Προετοιμασία για διαγωνισμούς - Διαγώνισμα 10
Συντονιστής: polysot
-
- Δημοσιεύσεις: 217
- Εγγραφή: Τρί Δεκ 13, 2016 10:41 pm
- Τοποθεσία: Χανιά
Προετοιμασία για διαγωνισμούς - Διαγώνισμα 10
Διαγώνισμα 10 Επίπεδο: Προκριματικός Seniors
Πρόβλημα 1
Να βρεθούν όλα τα πολυώνυμα και οι μη σταθερές συναρτήσεις
που ικανοποιούν την σχέχη:
για κάθε θετικούς πραγματικούς
Πρόβλημα 2
Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο με εγγεγραμμένο σε κύκλο καθώς και τα ύψη
του τα οποία συντρέχουν στο ορθόκεντρο . Οι εφαπτόμενες του στα σημεία
τέμνονται στο . Η τέμνει την στο και η την στο . Αν οι περιγεγραμμένοι
κύκλοι των τριγώνων και τέμνουν τις αντιστοίχως στα σημεία , να αποδείξετε
ότι τα είναι ομοκυκλικά.
Πρόβλημα 3
Να βρεθούν όλες οι τριάδες ακεραίων που ικανοποιούν την εξίσωση:
Πρόβλημα 4
Ο μικρός Θανάσης μαζί με τον Νίκο παίζουν το εξής παιχνίδι.
Αρχικά ο Θανάσης επιλέγει έναν θετικό ακέραιο με και γράφει θετικούς ακεραίους
σε έναν πίνακα έτσι ώστε ανά δύο να είναι διαφορετικοί μεταξύ τους. Στην συνέχεια, καλείται ο Νίκος να
σκεφτεί έναν θετικό ακέραιο από αυτούς που είναι γραμμένοι στον πίνακα. Ο σκοπός του παιχνιδιού, είναι
ο Θανάσης να βρει τον αριθμό που επέλεξε ο Νίκος μέσω ερωτήσεων. Σε κάθε κίνηση, ο Θανάσης μπορεί
να επιλέξει έναν οποιονδήποτε θετικό ακέραιο θελήσει (δεν χρειάζεται να υπάρχει κατ'ανάγκην στον πίνακα),
και να ρωτήσει τον Νίκο αν ο μέγιστος κοινός
διαιρέτης του αριθμού που επέλεξε ο Θανάσης με του Νίκου (δηλαδή αυτόν που είχε σκεφτεί) ισούται με .
Ο Νίκος μπορεί να απαντήσει με "ναι" ή "όχι". Αν γνωρίζουμε ότι σε έναν γύρο:
(1) Ο Θανάσης επέλεξε σε πλήθος διαφορετικούς θετικούς ακεραίους (όχι αυτούς που έγραψε αρχικά στον πίνακα, αλλά αυτούς που επέλεγε
σε κάθε κίνηση), και εγγυήθηκε ότι ήταν αρκετοί για να προσδιορίσει με σιγουριά τον αριθμό του Νίκου μετά από μερικές κινήσεις.
(2) Για αυτά τα που διάλεξε, το κλάσμα δέχθηκε την μεγαλύτερη τιμή που θα μπορούσε να πάρει.
(3) Έγραψε θετικούς ακεραίους αρχικά στον πίνακα, έτσι ώστε το άθροισμά τους να είναι το μικρότερο δυνατό για αυτά τα .
Να βρεθούν οι αριθμοί καθώς και οι αριθμοί που έγραψε αρχικά στον πίνακα.
Πρόβλημα 1
Να βρεθούν όλα τα πολυώνυμα και οι μη σταθερές συναρτήσεις
που ικανοποιούν την σχέχη:
για κάθε θετικούς πραγματικούς
Πρόβλημα 2
Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο με εγγεγραμμένο σε κύκλο καθώς και τα ύψη
του τα οποία συντρέχουν στο ορθόκεντρο . Οι εφαπτόμενες του στα σημεία
τέμνονται στο . Η τέμνει την στο και η την στο . Αν οι περιγεγραμμένοι
κύκλοι των τριγώνων και τέμνουν τις αντιστοίχως στα σημεία , να αποδείξετε
ότι τα είναι ομοκυκλικά.
Πρόβλημα 3
Να βρεθούν όλες οι τριάδες ακεραίων που ικανοποιούν την εξίσωση:
Πρόβλημα 4
Ο μικρός Θανάσης μαζί με τον Νίκο παίζουν το εξής παιχνίδι.
Αρχικά ο Θανάσης επιλέγει έναν θετικό ακέραιο με και γράφει θετικούς ακεραίους
σε έναν πίνακα έτσι ώστε ανά δύο να είναι διαφορετικοί μεταξύ τους. Στην συνέχεια, καλείται ο Νίκος να
σκεφτεί έναν θετικό ακέραιο από αυτούς που είναι γραμμένοι στον πίνακα. Ο σκοπός του παιχνιδιού, είναι
ο Θανάσης να βρει τον αριθμό που επέλεξε ο Νίκος μέσω ερωτήσεων. Σε κάθε κίνηση, ο Θανάσης μπορεί
να επιλέξει έναν οποιονδήποτε θετικό ακέραιο θελήσει (δεν χρειάζεται να υπάρχει κατ'ανάγκην στον πίνακα),
και να ρωτήσει τον Νίκο αν ο μέγιστος κοινός
διαιρέτης του αριθμού που επέλεξε ο Θανάσης με του Νίκου (δηλαδή αυτόν που είχε σκεφτεί) ισούται με .
Ο Νίκος μπορεί να απαντήσει με "ναι" ή "όχι". Αν γνωρίζουμε ότι σε έναν γύρο:
(1) Ο Θανάσης επέλεξε σε πλήθος διαφορετικούς θετικούς ακεραίους (όχι αυτούς που έγραψε αρχικά στον πίνακα, αλλά αυτούς που επέλεγε
σε κάθε κίνηση), και εγγυήθηκε ότι ήταν αρκετοί για να προσδιορίσει με σιγουριά τον αριθμό του Νίκου μετά από μερικές κινήσεις.
(2) Για αυτά τα που διάλεξε, το κλάσμα δέχθηκε την μεγαλύτερη τιμή που θα μπορούσε να πάρει.
(3) Έγραψε θετικούς ακεραίους αρχικά στον πίνακα, έτσι ώστε το άθροισμά τους να είναι το μικρότερο δυνατό για αυτά τα .
Να βρεθούν οι αριθμοί καθώς και οι αριθμοί που έγραψε αρχικά στον πίνακα.
Γιάννης Μπορμπαντωνάκης
Λέξεις Κλειδιά:
-
- Δημοσιεύσεις: 217
- Εγγραφή: Τρί Δεκ 13, 2016 10:41 pm
- Τοποθεσία: Χανιά
Re: Προετοιμασία για διαγωνισμούς - Διαγώνισμα 10
Να πω τα εξής για το 4ο πρόβλημα:
Σε αυτόν τον γύρο, ο Θανάσης επέλεξε κατάλληλους αριθμούς με τους οποίους μπορούσε να εξασφαλίσει την νίκη,
για οποιανδήποτε επιλογή του Νίκου. Επίσης, το κλάσμα δέχθηκε την μεγαλύτερη τιμή που θα μπορούσε
να πάρει, για οποιαδήποτε που εξασφαλίζουν στον Θανάση την νίκη. Για παράδειγμα αν παίρναμε
και δεν μπορούμε να γράψουμε κατάλληλους θετικούς ακέραιους στον πίνακα, αλλά ούτε και να επιλέξουμε έτσι
ώστε να μπορούμε να βρούμε τον αριθμό του Νίκου με σιγουριά μετά από μερικές κινήσεις.
Σε αυτόν τον γύρο, ο Θανάσης επέλεξε κατάλληλους αριθμούς με τους οποίους μπορούσε να εξασφαλίσει την νίκη,
για οποιανδήποτε επιλογή του Νίκου. Επίσης, το κλάσμα δέχθηκε την μεγαλύτερη τιμή που θα μπορούσε
να πάρει, για οποιαδήποτε που εξασφαλίζουν στον Θανάση την νίκη. Για παράδειγμα αν παίρναμε
και δεν μπορούμε να γράψουμε κατάλληλους θετικούς ακέραιους στον πίνακα, αλλά ούτε και να επιλέξουμε έτσι
ώστε να μπορούμε να βρούμε τον αριθμό του Νίκου με σιγουριά μετά από μερικές κινήσεις.
