Μέγιστο τμήμα

Σ' αυτόν τόν φάκελο καταχωρούνται, γιά περιορισμένο χρονικό διάστημα, ασκήσεις πού προτείνονται από οποιοδήποτε μέλος, αλλά η επίλυσή τους αφήνεται ΜΟΝΟ στούς μαθητές.

Συντονιστής: polysot

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11374
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Μέγιστο τμήμα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Πέμ Οκτ 06, 2016 12:15 pm

α) Αποδείξτε ότι αν το x^2+y^2 είναι σταθερό, το γινόμενο xy μεγιστοποιείται , όταν x=y
Μέγιστο  τμήμα.png
Μέγιστο τμήμα.png (13.43 KiB) Προβλήθηκε 456 φορές
β) Σε ημικύκλιο διαμέτρου AB=2R , κινείται σημείο S . Σχηματίζω το ισόπλευρο

τρίγωνο ASP και το τετράγωνο BSTQ . Υπολογίστε το μέγιστο του τμήματος PT .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Ορέστης Λιγνός
Δημοσιεύσεις: 1599
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής

Re: Μέγιστο τμήμα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ορέστης Λιγνός » Πέμ Οκτ 06, 2016 3:15 pm

Καλησπέρα!

α) Αφού xy \leq \dfrac{x^2+y^2}{2}, η μέγιστη τιμή του xy είναι η \dfrac{x^2+y^2}{2}, και λαμβάνεται όταν \dfrac{x^2+y^2}{2}=xy, δηλαδή x=y.

β) Προφανώς \widehat{PST}=120, και με ν.συνημιτόνων στο PST, PT^2=PS^2+ST^2+PS \cdot ST =AS^2+SB^2+AS \cdot SB \leq 4R^2 +\dfrac{AS^2+SB^2}{2}=6R^2 \Leftrightarrow \boxed{PT \leq R\sqrt{6}},

και λαμβάνεται όταν AS=SB.


Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε !
Άβαταρ μέλους
Ratio
Δημοσιεύσεις: 242
Εγγραφή: Παρ Σεπ 09, 2016 8:59 am

Re: Μέγιστο τμήμα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ratio » Κυρ Οκτ 30, 2016 9:04 am

Και μια λύση με χρήση παραγώγων

Έστω x^{2}+y^2=c (με c σταθερό πραγματικό αριθμό\Leftrightarrow y^2=c-x^2\Leftrightarrow \left | y \right |=\sqrt{c-x^2}
όπου y>0 \Leftrightarrow y=\sqrt{c-x^2}

Θεωρούμε συνάρτηση f(x)=xy=x\sqrt{c-x^2}
παραγωγίζοντας την f(x) προκύπτει f'(x)=(x\sqrt{c-x^2})'=\sqrt{c-x^2}-\frac{x^2}{\sqrt{c-x^2}}=\frac{c-2x^2}{\sqrt{c-x^2}}
f'(x)=0\Leftrightarrow \frac{c-2x^2}{\sqrt{c-x^2}}=0\Leftrightarrow c-2x^2=0\Leftrightarrow x^2=\frac{c}{2}\Leftrightarrow \left | x \right |=\frac{\sqrt{2c}}{2},\\ (x>0)\Leftrightarrow x=\frac{\sqrt{2c}}{2}
Το τριώνυμο c-2x^2>0 , x\in (0,\frac{\sqrt{2c}}{2}) και c-2x^2<0 , x \in (\frac{\sqrt{2c}}{2},+\infty )
άρα η f(x)\uparrow x\in (0,\frac{\sqrt{2c}}{2})
και f(x)\downarrow x\in (\frac{\sqrt{2c}}{2},+\infty )


άρα η f(x) παρουσιάζει μέγιστο για x=\frac{\sqrt{2c}}{2}

y^2=c-x^2=c-(\frac{\sqrt{2c}}{2})^2=\frac{4c-2c}{4}=\frac{2c}{4}\Leftrightarrow \left |y \right |=\frac{\sqrt{2c}}{2}, (y>0)\\ y=\frac{\sqrt{2c}}{2}
Άρα f(x)_{max} όταν x=y=\frac{\sqrt{2c}}{2}


Απάντηση

Επιστροφή σε “Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης