mathematica.gr

Δίνεται κανονικό εξάγωνο με πλευρά . Να χαράξετε, αποκλειστικά με αβαθμολόγητο

κανόνα, ένα ευθύγραμμο τμήμα μήκους Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.

Β' Λυκείου...............μέχρι 15/11/2016

Το κανονικό εξάγωνο είναι εγγράψιμο σε κύκλο με ακτίνα ίση με την πλευρά του. Άρα η διαγώνιος .

Το τρίγωνο είναι ισοσκελές και αφού θα έχουμε . Άρα .
(στο ίδιο βέβαια καταλήγουμε και με το σκεπτικό ότι η εγγεγραμμένη γωνία βαίνει σε ημικύκλιο).

Με Π.Θ. στο ορθογώνιο τρίγωνο προκύπτει εύκολα ότι .

Με τον κανόνα προεκτείνουμε τις και μέχρι εκεί που τέμνονται. Έστω το σημείο τομής τους.

Ισχύει ότι . Άρα το τρίγωνο είναι ισόπλευρο και η . Άρα .

Με Π.Θ. στο ορθογώνιο τρίγωνο προκύπτει εύκολα ότι .

Επομένως με τον κανόνα σχηματίζουμε το που έχει το ζητούμενο μήκος.

Edit: προστέθηκε η εξήγηση

Διονύσιος Αδαμόπουλος έγραψε:Το κανονικό εξάγωνο είναι εγγράψιμο σε κύκλο με ακτίνα ίση με την πλευρά του. Άρα η διαγώνιος .

Το τρίγωνο είναι ισοσκελές και αφού θα έχουμε . Άρα .
(στο ίδιο βέβαια καταλήγουμε και με το σκεπτικό ότι η εγγεγραμμένη γωνία βαίνει σε ημικύκλιο).

Με Π.Θ. στο ορθογώνιο τρίγωνο προκύπτει εύκολα ότι .

Με τον κανόνα προεκτείνουμε τις και μέχρι εκεί που τέμνονται. Έστω το σημείο τομής τους.

Ισχύει ότι . Άρα το τρίγωνο είναι ισόπλευρο και η . Άρα .

Με Π.Θ. στο ορθογώνιο τρίγωνο προκύπτει εύκολα ότι .

Επομένως με τον κανόνα σχηματίζουμε το που έχει το ζητούμενο μήκος.

Edit: προστέθηκε η εξήγηση

Κι από μένα