Διοφαντική

Σ' αυτόν τόν φάκελο καταχωρούνται, γιά περιορισμένο χρονικό διάστημα, ασκήσεις πού προτείνονται από οποιοδήποτε μέλος, αλλά η επίλυσή τους αφήνεται ΜΟΝΟ στούς μαθητές.

Συντονιστής: polysot

Άβαταρ μέλους
JimNt.
Δημοσιεύσεις: 593
Εγγραφή: Παρ Μάιος 20, 2016 3:00 pm

Διοφαντική

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από JimNt. » Τετ Νοέμ 30, 2016 8:35 pm

Να υπολογίσετε τους φυσικούς a, b, n που ικανοποιούν την σχέση:
a^{n}-b^{n}=3^{n}.

Juniors Άλγεβρα-Θεωρία Αριθμών έως 5/12


Bye :')

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Διονύσιος Αδαμόπουλος
Δημοσιεύσεις: 807
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας

Re: Διοφαντική

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Διονύσιος Αδαμόπουλος » Τετ Νοέμ 30, 2016 9:52 pm

Αν δεν κάνω λάθος για n>2 η εξίσωση είναι αδύνατη εξαιτίας του Τελευταίου θεωρήματος του Φερμά! :lol:

Για n=0 δεν έχουμε λύσεις στους φυσικούς.

Τώρα η περίπτωση n=2 δίνει a^2-b^2=9, όπου εύκολα προκύπτει ότι (a, b)=(5, 4) (καθώς μετά από αυτά τα a και b οι διαφορές τετραγώνων μεγαλώνουν και a^2-b^2>9).

Τέλος η τετριμμένη περίπτωση για n=1 δίνει a-b=3, συνεπώς (a, b)=(k, k-3), όπου k φυσικός και k\geq 3.


Houston, we have a problem!
Άβαταρ μέλους
JimNt.
Δημοσιεύσεις: 593
Εγγραφή: Παρ Μάιος 20, 2016 3:00 pm

Re: Διοφαντική

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από JimNt. » Τετ Νοέμ 30, 2016 10:01 pm

Διονύσιος Αδαμόπουλος έγραψε:Αν δεν κάνω λάθος για n>2 η εξίσωση είναι αδύνατη εξαιτίας του Τελευταίου θεωρήματος του Φερμά! :lol:

Για n=0 δεν έχουμε λύσεις στους φυσικούς.

Τώρα η περίπτωση n=2 δίνει a^2-b^2=9, όπου εύκολα προκύπτει ότι (a, b)=(5, 4) (καθώς μετά από αυτά τα a και b οι διαφορές τετραγώνων μεγαλώνουν και a^2-b^2>9).

Τέλος η τετριμμένη περίπτωση για n=1 δίνει a-b=3, συνεπώς (a, b)=(k, k-3), όπου k φυσικός και k\geq 3.
Σωστά. Όταν έφτιαχνα την άσκηση δεν είχα υπόψη το Τ.Θ.Φ :wallbash:


Bye :')
Άβαταρ μέλους
Διονύσιος Αδαμόπουλος
Δημοσιεύσεις: 807
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας

Re: Διοφαντική

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Διονύσιος Αδαμόπουλος » Τετ Νοέμ 30, 2016 10:11 pm

JimNt. έγραψε:
Διονύσιος Αδαμόπουλος έγραψε:Αν δεν κάνω λάθος για n>2 η εξίσωση είναι αδύνατη εξαιτίας του Τελευταίου θεωρήματος του Φερμά! :lol:

Για n=0 δεν έχουμε λύσεις στους φυσικούς.

Τώρα η περίπτωση n=2 δίνει a^2-b^2=9, όπου εύκολα προκύπτει ότι (a, b)=(5, 4) (καθώς μετά από αυτά τα a και b οι διαφορές τετραγώνων μεγαλώνουν και a^2-b^2>9).

Τέλος η τετριμμένη περίπτωση για n=1 δίνει a-b=3, συνεπώς (a, b)=(k, k-3), όπου k φυσικός και k\geq 3.
Σωστά. Όταν έφτιαχνα την άσκηση δεν είχα υπόψη το Τ.Θ.Φ :wallbash:
Παρόλα αυτά έχει ενδιαφέρον να δούμε πώς θα λυνόταν χωρίς το Τ.Θ.Φ.