Γιάννης Μπορμπαντωνάκης
Re: Προετοιμασία για διαγωνισμούς - Διαγώνισμα 10
Καλησπέρα Γιάννη,
Μια στοιχειώδη λύση και αργότερα θα επανέλθω και με το σχήμα.
Παρατηρούμε ότι οι κύκλοι των και είναι ίση.
Άρα πλέον γνωρίζουμε ότι τα είναι τα μέσα των αντίστοιχων πλευρών στα οποία βρίσκονται.
Και άρα το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο στον κύκλο .
Φιλικά,
Θράσος
Μια στοιχειώδη λύση και αργότερα θα επανέλθω και με το σχήμα.
Παρατηρούμε ότι οι κύκλοι των και είναι ίση.
Άρα πλέον γνωρίζουμε ότι τα είναι τα μέσα των αντίστοιχων πλευρών στα οποία βρίσκονται.
Και άρα το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο στον κύκλο .
Φιλικά,
Θράσος
Θρασύβουλος Οικονόμου
Φοιτητής ΗΜΜΥ ΑΠΘ
Φοιτητής ΗΜΜΥ ΑΠΘ
-
- Δημοσιεύσεις: 217
- Εγγραφή: Τρί Δεκ 13, 2016 10:41 pm
- Τοποθεσία: Χανιά
Re: Προετοιμασία για διαγωνισμούς - Διαγώνισμα 10
Καλησπέρα, δεν ξέρουμε ότι το είναι το μέσο της όμως.thrassos έγραψε:Καλησπέρα Γιάννη,
Μια στοιχειώδη λύση και αργότερα θα επανέλθω και με το σχήμα.
Παρατηρούμε ότι οι κύκλοι των και είναι ίση.
Άρα πλέον γνωρίζουμε ότι τα είναι τα μέσα των αντίστοιχων πλευρών στα οποία βρίσκονται.
Και άρα το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο στον κύκλο .
Φιλικά,
Θράσος
Γιάννης Μπορμπαντωνάκης
Re: Προετοιμασία για διαγωνισμούς - Διαγώνισμα 10
Σωστά,τώρα το είδα.
Θα επανέλθω με διευκρινήσεις.
Θα επανέλθω με διευκρινήσεις.
Θρασύβουλος Οικονόμου
Φοιτητής ΗΜΜΥ ΑΠΘ
Φοιτητής ΗΜΜΥ ΑΠΘ
-
- Δημοσιεύσεις: 217
- Εγγραφή: Τρί Δεκ 13, 2016 10:41 pm
- Τοποθεσία: Χανιά
Re: Προετοιμασία για διαγωνισμούς - Διαγώνισμα 10
Θέτοντας παίρνουμεΓιάννης Μπόρμπας έγραψε:Διαγώνισμα 10 Επίπεδο: Προκριματικός Seniors
Πρόβλημα 1
Να βρεθούν όλα τα πολυώνυμα και οι μη σταθερές συναρτήσεις
που ικανοποιούν την σχέχη:
για κάθε θετικούς πραγματικούς
(1) Τώρα θέτοντας και θεωρώντας σταθερό το παίρνουμε:
Πραγμα που σημαίνει πως το είναι είτε σταθερό είτε γραμμικό.
Αν είναι σταθερό τότε από την δοθείσα σχέση παίρνουμε
Αν τότε η (1) γίνεται
Όμως θα πρέπει να ισχύει και από όπου παίρνουμε πως (*) ή
Άρα οι λύσεις είναι και ή και ή και
(*)χρησιμοποιήθηκε η ιδιότητα
Ανδρέας Χαραλαμπόπουλος
-
- Δημοσιεύσεις: 217
- Εγγραφή: Τρί Δεκ 13, 2016 10:41 pm
- Τοποθεσία: Χανιά
Re: Προετοιμασία για διαγωνισμούς - Διαγώνισμα 10
Βέβαια η δεν μπορεί να είναι σταθερή από την εκφώνηση.Friedoon έγραψε:Θέτοντας παίρνουμεΓιάννης Μπόρμπας έγραψε:Διαγώνισμα 10 Επίπεδο: Προκριματικός Seniors
Πρόβλημα 1
Να βρεθούν όλα τα πολυώνυμα και οι μη σταθερές συναρτήσεις
που ικανοποιούν την σχέχη:
για κάθε θετικούς πραγματικούς
(1) Τώρα θέτοντας και θεωρώντας σταθερό το παίρνουμε:
Πραγμα που σημαίνει πως το είναι είτε σταθερό είτε γραμμικό.
Αν είναι σταθερό τότε από την δοθείσα σχέση παίρνουμε
Αν τότε η (1) γίνεται
Όμως θα πρέπει να ισχύει και από όπου παίρνουμε πως (*) ή
Άρα οι λύσεις είναι και ή και ή και
(*)χρησιμοποιήθηκε η ιδιότητα
Γιάννης Μπορμπαντωνάκης
- Ορέστης Λιγνός
- Δημοσιεύσεις: 1835
- Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
- Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής
- Επικοινωνία:
Re: Προετοιμασία για διαγωνισμούς - Διαγώνισμα 10
Γιάννης Μπόρμπας έγραψε: ↑Δευ Μάιος 08, 2017 3:25 pmΔιαγώνισμα 10 Επίπεδο: Προκριματικός Seniors
Πρόβλημα 3
Να βρεθούν όλες οι τριάδες ακεραίων που ικανοποιούν την εξίσωση:
Προφανώς, .
Έστω .
Είναι .
Με αντικατάσταση, είναι .
Είναι , οπότε αφού , είναι , άρα , οπότε με αντικατάσταση
, άρα , και η διαδικασία επαναλαμβάνεται.
Η διαδικασία σταματά όταν η δύναμη του στο δεξί μέλος είναι , οπότε , και το είναι περιττός.
Η διαδικασία εφαρμόζεται φορές (μέχρι η δύναμη να είναι )
Όμως, , και όμοια .
Με αντικατάσταση στην αρχική, .
Παρατηρούμε ότι, αφού , το αριστερό μέλος είναι , άρα , άτοπο, αφού , , οπότε .
Άρα, , δηλαδή .
Αν , . Άρα, τα ζεύγη είναι λύσεις.
Θεωρούμε τώρα .
Με απλό έλεγχο, έχουμε ότι δεν υπάρχουν λύσεις με ή , άρα .
Έστω . Απευθείας ελέγχουμε πως δεν γίνεται , άρα .
Είναι , και αφού , .
Έστω .
Είναι (1).
Θεωρούμε την συνάρτηση , με , άρα η είναι γνησίως φθίνουσα.
Επομένως, , οπότε δεν υπάρχουν λύσεις.
Αν , θέτουμε , και εφαρμόζουμε την ίδια διαδικασία, θεωρώντας την συνάρτηση .
Τελικά, οι λύσεις είναι οι .
Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε!
-
- Δημοσιεύσεις: 217
- Εγγραφή: Τρί Δεκ 13, 2016 10:41 pm
- Τοποθεσία: Χανιά
Re: Προετοιμασία για διαγωνισμούς - Διαγώνισμα 10
Πολύ ωραία, λίγο διαφορετικά για το 1ο σκέλος: (Απόδειξη ότι )Ορέστης Λιγνός έγραψε: ↑Παρ Απρ 06, 2018 5:00 pmΓιάννης Μπόρμπας έγραψε: ↑Δευ Μάιος 08, 2017 3:25 pmΔιαγώνισμα 10 Επίπεδο: Προκριματικός Seniors
Πρόβλημα 3
Να βρεθούν όλες οι τριάδες ακεραίων που ικανοποιούν την εξίσωση:
Προφανώς, .
Έστω .
Είναι .
Με αντικατάσταση, είναι .
Είναι , οπότε αφού , είναι , άρα , οπότε με αντικατάσταση
, άρα , και η διαδικασία επαναλαμβάνεται.
