mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Μαρ 12, 2017 12:19 pm**

: Ακτίνα φωτός.png (10.54 KiB) Προβλήθηκε 441 φορές

Κατασκευάστε κύκλο με κέντρο σημείο

της πλευράς

, ορθογωνίου ABCD

,

διαστάσεων $a\times b$ , τέτοιον ώστε , αν τέμνει την

στο σημείο

, η εφαπτομένη του

στο

, να διέρχεται από την κορυφή

του ορθογωνίου και υπολογίστε την ακτίνα του .

Η προθεσμία για τους μαθητές λήγει , μόλις ο Ατρόμητος πάρει θετικό αποτέλεσμα .

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Μαρ 12, 2017 1:11 pm**

Καλημέρα!

Αρχικά, παρατηρούμε ότι η

εφάπτεται στον κύκλο (είναι $DA \perp DC$ , άρα και $KD \perp DC$ ).

Έτσι, CD=CS=a

.

Κατασκευή

Φέρνουμε τον κύκλο (C,CD)

που τέμνει την

στο

.

Φέρνουμε την μεσοκάθετη του

, που τέμνει την

στο

.

Ο κύκλος (K,KD)

είναι ο ζητούμενος.

Η απόδειξη είναι προφανής.

Πάμε στον υπολογισμό της ακτίνας τώρα.

Έστω KD=R

.

Προφανώς, KA=b-R

.

Με Π.Θ. στο BSC

έχουμε $SB=\sqrt{a^2-b^2}$ .

Άρα, $AS=a-\sqrt{a^2-b^2}$ .

Πάλι με Π.Θ. στο ASK

παίρνουμε $R^2=(b-R)^2+(a-\sqrt{a^2-b^2})^2 \Leftrightarrow \boxed{R=\dfrac{a^2-a\sqrt{a^2-b^2}}{b}}$

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Μαρ 12, 2017 2:19 pm**

Ορέστης Λιγνός έγραψε:Καλημέρα!

Αρχικά, παρατηρούμε ότι η εφάπτεται στον κύκλο (είναι $DA \perp DC$ , άρα και $KD \perp DC$ ).

Έτσι, .

Κατασκευή

Φέρνουμε τον κύκλο που τέμνει την στο .

Φέρνουμε την μεσοκάθετη του , που τέμνει την στο .

Ο κύκλος είναι ο ζητούμενος.

Η απόδειξη είναι προφανής.

Πάμε στον υπολογισμό της ακτίνας τώρα.

Έστω .

Προφανώς, .

Με Π.Θ. στο έχουμε $SB=\sqrt{a^2-b^2}$ .

Άρα, $AS=a-\sqrt{a^2-b^2}$ .

Πάλι με Π.Θ. στο παίρνουμε $R^2=(b-R)^2+(a-\sqrt{a^2-b^2})^2 \Leftrightarrow \boxed{R=\dfrac{a^2-a\sqrt{a^2-b^2}}{b}}$

Μπράβο Ορέστη

mathematica.gr

Ακτίνα φωτός ( Β ΛΥΚ ΓΕΩΜ )

Ακτίνα φωτός ( Β ΛΥΚ ΓΕΩΜ )

Re: Ακτίνα φωτός ( Β ΛΥΚ ΓΕΩΜ )

Re: Ακτίνα φωτός ( Β ΛΥΚ ΓΕΩΜ )