Ανισότητα 2 μεταβλητών με συνθήκη (Α',Β',Γ' Λυκείου)

Σ' αυτόν τόν φάκελο καταχωρούνται, γιά περιορισμένο χρονικό διάστημα, ασκήσεις πού προτείνονται από οποιοδήποτε μέλος, αλλά η επίλυσή τους αφήνεται ΜΟΝΟ στούς μαθητές.

Συντονιστής: polysot

Άβαταρ μέλους
parmenides51
Δημοσιεύσεις: 6240
Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
Τοποθεσία: Πεύκη
Επικοινωνία:

Ανισότητα 2 μεταβλητών με συνθήκη (Α',Β',Γ' Λυκείου)

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από parmenides51 » Δευ Απρ 16, 2012 12:34 pm

Μια ανισότητα που προσωπικά με παίδεψε αλλά πιστεύω πως η νεολαία εδώ έχει πολλά να πει.
Επιτρέπονται τα πάντα στην (σχολική) ύλη του Λυκείου, γι' αυτό και το σχόλιο στην τάξη.
Υπάρχει λυμένη στο :logo: , αλλά δεν θα δώσω την λύση.
Τι έχει το μενού λοιπόν;


Δίνονται οι πραγματικοί αριθμοί \displaystyle{x,y \geq 0} με \displaystyle{x+y \leq 1} .
Nα δείξετε ότι \displaystyle{x^2 + 8x^2 y ^2 + y ^2 \leq 1}.


dr.tasos
Δημοσιεύσεις: 433
Εγγραφή: Τρί Ιούλ 12, 2011 6:40 pm

Re: Ανισότητα 2 μεταβλητών με συνθήκη (Α',Β',Γ' Λυκείου)

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dr.tasos » Δευ Απρ 16, 2012 1:17 pm

Η αποδεικτεα γίνεται εύκολα
\displaystyle{ (x+y)^2 \leq 1-8x^2y^2+2xy Εδώ αρκεί 1 \leq -8x^2y^2+2xy+1 \Leftrightarrow 8x^2y^2 \leq 2xy } Αν οποιοςδηποτε απο τους δυο ειναι μηδεν ισχυει τετριμενα αρα για \displaystyle{ xy \ne  0 } αρκεί
\displaystyle{ xy \leq \frac{1}{4} }
Όμως έχω απο την \displaystyle{ (x+y)^2 \geq 4xy \Rightarrow 1 \geq (x+y)^2 \geq 4xy \Leftrightarrow xy \leq \frac{1}{4} }αρα απεδειχθη
τελευταία επεξεργασία από dr.tasos σε Τρί Απρ 17, 2012 5:35 pm, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.


"Και μόνο επειδή σ'άφησαν να στολίσεις το κελί σου,μην νομίσεις στιγμή ότι είσαι ελεύθερος."
Άβαταρ μέλους
Bill K
Δημοσιεύσεις: 39
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 12, 2012 12:44 am
Τοποθεσία: Νίκαια
Επικοινωνία:

Re: Ανισότητα 2 μεταβλητών με συνθήκη (Α',Β',Γ' Λυκείου)

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Bill K » Τρί Απρ 17, 2012 12:59 am

Προφανώς x\leq1,y\leq1
Ορίζω f(x)=(1+8y^2)x^2+y^2-1, x\in[0,1] η οποία είναι γνησίως αύξουσα διότι f'(x)=2x(1+8y^2)\geq0 με την ισότητα για x=0 (ή με ορισμό)

Τότε για \dislaystyle x\leq1-y \Rightarrow f(x)\leq f(1-y) με την ισότητα να ισχύει για x=1-y
οπότε f(x)\leq y(y-1)(8y^2-8y+2)\Rightarrow f(x)\leq 8y(y-1)(y-\frac{1}{2})^2\leq0
με την ισότητα να ισχύει για y=0 ή y=1 ή y=\frac{1}{2}

Άρα x^2+8x^2y^2+y^2\leq1 με την ισότητα για (x,y)=(1,0) , (x,y)=(0,1) , \displaystyle(x,y)=(\frac{1}{2},\frac{1}{2})

Επεξεργασία:Διατύπωσα καλύτερα τα ζεύγη τιμών για τα οποία ισχύει η ισότητα.


Άβαταρ μέλους
parmenides51
Δημοσιεύσεις: 6240
Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
Τοποθεσία: Πεύκη
Επικοινωνία:

Re: Ανισότητα 2 μεταβλητών με συνθήκη (Α',Β',Γ' Λυκείου)

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από parmenides51 » Τρί Απρ 17, 2012 5:14 pm

Bill K ωραία λύση :clap2:


Άβαταρ μέλους
Bill K
Δημοσιεύσεις: 39
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 12, 2012 12:44 am
Τοποθεσία: Νίκαια
Επικοινωνία:

Re: Ανισότητα 2 μεταβλητών με συνθήκη (Α',Β',Γ' Λυκείου)

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Bill K » Τρί Απρ 17, 2012 5:56 pm

Σας ξαναευχαριστώ πολύ!

Λίγο διαφορετικά από την πρώτη λύση αρκεί να αποδείξουμε ότι x^2+8x^2y^2+y^2\leq x+y \Rightarrow (x+y)^2-(x+y)-2xy+8x^2y^2 \leq0
άρα (x+y)(x+y-1)+2xy(4xy-1)\leq0 το οποίο ισχύει αφού x+y\leq1 και (x+y)^2\geq4xy \Rightarrow 4xy\leq1


Άβαταρ μέλους
Bill K
Δημοσιεύσεις: 39
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 12, 2012 12:44 am
Τοποθεσία: Νίκαια
Επικοινωνία:

Re: Ανισότητα 2 μεταβλητών με συνθήκη (Α',Β',Γ' Λυκείου)

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Bill K » Τετ Απρ 18, 2012 4:44 pm

Θέτω x=\eta\mu^2 a και y=\sigma\upsilon\nu^2 a με 0\leq x,y \leq1 και x+y=1

Τότε η ζητούμενη ανισότητα γίνεται \eta\mu^4 a+ 8\eta\mu^4 a \sigma\upsilon\nu^4 a+ \sigma\upsilon\nu^4 a \leq 1 η οποία ισοδύναμα γίνεται

(\eta\mu^2 a+\sigma\upsilon\nu^2 a)^2- 2\eta\mu^2 a \sigma\upsilon\nu^2 a+ 8\eta\mu^4 a \sigma\upsilon\nu^4 a \leq 1

\displaystyle2\eta\mu^2 a \sigma\upsilon\nu^2 a  (4\eta\mu^2 a \sigma\upsilon\nu^2 a-1)\leq0 \Leftrightarrow 2\eta\mu^2 a \sigma\upsilon\nu^2 a(\eta\mu^2 2a-1)\leq0

το οποίο ισχύει αφού |\eta\mu  2a| \leq1

Επεξεργασία:Ουσιαστικά αποδεικνύω μια περίπτωση οπότε είναι ελλιπής η λύση.Την αφήνω για την τριγωνομετρική λύση.
τελευταία επεξεργασία από Bill K σε Παρ Μάιος 04, 2012 3:37 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
parmenides51
Δημοσιεύσεις: 6240
Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
Τοποθεσία: Πεύκη
Επικοινωνία:

Re: Ανισότητα 2 μεταβλητών με συνθήκη (Α',Β',Γ' Λυκείου)

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από parmenides51 » Τετ Απρ 18, 2012 6:49 pm

Βill Κ, σχετικά με την τριγωνομετρική σου απόπειρα, κάτι δεν μ' αρέσει.

Νομίζω πως όταν αποδεικνύεις το
Δίνονται οι πραγματικοί αριθμοί \displaystyle{x,y \geq 0} με \displaystyle{x+y = 1} .
Nα δείξετε ότι \displaystyle{x^2 + 8x^2 y ^2 + y ^2 \leq 1}
δεν αποδεικνύεις το
Δίνονται οι πραγματικοί αριθμοί \displaystyle{x,y \geq 0} με \displaystyle{x+y \leq 1} .
Nα δείξετε ότι \displaystyle{x^2 + 8x^2 y ^2 + y ^2 \leq 1}
γιατί από τις άπειρες τιμές των μεταβλητών επιλέγεις ένα συγκεκριμένο ζεύγος.

Σε μάτιασα :P


Άβαταρ μέλους
parmenides51
Δημοσιεύσεις: 6240
Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
Τοποθεσία: Πεύκη
Επικοινωνία:

Re: Ανισότητα 2 μεταβλητών με συνθήκη (Α',Β',Γ' Λυκείου)

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από parmenides51 » Σάβ Απρ 28, 2012 12:23 pm

Αφού δόθηκε μια λύση πιο προσιτή σε μένα τουλάχιστον, ας προσθέσω πως την ξαναείδαμε εδώ,
δεν τα πάω και τόσο καλά με τις ανισότητες δυο μεταβλητών για να καταλάβω πως τις χειρίζεστε μικροί και μεγάλοι,
γι' αυτό και το έθεσα εξαρχής ως νέο θέμα, θα χαιρόμουν ιδιαίτερα να έβλεπα και καμία άλλη ιδέα


Νικος Αντωνόπουλος
Δημοσιεύσεις: 74
Εγγραφή: Παρ Οκτ 08, 2010 8:38 pm
Τοποθεσία: Ιλιον

Re: Ανισότητα 2 μεταβλητών με συνθήκη (Α',Β',Γ' Λυκείου)

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Νικος Αντωνόπουλος » Σάβ Απρ 28, 2012 5:29 pm

Από τη βασική σχέση xy\le \frac{1}{4} που ισχύει στην περίπτωσή μας, έχουμε
{{x}^{2}}+8{{x}^{2}}{{y}^{2}}+{{y}^{2}}={{x}^{2}}+(8xy)xy+{{y}^{2}}\le {{x}^{2}}+8xy\cdot \frac{1}{4}+{{y}^{2}}={{(x+y)}^{2}}\le 1


nikan-dos
Άβαταρ μέλους
Bill K
Δημοσιεύσεις: 39
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 12, 2012 12:44 am
Τοποθεσία: Νίκαια
Επικοινωνία:

Re: Ανισότητα 2 μεταβλητών με συνθήκη (Α',Β',Γ' Λυκείου)

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Bill K » Παρ Φεβ 22, 2013 11:54 pm

Σήμερα στο διάλειμμα από τη στατιστική μου ήρθε αυτή η ιδέα (χρησίμευσε τελικά κάπου!)

Η ανισότητα γράφεται ισοδύναμα (1+8y^2)x^2+y^2-1 \leq 0

Το τριώνυμο έχει διακρίνουσα D=-4(y-1)(y+1)(1+8y^2)=4(1-y)(1+y)(1+8y^2) \geq 0 με την ισότητα για y=1

οπότε x=-\frac{\sqrt{D}}{2(1+8y^2)}=-\sqrt{\frac{1-y^2}{1+8y^2}} ή

x=\frac{\sqrt{D}}{2(1+8y^2)}=\sqrt{\frac{1-y^2}{1+8y^2}}

άρα αρκεί να βρίσκεται το x στο διάστημα (-\sqrt{\frac{1-y^2}{1+8y^2}},\sqrt{\frac{1-y^2}{1+8y^2}}).

x\geq 0> -\sqrt{\frac{1-y^2}{1+8y^2}}

και

x \leq 1-y οπότε αρκεί να αποδείξουμε ότι 1-y \leq \sqrt{\frac{1-y^2}{1+8y^2}} το οποίο μετά από κάποιες πράξεις και παραγοντοποιήσεις καταλήγει
στο -2y(1-y)(2y-1)^2\leq 0 που ισχύει.

Για y=1 \Rightarrow x=0 οπότε ισχύει ως ισότητα.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 9 επισκέπτες