Η διαδικασία σταματά όταν η δύναμη του στο δεξί μέλος είναι , οπότε , και το είναι περιττός.
Η διαδικασία εφαρμόζεται φορές (μέχρι η δύναμη να είναι )
Όμως, , και όμοια .
Με αντικατάσταση στην αρχική, .
Παρατηρούμε ότι, αφού , το αριστερό μέλος είναι , άρα , άτοπο, αφού , , οπότε .
Άρα, , δηλαδή .
Αν , . Άρα, τα ζεύγη είναι λύσεις.
Θεωρούμε τώρα .
Με απλό έλεγχο, έχουμε ότι δεν υπάρχουν λύσεις με ή , άρα .
Έστω . Απευθείας ελέγχουμε πως δεν γίνεται , άρα .
Είναι , και αφού , .
Έστω .
Είναι (1).
Θεωρούμε την συνάρτηση , με , άρα η είναι γνησίως φθίνουσα.
Επομένως, , οπότε δεν υπάρχουν λύσεις.
Αν , θέτουμε , και εφαρμόζουμε την ίδια διαδικασία, θεωρώντας την συνάρτηση .
Τελικά, οι λύσεις είναι οι .
Έχουμε:
Η εξίσωση ισοδύναμα γράφεται ως εξής:
.
Εύκολα βλέπουμε ότι εάν τότε
άρα .
Άρα υπάρχει πρώτος αριθμός τέτοιος ώστε: που είναι το άθροισμα 2 τετραγώνων άρα και , άρα που είναι άτοπο, επομένως .
Γιάννης Μπορμπαντωνάκης
-
- Δημοσιεύσεις: 50
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 23, 2018 11:26 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Re: Προετοιμασία για διαγωνισμούς - Διαγώνισμα 10
Πρόβλημα 2Γιάννης Μπόρμπας έγραψε: ↑Δευ Μάιος 08, 2017 3:25 pmΔιαγώνισμα 10 Επίπεδο: Προκριματικός Seniors
Πρόβλημα 1
Να βρεθούν όλα τα πολυώνυμα και οι μη σταθερές συναρτήσεις
που ικανοποιούν την σχέχη:
για κάθε θετικούς πραγματικούς
Πρόβλημα 2
Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο με εγγεγραμμένο σε κύκλο καθώς και τα ύψη
του τα οποία συντρέχουν στο ορθόκεντρο . Οι εφαπτόμενες του στα σημεία
τέμνονται στο . Η τέμνει την στο και η την στο . Αν οι περιγεγραμμένοι
κύκλοι των τριγώνων και τέμνουν τις αντιστοίχως στα σημεία , να αποδείξετε
ότι τα είναι ομοκυκλικά.
Πρόβλημα 3
Να βρεθούν όλες οι τριάδες ακεραίων που ικανοποιούν την εξίσωση:
Πρόβλημα 4
Ο μικρός Θανάσης μαζί με τον Νίκο παίζουν το εξής παιχνίδι.
Αρχικά ο Θανάσης επιλέγει έναν θετικό ακέραιο με και γράφει θετικούς ακεραίους
σε έναν πίνακα έτσι ώστε ανά δύο να είναι διαφορετικοί μεταξύ τους. Στην συνέχεια, καλείται ο Νίκος να
σκεφτεί έναν θετικό ακέραιο από αυτούς που είναι γραμμένοι στον πίνακα. Ο σκοπός του παιχνιδιού, είναι
ο Θανάσης να βρει τον αριθμό που επέλεξε ο Νίκος μέσω ερωτήσεων. Σε κάθε κίνηση, ο Θανάσης μπορεί
να επιλέξει έναν οποιονδήποτε θετικό ακέραιο θελήσει (δεν χρειάζεται να υπάρχει κατ'ανάγκην στον πίνακα),
και να ρωτήσει τον Νίκο αν ο μέγιστος κοινός
διαιρέτης του αριθμού που επέλεξε ο Θανάσης με του Νίκου (δηλαδή αυτόν που είχε σκεφτεί) ισούται με .
Ο Νίκος μπορεί να απαντήσει με "ναι" ή "όχι". Αν γνωρίζουμε ότι σε έναν γύρο:
(1) Ο Θανάσης επέλεξε σε πλήθος διαφορετικούς θετικούς ακεραίους (όχι αυτούς που έγραψε αρχικά στον πίνακα, αλλά αυτούς που επέλεγε
σε κάθε κίνηση), και εγγυήθηκε ότι ήταν αρκετοί για να προσδιορίσει με σιγουριά τον αριθμό του Νίκου μετά από μερικές κινήσεις.
(2) Για αυτά τα που διάλεξε, το κλάσμα δέχθηκε την μεγαλύτερη τιμή που θα μπορούσε να πάρει.
(3) Έγραψε θετικούς ακεραίους αρχικά στον πίνακα, έτσι ώστε το άθροισμά τους να είναι το μικρότερο δυνατό για αυτά τα .
Να βρεθούν οι αριθμοί καθώς και οι αριθμοί που έγραψε αρχικά στον πίνακα.
Φέρουμε το ευθύγραμμο τμήμα KS
BK,KC εφαπτομενες στον κυκλο c(O,R)
Όποτε BK=KC
Όποτε
Άρα Κ μέσον BC(BS=SC)
Έστω τωρα ευθεία MN εφαπτόμενη στους κύκλους c1 και c2
Από τα ορθογώνια τρίγωνα έχουμε:
(1)
( κοινή γωνία,ορθογώνια )
Άρα
Στο ορθ τριγωνο :
Στο ορθ τριγωνο :
(από την σχεση 1)
Φέρουμε κάθετη DN στην AC από την ορθή γωνία
ως εντός εναλλάξ των παράλληλων HN και BC(2)
Από την σχεση (2) προκύπτει ότι: ισοσκελες(AN=ND)
Αρα
(,ορθ τρίγωνα)
Όποτε το ορθ τριγωνο θα είναι όμοιο και με το ορθ ισοσκελες
Άρα ισοσκελες(DN=NC)
AN=ND=NC μέσον AC
Η MN συνδέει τα μεσα των πλευρών AC και AB
M μέσον AB
S,M,N μεσα των BC,AB,AC αντίστοιχα
D,E,F τα ίχνη των υψων AD,BE,C
Γι'αυτο τα S,M,N,D,E,C ανήκουν στον ιδιο κυκλο(κύκλος του Euler)
Άρα τα F,E,M,N είναι ομοκυκλικα
τελευταία επεξεργασία από christinat σε Παρ Δεκ 18, 2020 7:10 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
- Ορέστης Λιγνός
- Δημοσιεύσεις: 1835
- Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
- Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής
- Επικοινωνία:
Re: Προετοιμασία για διαγωνισμούς - Διαγώνισμα 10
Δύσκολο πρόβλημα!Γιάννης Μπόρμπας έγραψε: ↑Δευ Μάιος 08, 2017 3:25 pmΔιαγώνισμα 10 Επίπεδο: Προκριματικός Seniors
Πρόβλημα 2
Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο με εγγεγραμμένο σε κύκλο καθώς και τα ύψη
του τα οποία συντρέχουν στο ορθόκεντρο . Οι εφαπτόμενες του στα σημεία
τέμνονται στο . Η τέμνει την στο και η την στο . Αν οι περιγεγραμμένοι
κύκλοι των τριγώνων και τέμνουν τις αντιστοίχως στα σημεία , να αποδείξετε
ότι τα είναι ομοκυκλικά.
christinat, νομίζω ότι η λύση σου είναι λάθος. Ειδικότερα, πώς δείχνεις ότι το είναι το μέσο της ;
Δίνω τη λύση μου.
Καταρχήν, αν δείξω ότι το είναι το μέσο της , ουσιαστικά τελείωσα, αφού τότε θα είναι , οπότε το είναι το μέσο της και όμοια το της , άρα τα ανήκουν στον κύκλο Euler του , δηλαδή είναι ομοκυκλικά.
Ας δούμε τώρα πώς αποδεικνύεται ότι .
Θα δείξω, το ισοδύναμο πρόβλημα:
Αν το μέσον της , και , τότε τα είναι συνευθειακά.
Έστω και .
Παρατηρούμε ότι το ανήκει στην πολική του ως προς τον κύκλο, οπότε από La Hire, το ανήκει στην πολική του (1).
Ακόμη, από το πλήρες τετράπλευρο παίρνουμε ότι τα είναι αρμονικά συζυγή, οπότε το ανήκει στην πολική του (2).
Έστω, ότι (με το σε διαφορετικό ημιεπίπεδο της από το ).
Τότε, από γνωστά Λήμματα (*), ισχύουν και το είναι αντιδιαμετρικό του , οπότε αφού , το ανήκει στον κύκλο .
Από το Θ.Nagel, είναι και , άρα η είναι μεσοκάθετος της , άρα , οπότε .
Ακόμη, είναι , συνεπώς τα είναι αρμονικά συζυγή, που σημαίνει ότι το ανήκει στην πολική του (3) .
Οι (1), (2), (3) δίνουν ότι τα ανήκουν στην πολική του , οπότε είναι συνευθειακά. Η απόδειξη ολοκληρώθηκε.
(*) Το δεύτερο εκ των δύο Λημμάτων που ανέφερα βρίσκεται εδώ. Η απόδειξη του πρώτου Λήμματος πάει κάπως έτσι:
Ισοδύναμα, αν το αντιδιαμετρικό του , τότε η περνά από το μέσο της . Πράγματι, είναι , και όμοια , άρα το είναι παραλληλόγραμμο, άρα η περνά από το μέσο της .
Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε!
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 6461
- Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
- Επικοινωνία:
Re: Προετοιμασία για διαγωνισμούς - Διαγώνισμα 10
Επαναφορά!Γιάννης Μπόρμπας έγραψε: ↑Δευ Μάιος 08, 2017 3:25 pmΔιαγώνισμα 10 Επίπεδο: Προκριματικός Seniors
Πρόβλημα 4
Ο μικρός Θανάσης μαζί με τον Νίκο παίζουν το εξής παιχνίδι.
Αρχικά ο Θανάσης επιλέγει έναν θετικό ακέραιο με και γράφει θετικούς ακεραίους
σε έναν πίνακα έτσι ώστε ανά δύο να είναι διαφορετικοί μεταξύ τους. Στην συνέχεια, καλείται ο Νίκος να
σκεφτεί έναν θετικό ακέραιο από αυτούς που είναι γραμμένοι στον πίνακα. Ο σκοπός του παιχνιδιού, είναι
ο Θανάσης να βρει τον αριθμό που επέλεξε ο Νίκος μέσω ερωτήσεων. Σε κάθε κίνηση, ο Θανάσης μπορεί
να επιλέξει έναν οποιονδήποτε θετικό ακέραιο θελήσει (δεν χρειάζεται να υπάρχει κατ'ανάγκην στον πίνακα),
και να ρωτήσει τον Νίκο αν ο μέγιστος κοινός
διαιρέτης του αριθμού που επέλεξε ο Θανάσης με του Νίκου (δηλαδή αυτόν που είχε σκεφτεί) ισούται με .
Ο Νίκος μπορεί να απαντήσει με "ναι" ή "όχι". Αν γνωρίζουμε ότι σε έναν γύρο:
(1) Ο Θανάσης επέλεξε σε πλήθος διαφορετικούς θετικούς ακεραίους (όχι αυτούς που έγραψε αρχικά στον πίνακα, αλλά αυτούς που επέλεγε
σε κάθε κίνηση), και εγγυήθηκε ότι ήταν αρκετοί για να προσδιορίσει με σιγουριά τον αριθμό του Νίκου μετά από μερικές κινήσεις.
(2) Για αυτά τα που διάλεξε, το κλάσμα δέχθηκε την μεγαλύτερη τιμή που θα μπορούσε να πάρει.
(3) Έγραψε θετικούς ακεραίους αρχικά στον πίνακα, έτσι ώστε το άθροισμά τους να είναι το μικρότερο δυνατό για αυτά τα .
Να βρεθούν οι αριθμοί καθώς και οι αριθμοί που έγραψε αρχικά στον πίνακα.
Θανάσης Κοντογεώργης
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 6 επισκέπτες