΣΗ 19 του Διονύση, (με την ευκαιρία, Διονύση, καλή επιτυχία στον ΑΡΧΙΜΗΔΗ 2018),
προτείνω για επίλυση το επόμενο θέμα:

ΑΣΚΗΣΗ 20η:
Κάθε έναν από τους αριθμούς του συνόλου { {1, 2, 3, ..., n}} , όπου n περιττός φυσικός,
τους ονομάζω με τυχαίο τρόπο ως x{1}, x{2}, x{3}, ..., x{n}  .
Να αποδειχθεί ότι το γινόμενο \left (x{1}-1 \right)\left (x{2}-2  \right)\left ( x{3}-3 \right)...\left (x{n}-n)
είναι αριθμός άρτιος.
Καλησπέρα κύριε Ανδρέα.

Έστω ότι το γινόμενο είναι περιττός αριθμός, οπότε όλοι του οι όροι είναι περιττός αριθμός.

Το άθροισμα των όρων του γινομένου είναι x_1+x_2+ \ldots x_n-(1+2 + \ldots +n)=0 (αφού οι x_1,x_2, \ldots, x_n είναι αναδιάταξη των 1,2, \ldots , n).

Το πλήθος αυτών των όρων είναι n, δηλαδή περιττός αριθμός.

Όμως, το άθροισμα περιττού πλήθος περιττών είναι περιττός \neq 0, άτοπο.

Επομένως, το γινόμενο (x_1-1)(x_2-1) \cdots (x_n-n) είναι άρτιος.


Ο καθένας λέει ότι να΄ναι και είναι πάντα σύμφωνος με τον εαυτό του ! 'Ολοι μιλάνε και κανείς δεν ακούει! Ο κόσμος είναι σε νοητική αδράνεια ! Ελένη Γλυκατζή Αρβελέρ
Friedoon
Δημοσιεύσεις: 61
Εγγραφή: Δευ Οκτ 24, 2016 6:39 pm
Τοποθεσία: Γλυφάδα

Re: Μονά-ζυγά Συλλογή Ασκήσεων

#71

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Friedoon » Δευ Φεβ 26, 2018 10:35 pm

Διονύσιος Αδαμόπουλος έγραψε:
Κυρ Φεβ 18, 2018 10:48 pm
Άσκηση 20η

Στο παιχνίδι της εικόνας μπορούμε να μετακινούμε την κενή θέση σύροντας κατάλληλα ένα γειτονικό της κομμάτι ώστε να καταλάβει τη θέση αυτή. Είναι δυνατό μετά από κάποιες κινήσεις η κενή θέση να βρίσκεται στο ίδιο σημείο αλλά να έχει γίνει αντιμετάθεση του 14 με το 15;

14-15-puzzle.png
Θεωρούμε S το σύνολο των ζευγών αριθμών του πίνακα (x_1,x_2) ,με x_1<x_2, τα οποία δεν είναι διατεταγμένα κατά αύξουσα σειρά στον πίνακα, δηλαδή για τα οποία το x_1 είναι τοποθετημένο πιο μετά από το x_2.

Αρχικά το S έχει 1 στοιχείο,περιττός αριθμός.

Κάθε κατακόρυφη μετατόπιση κουτιού αλλάζει το πλήθος ζευγών στο S κατά 3.(για παράδειγμα αν στην πρώτη κίνηση κατεβάσουμε το 12 στο S θα προστεθούν τα (12,13)(12,14)(12,15))

Κάθε οριζόντια μετατόπιση κουτιού δεν επηρεάζει το S.

Επειδή θέλουμε το άσπρο κουτί να καταλήξει από εκεί που ξεκίνησε θα έχουμε άρτιο αριθμό κατακόρυφων μετατοπίσεων. Άρα το S θα έχει πάλι περιττό πλήθος στοιχείων και άρα δε γίνεται να έχει 0 όπως ζητείται.


Ανδρέας Χαραλαμπόπουλος
Άβαταρ μέλους
Ανδρέας Πούλος
Δημοσιεύσεις: 1344
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 01, 2009 10:47 pm
Τοποθεσία: ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ
Επικοινωνία:

Re: Μονά-ζυγά Συλλογή Ασκήσεων

#72

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ανδρέας Πούλος » Δευ Φεβ 26, 2018 10:38 pm

Για την ΑΣΚΗΣΗ 20η:
Αγαπητέ Ορέστη, (με την ευκαιρία, καλή επιτυχία στον ΑΡΧΙΜΗΔΗ 2018)
νομίζω ότι η προσέγγισή σου είναι απόλυτα συμβατή με το πνεύμα "μονά-ζυγά".
Όταν βρεις ευκαιρία δώσε και μια δεύτερη λύση - προφανώς απευθύνομαι και σε όλους τους νεαρούς λύτες.
Έχω υπόψη μου μια άλλη προσέγγιση, αλλά καλό είναι να δείξετε εσείς τις πολλές δυνατότητές σας.