Houston, we have a problem!
Άβαταρ μέλους
JimNt.
Δημοσιεύσεις: 593
Εγγραφή: Παρ Μάιος 20, 2016 3:00 pm

Re: Διοφαντική

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από JimNt. » Τετ Νοέμ 30, 2016 11:24 pm

Διονύσιος Αδαμόπουλος έγραψε:
JimNt. έγραψε:
Διονύσιος Αδαμόπουλος έγραψε:Αν δεν κάνω λάθος για n>2 η εξίσωση είναι αδύνατη εξαιτίας του Τελευταίου θεωρήματος του Φερμά! :lol:

Για n=0 δεν έχουμε λύσεις στους φυσικούς.

Τώρα η περίπτωση n=2 δίνει a^2-b^2=9, όπου εύκολα προκύπτει ότι (a, b)=(5, 4) (καθώς μετά από αυτά τα a και b οι διαφορές τετραγώνων μεγαλώνουν και a^2-b^2>9).

Τέλος η τετριμμένη περίπτωση για n=1 δίνει a-b=3, συνεπώς (a, b)=(k, k-3), όπου k φυσικός και k\geq 3.
Σωστά. Όταν έφτιαχνα την άσκηση δεν είχα υπόψη το Τ.Θ.Φ :wallbash:
Παρόλα αυτά έχει ενδιαφέρον να δούμε πώς θα λυνόταν χωρίς το Τ.Θ.Φ.
Θα παραθέσω την λύση αν προλάβω αύριο. Είναι λίγο μπελάς...


Bye :')
Άβαταρ μέλους
JimNt.
Δημοσιεύσεις: 593
Εγγραφή: Παρ Μάιος 20, 2016 3:00 pm

Re: Διοφαντική

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από JimNt. » Πέμ Δεκ 01, 2016 3:09 pm

JimNt. έγραψε:
Διονύσιος Αδαμόπουλος έγραψε:
JimNt. έγραψε:
Διονύσιος Αδαμόπουλος έγραψε:Αν δεν κάνω λάθος για n>2 η εξίσωση είναι αδύνατη εξαιτίας του Τελευταίου θεωρήματος του Φερμά! :lol:

Για n=0 δεν έχουμε λύσεις στους φυσικούς.

Τώρα η περίπτωση n=2 δίνει a^2-b^2=9, όπου εύκολα προκύπτει ότι (a, b)=(5, 4) (καθώς μετά από αυτά τα a και b οι διαφορές τετραγώνων μεγαλώνουν και a^2-b^2>9).

Τέλος η τετριμμένη περίπτωση για n=1 δίνει a-b=3, συνεπώς (a, b)=(k, k-3), όπου k φυσικός και k\geq 3.
Σωστά. Όταν έφτιαχνα την άσκηση δεν είχα υπόψη το Τ.Θ.Φ :wallbash:
Παρόλα αυτά έχει ενδιαφέρον να δούμε πώς θα λυνόταν χωρίς το Τ.Θ.Φ.
Θα παραθέσω την λύση αν προλάβω αύριο. Είναι λίγο μπελάς...
Να απολογηθώ γιατί δεν είχα διερευνήσει κατάλληλα την πιθνή λύση της άσκησης οταν την τοποθέτησα στο forum (πιο συγκεκριμένα ο λύτης έπρεπε να διακρίνει περιπτώσεις για ζυγό n και περιττό n, η πρώτη είναι εύκολη, στην δεύτερη όμως παραγοντοποιώντας μπορούμε να αποδείξουμε ότι a-b>1, αλλά έπειτα με τον όρο (a^{n-1}+a^{n-2}b...+b^{n-1}), προκύπτει σχετικό μπέρδεμα (και μάλλον απαιτεί γνώσεις που δεν διαθέτω). Απλά να πω πως λύση της άσκησης αποτελεί και η τριάδα (a,b,n)=(3,0,f) με f φυσικό. (Το Τ.Θ.Φ είναι μόνο για τους θετικούς ακεραίους νομίζω ).


Bye :')
Άβαταρ μέλους
Διονύσιος Αδαμόπουλος
Δημοσιεύσεις: 807
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας

Re: Διοφαντική

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Διονύσιος Αδαμόπουλος » Πέμ Δεκ 01, 2016 3:23 pm

JimNt. έγραψε:...λύση της άσκησης αποτελεί και η τριάδα (a,b,n)=(3,0,f) με f φυσικό.
Έχεις δίκιο.


Houston, we have a problem!
Απάντηση

Επιστροφή σε “Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης