Προετοιμασία για διαγωνισμούς - Διαγώνισμα 6
Συντονιστής: polysot
-
- Δημοσιεύσεις: 217
- Εγγραφή: Τρί Δεκ 13, 2016 10:41 pm
- Τοποθεσία: Χανιά
Προετοιμασία για διαγωνισμούς - Διαγώνισμα 6
Διαγώνισμα 6 Επίπεδο: Αρχιμήδης/Προκριματικός Seniors
Πρόβλημα 1
Δίνονται δύο κύκλοι οι οποίοι τέμνονται στα και (με σημείο του
και σημείο του ) η κοινή τους εφαπτομένη έτσι ώστε το να βρίσκεται στο εσωτερικό του τριγώνου .
Η τέμνει τον στο και η τέμνει τον στο . Οι και τέμνονται στο .
Έστω η προβολή του πάνω στην . Θεωρούμε σημεία πάνω στις αντιστοίχως έτσι ώστε
και . Ο περιγεγραμμένος κύκλος (έστω ) του τριγώνου τέμνει τις: στο ,
στο και στο . Αν οι τέμνουν τις αντίστοιχα στα να αποδείξετε ότι τα
σημεία είναι ομοκυκλικά.
Πρόβλημα 2
Να βρεθούν όλα τα πολυώνυμα (με ακέραιους συντελεστές) τα οποία ικανοποιούν την παρακάτω σχέση:
Πρόβλημα 3
Δίνεται το σύνολο το οποίο περιλαμβάνει όλους τους θετικούς ακεραίους. Ο μικρός Θανάσης έχει στην
διάθεσή του 2 σημειωματάρια, ένα κόκκινο και ένα πράσινο. Σε κάθε κίνηση, ο Θανάσης επιλέγει έναν αριθμό από
το σύνολο (τον οποίο δεν έχει ξαναεπιλέξει προηγουμένως) και ψάχνει να βρει κατάλληλους θετικούς ακεραίους
έτσι ώστε ο αριθμός που επέλεξε να είναι λύση της εξίσωσης (δηλαδή αντικαθιστά
τον αριθμό στην θέση του ). Αν υπάρχουν κατάλληλοι θετικοί ακέραιοι τότε σημειώνει τον αριθμό που επέλεξε στο
κόκκινο σημειωματάριο, διαφορετικά αν δεν υπάρχουν θετικοί ακέραιοι έτσι ώστε ο αριθμός που επέλεξε να είναι ρίζα,
τότε τον σημειώνει το πράσινο σημειωματάριο.
(α) Αν υποθέσουμε ότι ελέγχει όλους τους αριθμούς του , να αποδείξετε ότι υπάρχουν τουλάχιστον
αριθμοί οι οποίοι θα γραφούν στο πράσινο σημειωματάριο.
(β) Να βρεθούν όλες οι δυνατές τιμές του θετικού ακέραιου για τον οποίο ισχύει ότι αν ο Θανάσης
δοκιμάσει όλους τους θετικούς ακέραιους από το μέχρι και το στην θέση του στην παραπάνω
εξίσωση, τα δύο σημειωματάρια θα έχουν το ίδιο πλήθος αριθμών.
Πρόβλημα 4
Τετράγωνο πλευράς όπου θετικός ακέραιος διαιρείται σε μοναδιαία τετράγωνα όπως στο σχήμα. (Περίπτωση για ) Στην συνέχεια φέρνουμε την διαγώνιο του κάθε μοναδιαίου τετραγώνου που είναι παράλληλη με την . Μία αράχνη ξεκινάει από το θέλοντας να φτάσει στο μέσω των ευθυγράμμων τμημάτων υπό τις εξής προϋποθέσεις:
1)Πρέπει να κινείται προς τα πάνω ή προς τα δεξιά
2)Μπορεί να διασχίσει ένα διαγώνιο ευθύγραμμο τμήμα από πάνω-αριστερά προς κάτω-δεξιά μήκους αν στην αμέσως προηγούμενη κίνηση κινήθηκε προς τα πάνω.
Έστω το πλήθος των διαδρομών που μπορεί να διασχίσει η αράχνη για να φτάσει στο από το . Να βρεθούν όλοι οι πρώτοι αριθμοί που είναι τέτοιοι ώστε Edit: Προσθήκη (β) ερωτήματος στο πρόβλημα 3
Πρόβλημα 1
Δίνονται δύο κύκλοι οι οποίοι τέμνονται στα και (με σημείο του
και σημείο του ) η κοινή τους εφαπτομένη έτσι ώστε το να βρίσκεται στο εσωτερικό του τριγώνου .
Η τέμνει τον στο και η τέμνει τον στο . Οι και τέμνονται στο .
Έστω η προβολή του πάνω στην . Θεωρούμε σημεία πάνω στις αντιστοίχως έτσι ώστε
και . Ο περιγεγραμμένος κύκλος (έστω ) του τριγώνου τέμνει τις: στο ,
στο και στο . Αν οι τέμνουν τις αντίστοιχα στα να αποδείξετε ότι τα
σημεία είναι ομοκυκλικά.
Πρόβλημα 2
Να βρεθούν όλα τα πολυώνυμα (με ακέραιους συντελεστές) τα οποία ικανοποιούν την παρακάτω σχέση:
Πρόβλημα 3
Δίνεται το σύνολο το οποίο περιλαμβάνει όλους τους θετικούς ακεραίους. Ο μικρός Θανάσης έχει στην
διάθεσή του 2 σημειωματάρια, ένα κόκκινο και ένα πράσινο. Σε κάθε κίνηση, ο Θανάσης επιλέγει έναν αριθμό από
το σύνολο (τον οποίο δεν έχει ξαναεπιλέξει προηγουμένως) και ψάχνει να βρει κατάλληλους θετικούς ακεραίους
έτσι ώστε ο αριθμός που επέλεξε να είναι λύση της εξίσωσης (δηλαδή αντικαθιστά
τον αριθμό στην θέση του ). Αν υπάρχουν κατάλληλοι θετικοί ακέραιοι τότε σημειώνει τον αριθμό που επέλεξε στο
κόκκινο σημειωματάριο, διαφορετικά αν δεν υπάρχουν θετικοί ακέραιοι έτσι ώστε ο αριθμός που επέλεξε να είναι ρίζα,
τότε τον σημειώνει το πράσινο σημειωματάριο.
(α) Αν υποθέσουμε ότι ελέγχει όλους τους αριθμούς του , να αποδείξετε ότι υπάρχουν τουλάχιστον
αριθμοί οι οποίοι θα γραφούν στο πράσινο σημειωματάριο.
(β) Να βρεθούν όλες οι δυνατές τιμές του θετικού ακέραιου για τον οποίο ισχύει ότι αν ο Θανάσης
δοκιμάσει όλους τους θετικούς ακέραιους από το μέχρι και το στην θέση του στην παραπάνω
εξίσωση, τα δύο σημειωματάρια θα έχουν το ίδιο πλήθος αριθμών.
Πρόβλημα 4
Τετράγωνο πλευράς όπου θετικός ακέραιος διαιρείται σε μοναδιαία τετράγωνα όπως στο σχήμα. (Περίπτωση για ) Στην συνέχεια φέρνουμε την διαγώνιο του κάθε μοναδιαίου τετραγώνου που είναι παράλληλη με την . Μία αράχνη ξεκινάει από το θέλοντας να φτάσει στο μέσω των ευθυγράμμων τμημάτων υπό τις εξής προϋποθέσεις:
1)Πρέπει να κινείται προς τα πάνω ή προς τα δεξιά
2)Μπορεί να διασχίσει ένα διαγώνιο ευθύγραμμο τμήμα από πάνω-αριστερά προς κάτω-δεξιά μήκους αν στην αμέσως προηγούμενη κίνηση κινήθηκε προς τα πάνω.
Έστω το πλήθος των διαδρομών που μπορεί να διασχίσει η αράχνη για να φτάσει στο από το . Να βρεθούν όλοι οι πρώτοι αριθμοί που είναι τέτοιοι ώστε Edit: Προσθήκη (β) ερωτήματος στο πρόβλημα 3
τελευταία επεξεργασία από Γιάννης Μπόρμπας σε Σάβ Απρ 29, 2017 1:45 am, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.
Γιάννης Μπορμπαντωνάκης
Λέξεις Κλειδιά:
- Διονύσιος Αδαμόπουλος
- Δημοσιεύσεις: 807
- Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
- Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας
Re: Προετοιμασία για διαγωνισμούς - Διαγώνισμα 6
Αρχικά θα αποδείξουμε πως το είναι το μέσο του . Αρκεί το να είναι ισοσκελές.Γιάννης Μπόρμπας έγραψε:Διαγώνισμα 6 Επίπεδο: Αρχιμήδης/Προκριματικός Seniors
Πρόβλημα 1
Δίνονται δύο κύκλοι οι οποίοι τέμνονται στα και (με σημείο του
και σημείο του ) η κοινή τους εφαπτομένη έτσι ώστε το να βρίσκεται στο εσωτερικό του τριγώνου .
