Διάταξη ολοκληρωμάτων

Σ' αυτόν τόν φάκελο καταχωρούνται, γιά περιορισμένο χρονικό διάστημα, ασκήσεις πού προτείνονται από οποιοδήποτε μέλος, αλλά η επίλυσή τους αφήνεται ΜΟΝΟ στούς μαθητές.

Συντονιστής: polysot

Grosrouvre
Δημοσιεύσεις: 294
Εγγραφή: Τρί Ιούλ 15, 2014 11:37 pm

Διάταξη ολοκληρωμάτων

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Grosrouvre » Δευ Μαρ 20, 2017 12:09 am

Για τη συνεχή και γνησίως αύξουσα συνάρτηση f: \mathbb{R} \to \left( 0, + \infty \rght) να αποδείξετε ότι

\displaystyle{\int_{0}^{1}f(x)dx < \int_1^2 f(x)dx.

Να δοθεί γεωμετρική - γραφική ερμηνεία.

Γ' Λυκείου έως 24/03



Λέξεις Κλειδιά:
Grosrouvre
Δημοσιεύσεις: 294
Εγγραφή: Τρί Ιούλ 15, 2014 11:37 pm

Re: Διάταξη ολοκληρωμάτων

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Grosrouvre » Σάβ Μαρ 25, 2017 6:25 pm

Επαναφορά :logo:


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11907
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Διάταξη ολοκληρωμάτων

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Σάβ Μαρ 25, 2017 6:31 pm

Για να δώσουμε άλλη μία ευκαιρία (και παράταση) στους μαθητές μας, ας γράψω μία υπόδειξη:

Το δεύτερο ολοκλήρωμα ισούται με \displaystyle{\int_{0}^{1}f(y+1)dy


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2893
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Διάταξη ολοκληρωμάτων

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Σάβ Μαρ 25, 2017 8:28 pm

Να σημειώσω ότι ισχύει (με την ίδια απόδειξη) όταν
f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}
συνεχής γνησίως αύξουσα.


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11356
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Διάταξη ολοκληρωμάτων

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Σάβ Μαρ 25, 2017 8:42 pm

Εμβαδά.png
Εμβαδά.png (5.13 KiB) Προβλήθηκε 653 φορές
Θεωρώ ότι στην περίπτωση αυτή , το σχήμα είναι από μόνο του πλήρης απόδειξη .


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11907
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Διάταξη ολοκληρωμάτων

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Κυρ Μαρ 26, 2017 8:15 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε:Για να δώσουμε άλλη μία ευκαιρία (και παράταση) στους μαθητές μας, ας γράψω μία υπόδειξη:

Το δεύτερο ολοκλήρωμα ισούται με \displaystyle{\int_{0}^{1}f(y+1)dy
Για να κλείνει:

Από την υπόθεση έπεται f(x+1)-f(x) >0 για κάθε x\in [0\,, 1]. Ολοκληρώνοντας από 0 έως 1 και με χρήση του παραπάνω για το πρώτο ολοκλήρωμα (που βγαίνει με αλλαγή μεταβλητής t=x+1), έπεται αμέσως το ζητούμενο.

(Υπόψη ότι χρησιμοποιήθηκε η ασθενέστερη υπόθεση που αναφέρει ο Σταύρος).


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2893
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Διάταξη ολοκληρωμάτων

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Κυρ Μαρ 26, 2017 8:49 pm

Αλλιώς.

x\in (0,1)\Rightarrow f(x)< f(1)

Αρα \int_{0}^{1}f(x)dx< f(1)

x\in (1,2)\Rightarrow f(1)< f(x)

Αρα Αρα \int_{1}^{2}f(x)dx> f(1)

Τελικά \int_{0}^{1}f(x)dx< f(1)< \int_{1}^{2}f(x)dx


Άβαταρ μέλους
Christos.N
Δημοσιεύσεις: 1768
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 26, 2009 2:28 pm
Τοποθεσία: Ίλιον

Re: Διάταξη ολοκληρωμάτων

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Christos.N » Κυρ Μαρ 26, 2017 9:21 pm

από εκεί που το άφησε ο Σταύρος (σε χαιρετώ) η γεωμετρική ερμηνεία.
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:Αλλιώς.

x\in (0,1)\Rightarrow f(x)< f(1)

Αρα \int_{0}^{1}f(x)dx< f(1)

x\in (1,2)\Rightarrow f(1)< f(x)

Αρα Αρα \int_{1}^{2}f(x)dx> f(1)

Τελικά \int_{0}^{1}f(x)dx< f(1)< \int_{1}^{2}f(x)dx
Γνωρίζουμε ότι \displaystyle{\int\limits_\alpha ^\beta  c \,dx } εκφράζει το εμβαδόν ενός ορθογωνίου και είναι ίσο με c\left( {\beta  - \alpha } \right) .

Αφού η συνάρτηση \displaystyle{f} είναι μη αρνητική τόσο το ολοκλήρωμα \displaystyle{\int\limits_0^1 {f\left( x \right)} \,dx} όσο και το \displaystyle{\int\limits_1^2 {f\left( x \right)} \,dx} εκφράζουν τα εμβαδά των αντίστοιχων χωρίων των διαστημάτων [0,1] και [1,2].

Δείξαμε όμως ότι \int_{0}^{1}f(x)dx< f(1)< \int_{1}^{2}f(x)dx που ισοδυναμεί με \int_{0}^{1}f(x)dx< f(1)(1-0)=f(1)(2-1)< \int_{1}^{2}f(x)dx

Το τελευταίο σημαίνει ότι το εμβαδόν της συνάρτησης στο διάστημα [0,1] είναι μικρότερο από το εμβαδόν του ορθογωνίου που ορίζεται σε αυτό, που είναι ίσο με αυτό του διαστήματος [1,2] και το εμβαδόν της συνάρτησης σε αυτό είναι μεγαλύτερο αντίστοιχα.


Χρήστος Ντάβας
Wir müssen wissen — wir werden wissen! D.Hilbert
Απάντηση

Επιστροφή σε “Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης