mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Νοέμ 15, 2013 11:37 am**

ΑΣΚΗΣΗ 1: (Β Γυμνασίου) Να απλοποιηθεί η παράσταση:

$\displaystyle{A=-\{-[-2(a+b-c)-(c-b)]+[-3(a-c)+(-b+c)]-3c\}}$

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Νοέμ 15, 2013 5:27 pm**

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 1: (Β Γυμνασίου) Να απλοποιηθεί η παράσταση:

$\displaystyle{A=-\{-[-2(a+b-c)-(c-b)]+[-3(a-c)+(-b+c)]-3c\}}$

Ωραία κίνηση κ. Δημήτρη...(αν κατάλαβα καλά θα γίνει συλλογή)

$\displaystyle{A = -\{-[-2(a+b-c)-(c-b)]+[-3(a-c)+(-b+c)]-3c\} = -[-(2a - 2b + 2c - c + b) + (-3a + 3c - b + c) - 3c] = }$

= -(2a + 2b - 2c + c - b - 3a + 3c - b + c - 3c) = -(-a) = a

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Νοέμ 15, 2013 7:19 pm**

Nαί Ραφάήλ, θα συνεχίσουμε με μια σειρά ασκήσεων μόνο για μαθητές Γυμνασίου, οι οποίες δεν θα έχουν την δυσκολία των διαγωνιστικών μαθηματικών, με στόχο να ασχοληθούν περισσότεροι μαθητές λύνοντας ασκήσεις και να γίνουν ενεργά μέλη του mathematica ώστε να περνούν δημιουργικά τον ελεύθερο χρόνο τους.

ΑΣΚΗΣΗ 2:(Γ Γυμνασίου) Να αποδειχθεί ότι:

$\displaystyle{(a^n +2)^2 -(a^n -3)^2 -10(a^n -1)=5}$

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Νοέμ 15, 2013 9:24 pm**

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:Nαί Ραφάήλ, θα συνεχίσουμε με μια σειρά ασκήσεων μόνο για μαθητές Γυμνασίου, οι οποίες δεν θα έχουν την δυσκολία των διαγωνιστικών μαθηματικών, με στόχο να ασχοληθούν περισσότεροι μαθητές λύνοντας ασκήσεις και να γίνουν ενεργά μέλη του mathematica ώστε να περνούν δημιουργικά τον ελεύθερο χρόνο τους.

ΑΣΚΗΣΗ 2:(Γ Γυμνασίου) Να αποδειχθεί ότι:

$\displaystyle{(a^n +2)^2 -(a^n -3)^2 -10(a^n -1)=5}$

Είναι:

$\displaystyle{(a^n +2)^2 -(a^n -3)^2 -10(a^n -1) = a^{2n} + 4a^n + 4 - a^{2n} + 6a^n - 9 - 10a^n + 10 = 10 - 9 + 4 = 5}$

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Νοέμ 15, 2013 9:27 pm**

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:Nαί Ραφάήλ, θα συνεχίσουμε με μια σειρά ασκήσεων μόνο για μαθητές Γυμνασίου, οι οποίες δεν θα έχουν την δυσκολία των διαγωνιστικών μαθηματικών, με στόχο να ασχοληθούν περισσότεροι μαθητές λύνοντας ασκήσεις και να γίνουν ενεργά μέλη του mathematica ώστε να περνούν δημιουργικά τον ελεύθερο χρόνο τους.

ΑΣΚΗΣΗ 2:(Γ Γυμνασίου) Να αποδειχθεί ότι:

$\displaystyle{(a^n +2)^2 -(a^n -3)^2 -10(a^n -1)=5}$

Θέτουμε

οπότε έχουμε:
(x+2)^2 - (x-3)^2 - 10(x-1)= x^2 + 4x + 4 - (x^2 - 6x + 9) -10x + 10 = x^2 + 4x + 4 - x^2 + 6x - 9 -10x + 10 = 5

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Νοέμ 15, 2013 9:30 pm**

ΑΣΚΗΣΗ 3: (Β Γυμνασίου) Να γραφεί ως μια δύναμη η παράσταση:

$\displaystyle{A=(-0,25)^{15}.[(-2)^3]^{13}}$

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Νοέμ 15, 2013 9:43 pm**

ΑΣΚΗΣΗ 4 . Βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου

.

: Συντεταγμένες.png (7.07 KiB) Προβλήθηκε 4003 φορές

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Νοέμ 15, 2013 10:05 pm**

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 3: (Β Γυμνασίου) Να γραφεί ως μια δύναμη η παράσταση:

$\displaystyle{A=(-0,25)^{15}.[(-2)^3]^{13}}$

$A= (- \frac{1}{4})^{15} . (-2)^{39} = -(\frac{1}{2^2})^{15} . (-(2^{39})) = (2^{-2})^{15} . 2^{39} = 2^{-30} . 2^{39} = 2^{9}$

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Νοέμ 16, 2013 7:22 am**

KARKAR έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 4 . Βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου .
Το συνημμένο Συντεταγμένες.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο

: Συντεταγμένες.png (20.11 KiB) Προβλήθηκε 3927 φορές

Στην αρχή βρήκα κάτι πιο σύνθετο αλλά μετά απλούστευσε το θέμα...

Είναι $\widehat{ASB} = 90^{o}$ ως εγγεγραμμένη που βαίνει σε ημικύκλιο. Άρα $\widehat{SBA} = 60^{o}$

Είναι OB = OS

ως ακτίνες του ίδιου κύκλου και άρα το $\triangle{ΟSB}$ είναι ισόπλευρο.

Άρα, όταν φέρουμε την απόσταση

θα είναι και διάμεσος και άρα OK = 1

. Επομένως, K(1, 0)

Τώρα έχουμε δύο τρόπους για να βρούμε την

. Το γεωμετρικό ή τον τριγωνομετρικό...

Ας προτιμήσουμε τον γεωμετρικό...

Με Π.Θ στο $\triangle{OKS}$ θα έχουμε:

$(SK)^2 + (OK)^2 = (SO)^2 \Leftrightarrow (SK)^2 = 3 \Leftrightarrow SK = \sqrt{3}$

Άρα, $M(0, \sqrt{3})$

Επομένως, $S(1, \sqrt{3})$ και το ζητούμενο βρέθηκε.

Υ.Γ Άμα θέλετε μπορώ να βάλω και τον άλλο τρόπο για να έχουμε ποικιλία(δε χρησιμοποιώ την έκφραση "για λόγους μαθηματικού πλουραλισμού" γιατί θα φανεί κλεμμένο

)

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Νοέμ 16, 2013 7:30 am**

ΑΣΚΗΣΗ 5:(Γ Γυμνασίου). Αν $\displaystyle{a+b=1}$ , να αποδείξετε ότι:

$\displaystyle{a^3 (b+1)-b^3 (a+1)=a-b}$

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Νοέμ 16, 2013 7:36 am**

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 5:(Γ Γυμνασίου). Αν $\displaystyle{a+b=1}$ , να αποδείξετε ότι:

$\displaystyle{a^3 (b+1)-b^3 (a+1)=a-b}$

Είναι:

$\displaystyle{a^3(b+1)-b^3 (a+1) = a^3b + a^3 - ab^3 - b^3 = a^3 - b^3 + a^3b - ab^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) + ab(a^2 - b^2) =}$

$\displaystyle{= (a - b)(a^2 + ab + b^2) + ab(a - b)(a + b) = (a - b)(a^2 + ab + b^2) + ab(a - b) = (a - b)(a^2 + 2ab + b^2) = (a - b)[(a + b)^2] = a - b}$

Έτσι, το ζητούμενο εδείχθη.

