Χορδή υπό ορθή γωνία (Β ΚΑΤ)

Γιώργος Απόκης · #1

Δίνεται ο κύκλος με εξίσωση $\displaystyle{x^2+y^2+ax-ay-2=0}$ με $\displaystyle{a \in \mathbb R}$ . Να βρεθεί η τιμή του $\displaystyle{a}$ για την οποία

η ευθεία $\displaystyle{y=x+1}$ ορίζει στον κύκλο χορδή η οποία φαίνεται από την αρχή των αξόνων υπό ορθή γωνία.

(Μέχρι 25/2/13)

KARKAR · #2

: Αποκείωση.png (6.61 KiB) Προβλήθηκε 965 φορές

Η ευθεία τέμνει τους άξονες στα σημεία A(-1,0)

και

. Ο κύκλος έχει εξίσωση :

$\displaystyle \left(x+\frac{a}{2} \right)^2+\left(y-\frac{a}{2} \right)^2=\frac{2a^2+8}{4}$ , ( σκοπίμως δεν απλοποιώ ).

Επειδή το κέντρο $\displaystyle K\left(-\frac{a}{2}, \frac{a}{2} \right)$ του κύκλου , βρίσκεται επί της ευθείας y=-x

( μεσοκαθέτου

του

) , αν ο κύκλος διέρχεται από το

, θα διέρχεται και από το

. Αλλά τότε :

$\displaystyle \left(0+\frac{a}{2} \right)^2+\left(1-\frac{a}{2} \right)^2=\frac{2a^2+8}{4}\Leftrightarrow a^2+a^2-4a+4=2a^2+8...\Leftrightarrow a=-1$

Φυσικά η γωνία $\widehat{AOB}$ είναι ορθή !

Γιώργος Απόκης · #3

Μετά την ωραιότατη λύση του Θανάση, μία περισσότερο αλγεβρική:

Για τα κοινά σημεία $\displaystyle{A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)}$ θα λύσουμε το σύστημα των εξισώσεων. Με αντικατάσταση έχουμε :

$\displaystyle{x^2+(x+1)^2+ax-a(x+1)-2=0\Leftrightarrow 2x^2+2x+(-a-1)=0}$ . Aπό Vietta προκύπτουν:

$\displaystyle{x_1+x_2=-1,~x_1x_2=\frac{-a-1}{2}}$ . Τα σημεία ανήκουν στην ευθεία άρα:

$\displaystyle{y_1y_2=(x_1+1)(x_2+1)=x_1x_2+x_1+x_2+1=\frac{-a-1}{2}-1+1=\frac{-a-1}{2}}$ .

Aφού η $\displaystyle{\widehat{AOB}}$ είναι ορθή ισχύει : $\displaystyle{\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=0\Leftrightarrow x_1x_2+y_1y_2=0\Leftrightarrow \frac{-a-1}{2}+\frac{-a-1}{2}=0\Leftrightarrow a=-1 }$

george_drav · #4

Καλησπέρα.
Δεν κατάλαβα από που προκύπτει το y1 * y2

#5

george_drav έγραψε: ↑
Κυρ Φεβ 21, 2021 4:32 pm
Καλησπέρα.
Δεν κατάλαβα από που προκύπτει το y1 * y2

Τι ακριβώς δεν καταλαβαίνεις;

Χορδή υπό ορθή γωνία (Β ΚΑΤ)

Χορδή υπό ορθή γωνία (Β ΚΑΤ)

Re: Χορδή υπό ορθή γωνία (Β ΚΑΤ)

Re: Χορδή υπό ορθή γωνία (Β ΚΑΤ)

Re: Χορδή υπό ορθή γωνία (Β ΚΑΤ)

Re: Χορδή υπό ορθή γωνία (Β ΚΑΤ)

Μέλη σε σύνδεση