Η τέμνει τον στο και η τέμνει τον στο . Οι και τέμνονται στο .
Έστω η προβολή του πάνω στην . Θεωρούμε σημεία πάνω στις αντιστοίχως έτσι ώστε
και . Ο περιγεγραμμένος κύκλος (έστω ) του τριγώνου τέμνει τις: στο ,
στο και στο . Αν οι τέμνουν τις αντίστοιχα στα να αποδείξετε ότι τα
σημεία είναι ομοκυκλικά.
Όμως , άρα πράγματι το είναι το μέσο του .
Είναι σαφές λοιπόν πως , άρα τα τρίγωνα και είναι ορθογώνια, με άλλα λόγια τα και είναι ύψη του .
Επομένως ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου (), είναι ο κύκλος του . Τα σημεία τομής του κύκλου με τα ύψη διχοτομούν το τμήμα από την κορυφή μέχρι το ορθόκεντρο. Επομένως αν το ορθόκεντρο του , έχουμε πως τα και είναι τα μέσα των και αντίστοιχα.
Ακόμη το είναι το ίχνος του ύψους από την κορυφή (αφού ο κύκλος περνάει και από τα μέσα των πλευρών και από τα ίχνη των υψών).
Στο τρίγωνο , έχουμε τα ζεύγη μέσων και . Συνεπώς έχουμε πως και ότι . Όμως και , άρα .
Άρα τα σημεία είναι ομοκυκλικά (αφού το είναι εγγράψιμο). Από την άλλη όμως είναι (το είναι το ίχνος του ύψους από την κορυφή ), άρα και τα είναι ομοκυκλικά (το είναι εγγράψιμο). Έπεται λοιπόν πως τα σημεία είναι ομοκυκλικά.
Houston, we have a problem!
-
- Δημοσιεύσεις: 217
- Εγγραφή: Τρί Δεκ 13, 2016 10:41 pm
- Τοποθεσία: Χανιά
Re: Προετοιμασία για διαγωνισμούς - Διαγώνισμα 6
Διονύσιος Αδαμόπουλος έγραψε:Αρχικά θα αποδείξουμε πως το είναι το μέσο του . Αρκεί το να είναι ισοσκελές.Γιάννης Μπόρμπας έγραψε:Διαγώνισμα 6 Επίπεδο: Αρχιμήδης/Προκριματικός Seniors
Πρόβλημα 1
Δίνονται δύο κύκλοι οι οποίοι τέμνονται στα και (με σημείο του
και σημείο του ) η κοινή τους εφαπτομένη έτσι ώστε το να βρίσκεται στο εσωτερικό του τριγώνου .
Η τέμνει τον στο και η τέμνει τον στο . Οι και τέμνονται στο .
Έστω η προβολή του πάνω στην . Θεωρούμε σημεία πάνω στις αντιστοίχως έτσι ώστε
και . Ο περιγεγραμμένος κύκλος (έστω ) του τριγώνου τέμνει τις: στο ,
στο και στο . Αν οι τέμνουν τις αντίστοιχα στα να αποδείξετε ότι τα
σημεία είναι ομοκυκλικά.
Όμως , άρα πράγματι το είναι το μέσο του .
Είναι σαφές λοιπόν πως , άρα τα τρίγωνα και είναι ορθογώνια, με άλλα λόγια τα και είναι ύψη του .
Επομένως ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου (), είναι ο κύκλος του . Τα σημεία τομής του κύκλου με τα ύψη διχοτομούν το τμήμα από την κορυφή μέχρι το ορθόκεντρο. Επομένως αν το ορθόκεντρο του , έχουμε πως τα και είναι τα μέσα των και αντίστοιχα.
Ακόμη το είναι το ίχνος του ύψους από την κορυφή (αφού ο κύκλος περνάει και από τα μέσα των πλευρών και από τα ίχνη των υψών).
Στο τρίγωνο , έχουμε τα ζεύγη μέσων και . Συνεπώς έχουμε πως και ότι . Όμως και , άρα .
Άρα τα σημεία είναι ομοκυκλικά (αφού το είναι εγγράψιμο). Από την άλλη όμως είναι (το είναι το ίχνος του ύψους από την κορυφή ), άρα και τα είναι ομοκυκλικά (το είναι εγγράψιμο). Έπεται λοιπόν πως τα σημεία είναι ομοκυκλικά.
ομοκυκλικότητα.png
Γιάννης Μπορμπαντωνάκης
Re: Προετοιμασία για διαγωνισμούς - Διαγώνισμα 6
[quote="Γιάννης Μπόρμπας"]Διαγώνισμα 6 Επίπεδο: Αρχιμήδης/Προκριματικός Seniors
Πρόβλημα 1
Mια άλλη προσέγγιση
Αποδεικνύεται οτι ισοσκελές αφού και
Προκύπτει ότι Aρα μέσον και
αρα ( ισοσκελες , εγγεγραμένες τόξου )
( ισοσκελές , εγγεγραμένες τόξου )
αρα τριγωνα ισοσκελή άρα
αρα τρίγωνα
αρα αποδεικνύεται αντιστοίχως καθετη (1)
και καθετη (2)
'Εστω ορθόκεντρο
ξερουμε ότι
Aκομα
αρα
απο εγγράψιμο
αρα ισοσκελές με
¨Ετσι επομένως ορθογώνιο τρίγωνο και καθετη (3)
Aπο (1), (2) ,(3)
ομοκυκλικά
Πρόβλημα 1
Mια άλλη προσέγγιση
Αποδεικνύεται οτι ισοσκελές αφού και
Προκύπτει ότι Aρα μέσον και
αρα ( ισοσκελες , εγγεγραμένες τόξου )
( ισοσκελές , εγγεγραμένες τόξου )
αρα τριγωνα ισοσκελή άρα
αρα τρίγωνα
αρα αποδεικνύεται αντιστοίχως καθετη (1)
και καθετη (2)
'Εστω ορθόκεντρο
ξερουμε ότι
Aκομα
αρα
απο εγγράψιμο
αρα ισοσκελές με
¨Ετσι επομένως ορθογώνιο τρίγωνο και καθετη (3)
Aπο (1), (2) ,(3)
ομοκυκλικά
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: Προετοιμασία για διαγωνισμούς - Διαγώνισμα 6
Πολύ καλό!Γιάννης Μπόρμπας έγραψε: Πρόβλημα 3
Δίνεται το σύνολο το οποίο περιλαμβάνει όλους τους θετικούς ακεραίους. Ο μικρός Θανάσης έχει στην
διάθεσή του 2 σημειωματάρια, ένα κόκκινο και ένα πράσινο. Σε κάθε κίνηση, ο Θανάσης επιλέγει έναν αριθμό από
το σύνολο (τον οποίο δεν έχει ξαναεπιλέξει προηγουμένως) και ψάχνει να βρει κατάλληλους θετικούς ακεραίους
έτσι ώστε ο αριθμός που επέλεξε να είναι λύση της εξίσωσης (δηλαδή αντικαθιστά
τον αριθμό στην θέση του ). Αν υπάρχουν κατάλληλοι θετικοί ακέραιοι τότε σημειώνει τον αριθμό που επέλεξε στο
κόκκινο σημειωματάριο, διαφορετικά αν δεν υπάρχουν θετικοί ακέραιοι έτσι ώστε ο αριθμός που επέλεξε να είναι ρίζα,
τότε τον σημειώνει το πράσινο σημειωματάριο.
(α) Αν υποθέσουμε ότι ελέγχει όλους τους αριθμούς του , να αποδείξετε ότι υπάρχουν τουλάχιστον
αριθμοί οι οποίοι θα γραφούν στο πράσινο σημειωματάριο.
(β) Να βρεθούν όλες οι δυνατές τιμές του θετικού ακέραιου για τον οποίο ισχύει ότι αν ο Θανάσης
δοκιμάσει όλους τους θετικούς ακέραιους από το μέχρι και το στην θέση του στην παραπάνω
εξίσωση, τα δύο σημειωματάρια θα έχουν το ίδιο πλήθος αριθμών.
Θα δείξω αρχικά ότι όλοι οι περιττοί γράφονται στο πράσινο σημειωματάριο.
Έστω λοιπόν προς άτοπο ότι περιττός και ότι υπάρχουν ώστε . Τότε από το οποίο προκύπτει ότι άρτιοι.
Έστω με τουλάχιστον έναν από τους να είναι περιττός. Τότε
Η μεγαλύτερη δύναμη του που διαιρεί το αριστερό μέλος ισούται με . Η μεγαλύτερη δύναμη του που διαιρεί το δεξί μέλος είναι μεγαλύτερη ή ίση του
Η τελευταία ανισότητα αποδεικνύεται εύκολα επαγωγικά.
Από ότι δείξαμε μέχρι στιγμής το (α) είναι άμεσο.
Για το (β) θα δείξουμε ότι το μπαίνει στο κόκκινο σημειωματάριο και το στο πράσινο. Άρα μόνο για θα έχουμε ίσους αριθμούς στα δυο σημειωματάρια αφού για με θα έχουμε τουλάχιστον αριθμούς στο πράσινο σημειωματάριο.
Για και παρατηρούμε ότι ο μπαίνει στο κόκκινο σημειωματάριο.
Έστω τώρα ότι . Αν υπάρχουν τέτοια πρέπει . Τότε
Άρα οπότε .
Έχουμε λοιπόν ότι . Άρα . Παίρνουμε . Επειδή το δεν είναι τέλειο τετράγωνο πρέπει .
Γράφουμε με τουλάχιστον ένα από τα να μην είναι πολλαπλάσιο του . Τότε
Η μεγαλύτερη δύναμη του που διαιρεί το αριστερό μέλος ισούται με . Η μεγαλύτερη δύναμη του που διαιρεί το δεξί μέλος είναι μεγαλύτερη ή ίση του
εκτός και αν . Πρέπει επίσης αφού σε αντίθετη περίπτωση η μεγαλύτερη δύναμη που διαιρεί το είναι τουλάχιστον .
Έστω λοιπόν ότι . Άρα . Τότε . Αυτό όμως είναι αδύνατο αφού τα και είναι πολλαπλάσια του ενώ το όχι.
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: Προετοιμασία για διαγωνισμούς - Διαγώνισμα 6
Το είδαμε εδώ.Γιάννης Μπόρμπας έγραψε:b]Πρόβλημα 4[/b]
Τετράγωνο πλευράς όπου θετικός ακέραιος διαιρείται σε μοναδιαία τετράγωνα όπως στο σχήμα. (Περίπτωση για ) Στην συνέχεια φέρνουμε την διαγώνιο του κάθε μοναδιαίου τετραγώνου που είναι παράλληλη με την . Μία αράχνη ξεκινάει από το θέλοντας να φτάσει στο μέσω των ευθυγράμμων τμημάτων υπό τις εξής προϋποθέσεις:
1)Πρέπει να κινείται προς τα πάνω ή προς τα δεξιά
2)Μπορεί να διασχίσει ένα διαγώνιο ευθύγραμμο τμήμα από πάνω-αριστερά προς κάτω-δεξιά μήκους αν στην αμέσως προηγούμενη κίνηση κινήθηκε προς τα πάνω.
Έστω το πλήθος των διαδρομών που μπορεί να διασχίσει η αράχνη για να φτάσει στο από το . Να βρεθούν όλοι οι πρώτοι αριθμοί που είναι τέτοιοι ώστε
Screenshot_27.png
Edit: Προσθήκη (β) ερωτήματος στο πρόβλημα 3
-
- Δημοσιεύσεις: 217
- Εγγραφή: Τρί Δεκ 13, 2016 10:41 pm
- Τοποθεσία: Χανιά
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: Προετοιμασία για διαγωνισμούς - Διαγώνισμα 6
Έστω ότι το έχει βαθμό και έστω ότι με το να έχει βαθμό το πολύ .Γιάννης Μπόρμπας έγραψε:Διαγώνισμα 6 Επίπεδο: Αρχιμήδης/Προκριματικός Seniors
Πρόβλημα 2
Να βρεθούν όλα τα πολυώνυμα (με ακέραιους συντελεστές) τα οποία ικανοποιούν την παρακάτω σχέση:
Τότε
και
όπου τα είναι πολυώνυμα βαθμού το πολύ .
Πρέπει λοιπόν και με . Η πρώτη εξίσωση δίνει . Μετά όμως η δεύτερη δίνει , άτοπο.
Οπότε το έχει βαθμό το πολύ . Θέτοντας παίρνω . Τώρα θέτοντας παίρνω . Άρα το είναι ένα πολυώνυμο βαθμού το πολύ το οποίο έχει τουλάχιστον δύο ρίζες. Πρέπει λοιπόν .
Άρα η είναι η μοναδική λύση.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 18 επισκέπτες