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Νοέμ 16, 2013 10:46 pm**

ΑΣΚΗΣΗ 6

: Άσκηση 6.png (4.91 KiB) Προβλήθηκε 3892 φορές

Τα ημικύκλια του σχήματος είναι ομόκεντρα και από το μέσο

του μικρού φέραμε MN//AB

.

Αν είναι MN:AB=3:2

, βρείτε το λόγο $R:\rho$ των ακτίνων των δύο ημικυκλίων .

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Νοέμ 17, 2013 9:09 am**

ΑΣΚΗΣΗ 7: (Γ Γυμνασίου). Αν $\displaystyle{a-b=2}$ , να αποδείξετε ότι:

$\displaystyle{a(a+3)+b(b-3)=10+2ab}$

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Νοέμ 17, 2013 10:43 am**

ΑΣΚΗΣΗ 8

: Τριπλάσιο εμβαδόν.png (6.04 KiB) Προβλήθηκε 3842 φορές

Τα έγχρωμα τετράπλευρα του σχήματος είναι τετράγωνα . Αξιοποιώντας και τη δοθείσα γωνία ,

δείξτε ότι το εμβαδόν του μεγάλου τετραγώνου , είναι τριπλάσιο από εκείνο του μικρού .

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Νοέμ 17, 2013 11:46 am**

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 7: (Γ Γυμνασίου). Αν $\displaystyle{a-b=2}$ , να αποδείξετε ότι:

$\displaystyle{a(a+3)+b(b-3)=10+2ab}$

Από το 1ο μέλος παίρνουμε:

$\displaystyle{a(a + 3) + b(b - 3) = a^2 + 3a + b^2 - 3b = a^2 + b^2 + 3a - 3b = (a - b)^2 + 2ab + 3(a - b) = 2^2 + 3 \cdot 2 + 2ab = 4 + 6 + 2ab = 10 + 2ab}$

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Νοέμ 17, 2013 11:51 am**

ΑΣΚΗΣΗ 9

: Εύρεση γωνίας.png (5.79 KiB) Προβλήθηκε 3826 φορές

Το τρίγωνο $\displaystyle ABC$ είναι ισοσκελές (AB=AC)

και τα

κόκκινα τμήματα είναι ίσα . Υπολογίστε το μέτρο της $\hat{A}$ .

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Νοέμ 17, 2013 12:19 pm**

KARKAR έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 8
Το συνημμένο Τριπλάσιο εμβαδόν.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Τα έγχρωμα τετράπλευρα του σχήματος είναι τετράγωνα . Αξιοποιώντας και τη δοθείσα γωνία ,

δείξτε ότι το εμβαδόν του μεγάλου τετραγώνου , είναι τριπλάσιο από εκείνο του μικρού .

: Τετράγωνα.png (14.53 KiB) Προβλήθηκε 3824 φορές

Φέρνω την $\displaystyle{DB}$ . Έστω $\displaystyle{a}$ η πλευρά του μικρού και $\displaystyle{b}$ η πλευρά του μεγάλου τετραγώνου.

Στα τετράγωνα οι διαγώνιοι διχοτομούν τις γωνίες τους και άρα $\displaystyle{\widehat{ZDB} = 90^{o}$ .

Με Π.Θ στα τρίγωνα $\displaystyle{ADB}$ και $\displaystyle{BZE}$ παίρνουμε αντίστοιχα:

$\boxed{a^2 = \dfrac{DB^2}{2}}:(1)$

$\boxed{b^2 = \dfrac{ZB^2}{2}}:(2)$

Και τώρα λίγο τριγωνομετρία...

Είναι:

$\displaystyle{tan30^{o} = \frac{DB}{ZB} \Leftrightarrow \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{DB}{ZB} \Leftrightarrow ZB = \frac{3DB}{\sqrt{3}}}$

Έτσι, η (2)

γίνεται:

$b^2 = \dfrac{ZB^2}{2} \Leftrightarrow b^2 = \dfrac{\dfrac{(3DB)^2}{(\sqrt{3})^2}}{2} = \dfrac{3DB^2}{2} = 3 \cdot \dfrac{DB^2}{2} \mathop = \limits^{(1)} 3a^2$

Άρα, το ζητούμενο απεδείχθη.

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Νοέμ 17, 2013 2:13 pm**

ΑΣΚΗΣΗ 10 (B' Γυμνασίου)
Δίνεται η εξίσωση $\displaystyle\left( {\frac{{\mu - 2}}{2} - \frac{{4 - \mu }}{6} + 3} \right)x = {\mu ^4} + {\mu ^3} - {\mu ^2} + \mu - 2$ με άγνωστο

.

Να βρεθεί η τιμή του $\mu$ ώστε η εξίσωση να είναι ταυτότητα.

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Νοέμ 17, 2013 3:30 pm**

hlkampel έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 10 (B' Γυμνασίου)
Δίνεται η εξίσωση $\displaystyle\left( {\frac{{\mu - 2}}{2} - \frac{{4 - \mu }}{6} + 3} \right)x = {\mu ^4} + {\mu ^3} - {\mu ^2} + \mu - 2$ με άγνωστο .

Να βρεθεί η τιμή του $\mu$ ώστε η εξίσωση να είναι ταυτότητα.

Θα πρέπει να ισχύει $\displaystyle{0x = 0}$ . Άρα:

$\displaystyle{\frac{m - 2}{2} - \frac{4 - m}{6} + 3 = 0 \Leftrightarrow 3(m - 2) - (4 - m) + 18 = 0 \Leftrightarrow 3m - 6 - 4 + m + 18 = 0 \Leftrightarrow 4m = -8 \Leftrightarrow m = -2}$

Αντικαθιστώντας και στο β' μέλος θα πάρουμε

. Άρα, η μόνη λύση είναι m = -2

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Νοέμ 17, 2013 9:08 pm**

KARKAR έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 9
Εύρεση γωνίας.png
Το τρίγωνο $\displaystyle ABC$ είναι ισοσκελές και τα

κόκκινα τμήματα είναι ίσα . Υπολογίστε το μέτρο της $\hat{A}$ .

Άν $\displaystyle{\hat{B}=\hat{C}=x}$ . Τότε $\displaystyle{\hat{A}=\widehat{ATS}=180-2x}$ και $\displaystyle{\widehat{TSB}=360-4x}$ ως εξωτερίκη.
Άρα $\displaystyle{x=360-4x+180-2x}$
$\displaystyle{x=540-6x}$
$\displaystyle{7x=540}$
$\displaystyle{x=\frac{540}{7}}$
Άρα $\displaystyle{\hat{A}=180-2.\frac{540}{7}=180-\frac{1080}{7}=\frac{1260-1080}{7}=\frac{180}{7}}$

mathematica.gr

Bήμα στους μαθητές Γυμνασίου

Bήμα στους μαθητές Γυμνασίου

Re: Bήμα στους μαθητές Γυμνασίου

Re: Bήμα στους μαθητές Γυμνασίου

Re: Bήμα στους μαθητές Γυμνασίου

Re: Bήμα στους μαθητές Γυμνασίου

Re: Bήμα στους μαθητές Γυμνασίου

Re: Bήμα στους μαθητές Γυμνασίου

Re: Bήμα στους μαθητές Γυμνασίου

Re: Bήμα στους μαθητές Γυμνασίου

Re: Bήμα στους μαθητές Γυμνασίου

Re: Bήμα στους μαθητές Γυμνασίου

Re: Bήμα στους μαθητές Γυμνασίου

Re: Bήμα στους μαθητές Γυμνασίου

Re: Bήμα στους μαθητές Γυμνασίου

Re: Bήμα στους μαθητές Γυμνασίου

Re: Bήμα στους μαθητές Γυμνασίου

Re: Bήμα στους μαθητές Γυμνασίου

Re: Bήμα στους μαθητές Γυμνασίου

Re: Bήμα στους μαθητές Γυμνασίου

Re: Bήμα στους μαθητές Γυμνασίου