Άβαταρ μέλους
Διονύσιος Αδαμόπουλος
Δημοσιεύσεις: 666
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας

Re: Μονά-ζυγά Συλλογή Ασκήσεων

#73

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Διονύσιος Αδαμόπουλος » Τετ Φεβ 28, 2018 8:59 pm

Friedoon έγραψε:
Δευ Φεβ 26, 2018 10:35 pm
Διονύσιος Αδαμόπουλος έγραψε:
Κυρ Φεβ 18, 2018 10:48 pm
Άσκηση 20η

Στο παιχνίδι της εικόνας μπορούμε να μετακινούμε την κενή θέση σύροντας κατάλληλα ένα γειτονικό της κομμάτι ώστε να καταλάβει τη θέση αυτή. Είναι δυνατό μετά από κάποιες κινήσεις η κενή θέση να βρίσκεται στο ίδιο σημείο αλλά να έχει γίνει αντιμετάθεση του 14 με το 15;

14-15-puzzle.png
Θεωρούμε S το σύνολο των ζευγών αριθμών του πίνακα (x_1,x_2) ,με x_1<x_2, τα οποία δεν είναι διατεταγμένα κατά αύξουσα σειρά στον πίνακα, δηλαδή για τα οποία το x_1 είναι τοποθετημένο πιο μετά από το x_2.

Αρχικά το S έχει 1 στοιχείο,περιττός αριθμός.

Κάθε κατακόρυφη μετατόπιση κουτιού αλλάζει το πλήθος ζευγών στο S κατά 3.(για παράδειγμα αν στην πρώτη κίνηση κατεβάσουμε το 12 στο S θα προστεθούν τα (12,13)(12,14)(12,15))

Κάθε οριζόντια μετατόπιση κουτιού δεν επηρεάζει το S.

Επειδή θέλουμε το άσπρο κουτί να καταλήξει από εκεί που ξεκίνησε θα έχουμε άρτιο αριθμό κατακόρυφων μετατοπίσεων. Άρα το S θα έχει πάλι περιττό πλήθος στοιχείων και άρα δε γίνεται να έχει 0 όπως ζητείται.
:coolspeak:


Houston, we have a problem!
Άβαταρ μέλους
Διονύσιος Αδαμόπουλος
Δημοσιεύσεις: 666
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας

Re: Μονά-ζυγά Συλλογή Ασκήσεων

#74

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Διονύσιος Αδαμόπουλος » Τετ Φεβ 28, 2018 9:00 pm

Ανδρέας Πούλος έγραψε:
Δευ Φεβ 26, 2018 10:38 pm
Για την ΑΣΚΗΣΗ 20η:
Αγαπητέ Ορέστη, (με την ευκαιρία, καλή επιτυχία στον ΑΡΧΙΜΗΔΗ 2018)
νομίζω ότι η προσέγγισή σου είναι απόλυτα συμβατή με το πνεύμα "μονά-ζυγά".
Όταν βρεις ευκαιρία δώσε και μια δεύτερη λύση - προφανώς απευθύνομαι και σε όλους τους νεαρούς λύτες.
Έχω υπόψη μου μια άλλη προσέγγιση, αλλά καλό είναι να δείξετε εσείς τις πολλές δυνατότητές σας.
Για να μην μπερδέψουμε την αρίθμηση... αυτή είναι η ΑΣΚΗΣΗ 21η


Houston, we have a problem!
christodoulos703
Δημοσιεύσεις: 72
Εγγραφή: Τετ Αύγ 03, 2016 1:57 pm

Re: Μονά-ζυγά Συλλογή Ασκήσεων

#75

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από christodoulos703 » Πέμ Μαρ 01, 2018 9:29 pm

Η Άσκηση 21 αποτελεί απλή εφαρμογή της αρχής της περιστεροφωλιας. Έχουμε n/2 παρενθέσεις (φωλιές) και n/2+1 περιττούς αριθμούς (περιστέρια). Μια διαφορετική προσέγγιση...


Χατζηγρηγοριάδης Χριστόδουλος
Άβαταρ μέλους
Ανδρέας Πούλος
Δημοσιεύσεις: 1344
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 01, 2009 10:47 pm
Τοποθεσία: ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ
Επικοινωνία:

Re: Μονά-ζυγά Συλλογή Ασκήσεων

#76

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ανδρέας Πούλος » Σάβ Μαρ 03, 2018 12:44 pm

Διονύση, έχεις δίκιο.
Δεν πρόσεξα την αρίθμηση, αυτή είναι η ΑΣΚΗΣΗ 21.
Δεν ξέρω πώς να κάνω αλλαγή. Θα περιμένω από τα διευθύνοντα μέλη να κάνουν την αλλαγή, ή να μου γράψουν πώς θα την κάνω εγώ.


Άβαταρ μέλους
Ανδρέας Πούλος
Δημοσιεύσεις: 1344
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 01, 2009 10:47 pm
Τοποθεσία: ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ
Επικοινωνία:

22η Άσκηση στα μονά-ζυγά

#77

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ανδρέας Πούλος » Τρί Μαρ 06, 2018 2:59 pm

ΑΣΚΗΣΗ 22η:

Ένα σαλιγκάρι κινείται στο επίπεδο με σταθερή ταχύτητα.
Κάθε 15 min κινείται κάθετα στην προηγούμενη τροχία κίνησής του.
Να αποδείξετε ότι αν το σαλιγκάρι επανέλθει στο σημείο από όπου ξεκίνησε,
τότε ο χρόνος κίνησής του σε ώρες είναι ακέραιος αριθμός.


christodoulos703
Δημοσιεύσεις: 72
Εγγραφή: Τετ Αύγ 03, 2016 1:57 pm

Re: Μονά-ζυγά Συλλογή Ασκήσεων

#78

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από christodoulos703 » Τρί Μαρ 06, 2018 6:28 pm

Το αποτέλεσμα της κίνησης είναι να σχηματίζονται διάφορα τετράγωνα (το πολύ 4) το οποίο μπορεί να φανεί με ένα καλό σχήμα και λίγη διερεύνηση... Αφού λοιπόν τα τετράγωνα έχουν 4 πλευρές τότε για την ολοκλήρωση του βηματισμού σε κάθε πλευρά απαιτώνται 15 min/πλευρ. Όταν φτάσει το σαλιγκάρι στο αρχικό σημείο θα έχει περιπατησει 4 πλευρές άρα θα χρειαστεί 60 λεπτά... Τελικά, αυτό θα επαναλαμβάνεται και η περίοδος της κίνησης είναι ακεραια πολ/σια των ωρών...


Χατζηγρηγοριάδης Χριστόδουλος
Άβαταρ μέλους
Ανδρέας Πούλος
Δημοσιεύσεις: 1344
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 01, 2009 10:47 pm
Τοποθεσία: ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ
Επικοινωνία:

Re: Μονά-ζυγά Συλλογή Ασκήσεων

#79

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ανδρέας Πούλος » Τρί Μαρ 06, 2018 9:52 pm

Νομίζω, χρειάζεται καλύτερη αιτιολόγηση-απόδειξη.
Για παράδειγμα, στη διαδρομή του σχήματος δεν σχηματίζονται τετραγωνάκια.
σαλιγκαράκι.png
σαλιγκαράκι.png (83.64 KiB) Προβλήθηκε 306 φορές


Άβαταρ μέλους
Διονύσιος Αδαμόπουλος
Δημοσιεύσεις: 666
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας

Re: Μονά-ζυγά Συλλογή Ασκήσεων

#80

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Διονύσιος Αδαμόπουλος » Τετ Μαρ 07, 2018 7:46 pm

Ανδρέας Πούλος έγραψε:
Τρί Μαρ 06, 2018 2:59 pm
ΑΣΚΗΣΗ 22η:

Ένα σαλιγκάρι κινείται στο επίπεδο με σταθερή ταχύτητα.
Κάθε 15 min κινείται κάθετα στην προηγούμενη τροχία κίνησής του.
Να αποδείξετε ότι αν το σαλιγκάρι επανέλθει στο σημείο από όπου ξεκίνησε,
τότε ο χρόνος κίνησής του σε ώρες είναι ακέραιος αριθμός.

Παρατηρούμε πως όσες φορές πάει πάνω τόσες θα πάει κάτω, αφού θα επιστρέψει στο σημείο που άρχισε. Το ίδιο ισχύει για δεξιά και αριστερά.

Θεωρούμε τις κινήσεις της πρώτης κατηγορίας ως οριζόντιες και της δεύτερης ως κάθετες.

Ο αριθμός των "τετάρτων", έστω n, θα είναι άρτιος, αφού τόσο οι οριζόντιες όσο και οι κατακόρυφες κινήσεις είναι άρτιες σε πλήθος, έστω 2k και 2l αντίστοιχα, άρα το άθροισμα τους είναι άρτιο, δηλαδή n=2k+2l.

Παρατηρούμε ακόμη πως οι κινήσεις του σαλιγκαριού μεταβάλλονται από οριζόντιες σε κάθετες και το αντίθετο. Λόγω του ότι θα κάνει άρτιο αριθμό κινήσεων έχουμε πως το πλήθος των οριζοντίων κινήσεων είναι ίσο με αυτό των περιττών.

Με άλλα λόγια είναι n=2k+2l=2k+2k=4k.

Άρα αφού θα κάνει αριθμό κινήσεων που είναι πολλαπλάσιο του 4 θα κινείται για ακέραιο αριθμό ωρών.


Houston, we have a problem!
Απάντηση

Επιστροφή σε “Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης