Συνέχεια και σύνολο τιμών
Συντονιστής: polysot
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13278
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Συνέχεια και σύνολο τιμών
Δίνεται η συνάρτηση συνεχής στο με και
Α) Να βρεθούν οι πραγματικοί αριθμοί και το
B) Να βρεθεί το σύνολο τιμών της συνάρτησης
Γ) Να δείξετε ότι η εξίσωση έχει ακριβώς μία ρίζα.
Γ' Λυκείου .......................... μέχρι 2/10/2017
Α) Να βρεθούν οι πραγματικοί αριθμοί και το
B) Να βρεθεί το σύνολο τιμών της συνάρτησης
Γ) Να δείξετε ότι η εξίσωση έχει ακριβώς μία ρίζα.
Γ' Λυκείου .......................... μέχρι 2/10/2017
Λέξεις Κλειδιά:
- Ορέστης Λιγνός
- Δημοσιεύσεις: 1835
- Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
- Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής
- Επικοινωνία:
Re: Συνέχεια και σύνολο τιμών
Α) Η συνάρτηση είναι συνεχής στο , επομένως .george visvikis έγραψε: ↑Σάβ Σεπ 30, 2017 4:52 pmΔίνεται η συνάρτηση συνεχής στο με και
Α) Να βρεθούν οι πραγματικοί αριθμοί και το
B) Να βρεθεί το σύνολο τιμών της συνάρτησης
Γ) Να δείξετε ότι η εξίσωση έχει ακριβώς μία ρίζα.
Γ' Λυκείου .......................... μέχρι 2/10/2017
Είναι .
Επίσης, , επομένως η είναι αρνητική κοντά στο .
Άρα, .
Έστω τώρα με (1).
Είναι
.
Αντικαθιστούμε το στην (1) και έχουμε .
Είναι λοιπόν .
Είναι , και αφού , το είναι θετικό κοντά στο και είναι .
Β) Διακρίνουμε τις περιπτώσεις και , οπότε :
.
Αν , τότε με είναι .
Αν , τότε .
Τελικά, .
Γ) Θεωρούμε την συνάρτηση .
Αυτή η συνάρτηση είναι συνεχής, ως πράξεις μεταξύ συνεχών συναρτήσεων.
Είναι επίσης και , συνεπώς .
Άρα, από το Θεώρημα Bolzano, η εξίσωση έχει μία τουλάχιστον λύση στο , δηλαδή υπάρχει , ώστε .
Για την μοναδικότητα δεν έχω λύση.
Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε!
Re: Συνέχεια και σύνολο τιμών
της λύσης της εξίσωσης : ...
- exdx
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 1742
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 6:00 pm
- Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
- Επικοινωνία:
Re: Συνέχεια και σύνολο τιμών
Για να μη μείνει μετέωρο το τελευταίο ερώτημα στό ωραίο θέμα του Γιώργου
Η συνάρτηση γράφεται
οπότε εύκολα αποδεικνύεται με τον ορισμό ότι είναι γνησίως αύξουσα στο και γνησίως φθίνουσα στο
Επιπλέον , άρα οπότε η ρίζα είναι στο διάστημα και είναι μοναδική
διότι η είναι γνησίως φθίνουσα .
Η συνάρτηση γράφεται
οπότε εύκολα αποδεικνύεται με τον ορισμό ότι είναι γνησίως αύξουσα στο και γνησίως φθίνουσα στο
Επιπλέον , άρα οπότε η ρίζα είναι στο διάστημα και είναι μοναδική
διότι η είναι γνησίως φθίνουσα .
Kαλαθάκης Γιώργης
- exdx
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 1742
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 6:00 pm
- Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
- Επικοινωνία:
Re: Συνέχεια και σύνολο τιμών
Σωστά . Παράλειψη
Μένει να αποδειχθεί ότι για και για ( Με μελέτη της )
Kαλαθάκης Γιώργης
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Συνέχεια και σύνολο τιμών
Μια παρατήρηση που θα βοηθούσε στην λύση είναι ότι η αρχική συνάρτηση ικανοποιεί την
Δηλαδή η γραφική της παράσταση είναι συμμετρική ως προς την ευθεία
Δηλαδή η γραφική της παράσταση είναι συμμετρική ως προς την ευθεία
Re: Συνέχεια και σύνολο τιμών
Για έχουμε . Άρα αφού .
Για έχουμε μοναδική ρίζα όπως αποδείχθηκε.
Για μένει να δείξουμε ότι . Αλλά πως;;;
Για έχουμε μοναδική ρίζα όπως αποδείχθηκε.
Για μένει να δείξουμε ότι . Αλλά πως;;;
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Συνέχεια και σύνολο τιμών
Κάνοντας τις πράξεις αρκεί να δειχθεί
που είναι εύκολο να δειχθεί αφού
Re: Συνέχεια και σύνολο τιμών
Παράλειψη μου...εννοούσα χωρίς χρήση παραγώγου για να εναρμονιστούμε με την τρέχουσα ύλη.ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑Τετ Οκτ 04, 2017 12:50 pmΚάνοντας τις πράξεις αρκεί να δειχθεί
που είναι εύκολο να δειχθεί αφού
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13278
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Συνέχεια και σύνολο τιμών
Για τη μοναδικότητα, αρκεί να δειχθεί ότι η εξίσωση δεν έχει λύση στο ή ότι η συνάρτηση
δεν μηδενίζεται στο
Πράγματι, εδώ αποδείχθηκε ότι η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα, άρα έχει σύνολο τιμών
, οπότε η θα έχει σύνολο τιμών και το ζητούμενο έπεται.
δεν μηδενίζεται στο
Πράγματι, εδώ αποδείχθηκε ότι η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα, άρα έχει σύνολο τιμών
, οπότε η θα έχει σύνολο τιμών και το ζητούμενο έπεται.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες