Κριτήριο ισοπλεύρου (Γεωμετρία Α)

Σ' αυτόν τόν φάκελο καταχωρούνται, γιά περιορισμένο χρονικό διάστημα, ασκήσεις πού προτείνονται από οποιοδήποτε μέλος, αλλά η επίλυσή τους αφήνεται ΜΟΝΟ στούς μαθητές.

Συντονιστής: polysot

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8969
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Κριτήριο ισοπλεύρου (Γεωμετρία Α)

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Δευ Φεβ 20, 2017 4:42 pm

Έστω BM διάμεσος και CD ύψος οξυγώνιου τριγώνου ABC. Αν BM=CD και C\widehat BM=A\widehat CD,

να δείξετε ότι το τρίγωνο ABC είναι ισόπλευρο.

Μέχρι 22/02/2017



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Διονύσιος Αδαμόπουλος
Δημοσιεύσεις: 800
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας

Re: Κριτήριο ισοπλεύρου (Γεωμετρία Α)

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Διονύσιος Αδαμόπουλος » Τετ Φεβ 22, 2017 1:02 pm

Φέρνουμε την DM.

Επειδή στο ορθογώνιο τρίγωνο ADC το M είναι το μέσο της υποτείνουσας, ισχύει ότι: \widehat{MDC}=\widehat{ACD}.

Άρα \widehat{MDC}=\widehat{MBC} οπότε το τετράπλευρο DBCM είναι εγγράψιμο και \widehat{BMC}=\widehat{BDC}=90^o.

Επομένως στο τρίγωνο ABC η διάμεσος BM είναι και ύψος και διχοτόμος, ενώ BA=BC (1).

Επίσης, τα ορθογώνια τρίγωνα ABM και ACD είναι ίσα γιατί έχουν τη μία οξεία γωνία κοινή και BM=CD, άρα BA=AC (2).

Από τις σχέσεις (1) και (2) προκύπτει ότι το ABC είναι ισόπλευρο.
Συνημμένα
Κριτήριο ισοπλεύρου.png
Κριτήριο ισοπλεύρου.png (11.42 KiB) Προβλήθηκε 328 φορές


Houston, we have a problem!
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8969
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Κριτήριο ισοπλεύρου (Γεωμετρία Α)

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τετ Φεβ 22, 2017 2:08 pm

Διονύσιος Αδαμόπουλος έγραψε:Φέρνουμε την DM.

Επειδή στο ορθογώνιο τρίγωνο ADC το M είναι το μέσο της υποτείνουσας, ισχύει ότι: \widehat{MDC}=\widehat{ACD}.

Άρα \widehat{MDC}=\widehat{MBC} οπότε το τετράπλευρο DBCM είναι εγγράψιμο και \widehat{BMC}=\widehat{BDC}=90^o.

Επομένως στο τρίγωνο ABC η διάμεσος BM είναι και ύψος και διχοτόμος, ενώ BA=BC (1).

Επίσης, τα ορθογώνια τρίγωνα ABM και ACD είναι ίσα γιατί έχουν τη μία οξεία γωνία κοινή και BM=CD, άρα BA=AC (2).

Από τις σχέσεις (1) και (2) προκύπτει ότι το ABC είναι ισόπλευρο.
Ο νέος είν' ωραίος :clap2:


Απάντηση

Επιστροφή σε “Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης