Ίσα εμβαδά!

Σ' αυτόν τόν φάκελο καταχωρούνται, γιά περιορισμένο χρονικό διάστημα, ασκήσεις πού προτείνονται από οποιοδήποτε μέλος, αλλά η επίλυσή τους αφήνεται ΜΟΝΟ στούς μαθητές.

Συντονιστής: polysot

Άβαταρ μέλους
Στέλιος Μαρίνης
Δημοσιεύσεις: 528
Εγγραφή: Πέμ Ιούλ 16, 2009 9:45 pm
Τοποθεσία: Νέα Σμύρνη, Αθήνα
Επικοινωνία:

Ίσα εμβαδά!

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Στέλιος Μαρίνης » Κυρ Νοέμ 23, 2014 6:30 pm

Τα περιγράμματα των τετραγώνων στα δύο σχήματα κατασκευάστηκαν με τη βοήθεια σανίδων δύο μεγεθών όπως βλέπετε ψηλά αριστερά.
Να αποδείξετε ότι οι πράσινες επιφάνειες στα δύο σχήματα έχουν το ίδιο εμβαδόν.
tetragona.gif
tetragona.gif (10.81 KiB) Προβλήθηκε 617 φορές
(Το εμβαδόν των περιγραμμάτων-σανίδων να θεωρηθεί αμελητέο)

Μέχρι τέλους του 2014


Κάποτε οι καμπύλες των γραφικών παραστάσεων ζωντανεύουν, είναι διαφορίσιμες γιατί είναι λείες κι όμορφες, έχουν ακρότατες τιμές γιατί αρνούνται τη μονοτονία, δεν έχουν όριο πραγματικό, αλλά μπορείς και τις φαντάζεσαι στο άπειρο και η ασύμπτωτη ευθεία είναι το καράβι που σε ταξιδεύει πλάι τους.
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2462
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Ίσα εμβαδά!

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Σάβ Μάιος 25, 2019 10:47 am

Επαναφορά.


KDORTSI
Διακεκριμένο Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1834
Εγγραφή: Τετ Μαρ 11, 2009 9:26 pm

Re: Ίσα εμβαδά!

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KDORTSI » Σάβ Μάιος 25, 2019 11:42 pm

Στέλιος Μαρίνης έγραψε:
Κυρ Νοέμ 23, 2014 6:30 pm
Τα περιγράμματα των τετραγώνων στα δύο σχήματα κατασκευάστηκαν με τη βοήθεια σανίδων δύο μεγεθών όπως βλέπετε ψηλά αριστερά.
Να αποδείξετε ότι οι πράσινες επιφάνειες στα δύο σχήματα έχουν το ίδιο εμβαδόν.

(Το εμβαδόν των περιγραμμάτων-σανίδων να θεωρηθεί αμελητέο)

Μέχρι τέλους του 2014
Καλησπέρα....

Αν θεωρηθούν οι σανίδες ως ευθύγραμμα τμήματα - αφού η εκφώνηση σημειώνει ότι

το εμβαδόν αυτών είναι αμελητέο - το θέμα απαντάται θεωρώντας το ακόλουθο σχήμα:
Ίσα εμβαδά 2.png
Ίσα εμβαδά 2.png (25.1 KiB) Προβλήθηκε 190 φορές
Για το πρώτο πράσινο χωρίο είναι:

\displaystyle{E_1=(l+2m)^2-3m^2=l^2+m^2+4lm \  \ (1)}

Για το δεύτερο πράσινο χωρίο επίσης είναι:

\displaystyle{E_2=(2l+m)^2-3l^2=l^2+m^2+4lm \  \  (2)}

Από τις (1) και (2) προκύπτει:

\displaystyle{E_1=E_2}.

Παρατήρηση:
Αν όμως οι σανίδες έχουν και στοιχειώδες πάχος, έστω για παράδειγμα \displaystyle{d}, τότε τα πράγματα αλλάζουν και
τα δύο χωρία δεν είναι πλέον ισοδύναμα αλλά διαφέρουν κατά την ποσότητα \displaystyle{(l-m)d } τετρ. μονάδες.

(Για τούτο θα γίνει κουβέντα σε επόμενο μήνυμα...)

Κώστας Δόρτσιος
τελευταία επεξεργασία από KDORTSI σε Δευ Ιουν 03, 2019 11:45 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


KDORTSI
Διακεκριμένο Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1834
Εγγραφή: Τετ Μαρ 11, 2009 9:26 pm

Re: Ίσα εμβαδά!

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KDORTSI » Δευ Ιουν 03, 2019 11:44 am

Στέλιος Μαρίνης έγραψε:
Κυρ Νοέμ 23, 2014 6:30 pm
Τα περιγράμματα των τετραγώνων στα δύο σχήματα κατασκευάστηκαν με τη βοήθεια σανίδων δύο μεγεθών όπως βλέπετε ψηλά αριστερά.
Να αποδείξετε ότι οι πράσινες επιφάνειες στα δύο σχήματα έχουν το ίδιο εμβαδόν.
(Το εμβαδόν των περιγραμμάτων-σανίδων να θεωρηθεί αμελητέο)

Μέχρι τέλους του 2014
KDORTSI έγραψε:
Σάβ Μάιος 25, 2019 11:42 pm

Καλησπέρα....

Αν θεωρηθούν οι σανίδες ως ευθύγραμμα τμήματα - αφού η εκφώνηση σημειώνει ότι

το εμβαδόν αυτών είναι αμελητέο - το θέμα απαντάται θεωρώντας το ακόλουθο σχήμα:
...............................................................................................
Παρατήρηση:
Αν όμως οι σανίδες έχουν και στοιχειώδες πάχος, έστω για παράδειγμα \displaystyle{d}, τότε τα πράγματα αλλάζουν και
τα δύο χωρία δεν είναι πλέον ισοδύναμα αλλά διαφέρουν κατά την ποσότητα \displaystyle{(m-d)d } τετρ. μονάδες.

(Για τούτο θα γίνει κουβέντα σε επόμενο μήνυμα...)

Κώστας Δόρτσιος
Καλημέρα...

Ας μελετήσουμε το πρόβλημα στην περίπτωση που οι σανίδες έχουν ένα στοιχειώδες πάχος ίσο με \displaystyle{d}.
Στην περίπτωση αυτή εργαζόμαστε στο ακόλουθο σχήμα:
Ίσα εμβαδά 4.png
Ίσα εμβαδά 4.png (47.01 KiB) Προβλήθηκε 124 φορές
Από το σχήμα αυτό θα προκύπτει εύκολα ότι το εμβαδόν του τετραγώνου που περιβάλλει
το πρώτο σχήμα θα είναι:

\displaystyle{E_o=(l+2m)^2=l^2+4m^2+4lm \  \ (1)}

Από το εμβαδόν αυτό πρέπει να αφαιρεθούν:
1ο) Το εβμαδόν των σανίδων που βρίσκονται στο περίγραμμά του που είναι:

\displaystyle{E_{ext}=2(l+2m)d+2(l+2m-2d)d=4l+8m-4d^2 \  \ (2)}

2o) Το εμβαδόν ενός ορθογωνίου με διαστάσεις \displaystyle{m, m-d} και δύο τετραγώνων
με διαστάσεις \displaystyle{m-d, m-d}, το οποίο είναι:

\displaystyle{E_{3carrés}=m(m-d)+2(m-d)^2=3m^2-5md+2d^2 \  \ (3) }

Άρα το εμβαδόν του πράσινου χωρίου του πρώτου σχήματος θα είναι:

\displaystyle{E_1=E_o-E_{ext}-E_{3carrés}=l^2+m^2+4lm-4ld-3md+2d^2 \  \ (4)}

Εργαζόμενοι παρόμοια στο δεύτερο σχήμα και παρατηρώντας τη συνδεσμολογία των σανίδων
προκύπτει ότι:

\displaystyle{E_2=(2l+m)^2-[2(2l+m)d+2(2l+m-2d)d]-[(l-d)(2l-d)+l(l-d)] \  \ (5) }

Εκτελώντας τις πράξεις στην (5) προκύπτει:

\displaystyle{E_2=l^2+m^2+4lm-3ld-4md+2d^2 \  \ (6)}

Από τις (4) και (6) προκύπτει ότι:

\displaystyle{E_2-E_1=(l-m)d \  \ (7) }

Δηλαδή τα πράσινα χωρία δεν είναι ισοδύναμα, αλλά διαφέρουν κατά το εμβαδόν
της διαφοράς του μήκους των δύο σανίδων.

Κώστας Δόρτσιος


Απάντηση

Επιστροφή σε “Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης