Δύο κύκλοι-20

Σ' αυτόν τόν φάκελο καταχωρούνται, γιά περιορισμένο χρονικό διάστημα, ασκήσεις πού προτείνονται από οποιοδήποτε μέλος, αλλά η επίλυσή τους αφήνεται ΜΟΝΟ στούς μαθητές.

Συντονιστής: polysot

Φανης Θεοφανιδης
Δημοσιεύσεις: 1128
Εγγραφή: Παρ Απρ 10, 2015 9:04 pm

Δύο κύκλοι-20

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Φανης Θεοφανιδης » Παρ Ιαν 06, 2017 12:14 pm

Δύο κύκλοι.png
Δύο κύκλοι.png (15.25 KiB) Προβλήθηκε 505 φορές
Στο παραπάνω σχήμα, οι κύκλοι με κέντρα K και \Lambda εφάπτονται στο P
και έχουν ακτίνες R=15 και r=10 αντίστοιχα. Φέρνω το κοινό τους εφαπτόμενο τμήμα AB.
Υπολογίστε την απόσταση του σημείου P από το τμήμα AB.

Μέχρι 7/1/2017.



Λέξεις Κλειδιά:
Φανης Θεοφανιδης
Δημοσιεύσεις: 1128
Εγγραφή: Παρ Απρ 10, 2015 9:04 pm

Re: Δύο κύκλοι-20

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Φανης Θεοφανιδης » Σάβ Ιαν 07, 2017 5:58 pm

Επαναφορά.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8441
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Δύο κύκλοι-20

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Κυρ Ιαν 08, 2017 12:42 am

Φανης Θεοφανιδης έγραψε:Δύο κύκλοι.png
Στο παραπάνω σχήμα, οι κύκλοι με κέντρα K και \Lambda εφάπτονται στο P
και έχουν ακτίνες R=15 και r=10 αντίστοιχα. Φέρνω το κοινό τους εφαπτόμενο τμήμα AB.
Υπολογίστε την απόσταση του σημείου P από το τμήμα AB.

Μέχρι 7/1/2017.
Γεια σου Φάνη!
Δύο κύκλοι-20.png
Δύο κύκλοι-20.png (20.83 KiB) Προβλήθηκε 442 φορές
Είναι γνωστό ότι A\widehat PB=90^0. Έστω D το μέσο του AP. Τα τρίγωνα KDA, AHP είναι όμοια.

\displaystyle{\frac{{15}}{{AP}} = \frac{{AP}}{{2PH}} \Leftrightarrow A{P^2} = 30PH} και ομοίως \displaystyle{P{B^2} = 20PH \Rightarrow {(PA \cdot PB)^2} = 600P{H^2} \Leftrightarrow }

\displaystyle{PA \cdot PB = 10\sqrt 6 PH \Leftrightarrow PH \cdot AB = 10\sqrt 6 PH \Leftrightarrow } \boxed{AB=10\sqrt 6}

\displaystyle{\frac{{P{A^2}}}{{P{B^3}}} = \frac{3}{2} = \frac{{AH}}{{HB}} \Leftrightarrow \frac{3}{5} = \frac{{AH}}{{AB}} \Leftrightarrow AH = 6\sqrt 6 ,HB = 4\sqrt 6  \Leftrightarrow P{H^2} = AH \cdot HB = 144 \Leftrightarrow } \boxed{PH=12}


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10881
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Δύο κύκλοι-20

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Κυρ Ιαν 08, 2017 9:13 am

Λήμμα.png
Λήμμα.png (16.07 KiB) Προβλήθηκε 424 φορές
Είναι ώρα για τη χρήση του διάσημου - τουλάχιστον κατά Φραγκάκη - λήμματος , οπότε :

HP=\dfrac{10\cdot15+15\cdot10}{10+15}=\dfrac{300}{25}=12 . Ο πολύ επίμονος ας αποδείξει το λήμμα .


Φανης Θεοφανιδης
Δημοσιεύσεις: 1128
Εγγραφή: Παρ Απρ 10, 2015 9:04 pm

Re: Δύο κύκλοι-20

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Φανης Θεοφανιδης » Κυρ Ιαν 08, 2017 1:03 pm

Δύο κύκλοι-20..png
Δύο κύκλοι-20..png (7.29 KiB) Προβλήθηκε 394 φορές
Καλημέρα.

Έστω ότι η προέκταση της διακέντρου K\Lambda, τέμνει την προέκταση του AB
στο E (πω πω όμοια ορθογώνια τρίγωνα). Ονομάζω το \Lambda E με \chi .
Είναι \triangle KAE\sim \triangle \Lambda BE\Rightarrow
\Rightarrow \dfrac{KA}{\Lambda B}=\dfrac{KE}{\Lambda E} \Rightarrow
\Rightarrow \dfrac{KA}{\Lambda B}=\dfrac{K\Lambda +\Lambda E}{\Lambda E}\Rightarrow \chi =50.
Επίσης \triangle PHE\sim \triangle \Lambda BE\Rightarrow
\Rightarrow \dfrac{PH}{\Lambda B}=\dfrac{PE}{\Lambda E}\Rightarrow PH=12.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης