Λογάριθμοι

Σ' αυτόν τόν φάκελο καταχωρούνται, γιά περιορισμένο χρονικό διάστημα, ασκήσεις πού προτείνονται από οποιοδήποτε μέλος, αλλά η επίλυσή τους αφήνεται ΜΟΝΟ στούς μαθητές.

Συντονιστής: polysot

Άβαταρ μέλους
diomides
Δημοσιεύσεις: 96
Εγγραφή: Τετ Ιουν 30, 2010 10:10 am

Λογάριθμοι

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από diomides » Σάβ Μάιος 21, 2011 11:56 am

Άσκηση: Να αποδείξετε ότι (\log5)^{3}+(\log20)^{3}+\log8\cdot\log0,25=2 :ugeek:


stavros11
Δημοσιεύσεις: 128
Εγγραφή: Τετ Ιούλ 07, 2010 11:30 am
Τοποθεσία: Ρόδος

Re: Λογάριθμοι

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από stavros11 » Σάβ Μάιος 21, 2011 8:44 pm

\displaystyle{\log^35+\log^320+\log8(\log5^2-\log100)=(\log5+\log20)(\log^25-\log5\log20+\log^220)+3\log2(2\log5-2)=}

\displaystyle{=2\log^25-2\log5(\log2+1)+2(\log2+1)^2+6\log2\log5-6\log2=}

\displaystyle{=2\log^25-2\log5\log2-2\log5+2\log^22+4\log2+2+6\log2\log5-6\log2=}

\displaystyle{=2\log^25+4\log5\log2+2\log^22-2\log5-2\log2+2=2(\log5+\log2)^2-2(\log5+\log2)+2=2-2+2=2}


Για να είναι λίγο πιο αναλυτική λύση γράφω αυτά που χρησιμοποίησα πιο πάνω:
\displaystyle{\log20=\log(2\cdot10)=\log2+\log10=\log2+1} και \displaystyle{\log5+\log2=\log(5\cdot2)=\log10=1 \;\; , \;\; \log5+\log20=\log(5\cdot20)=\log100=2}


Άβαταρ μέλους
diomides
Δημοσιεύσεις: 96
Εγγραφή: Τετ Ιουν 30, 2010 10:10 am

Re: Λογάριθμοι

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από diomides » Σάβ Μάιος 21, 2011 8:49 pm

stavros11 έγραψε:\displaystyle{\log^35+\log^320+\log8(\log5^2-\log100)=(\log5+\log20)(\log^25-\log5\log20+\log^220)+3\log2(2\log5-2)=}

\displaystyle{=2\log^25-2\log5(\log2+1)+2(\log2+1)^2+6\log2\log5-6\log2=}

\displaystyle{=2\log^25-2\log5\log2-2\log5+2\log^22+4\log2+2+6\log2\log5-6\log2=}

\displaystyle{=2\log^25+4\log5\log2+2\log^22-2\log5-2\log2+2=2(\log5+\log2)^2-2(\log5+\log2)+2=2-2+2=2}


Για να είναι λίγο πιο αναλυτική λύση γράφω αυτά που χρησιμοποίησα πιο πάνω:
\displaystyle{\log20=\log(2\cdot10)=\log2+\log10=\log2+1} και \displaystyle{\log5+\log2=\log(5\cdot2)=\log10=1 \;\; , \;\; \log5+\log20=\log(5\cdot20)=\log100=2}
Ευχαριστω πολυ για την με την ενασχοληση σταυρο! Εισαι :first:


socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6224
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Re: Λογάριθμοι

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Παρ Ιαν 14, 2022 6:57 pm

Δοκιμάστε και με την ταυτότητα Euler... ;)


Θανάσης Κοντογεώργης
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13919
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Λογάριθμοι

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Παρ Ιαν 14, 2022 8:20 pm

diomides έγραψε:
Σάβ Μάιος 21, 2011 11:56 am
Άσκηση: Να αποδείξετε ότι (\log5)^{3}+(\log20)^{3}+\log8\cdot\log0,25=2 :ugeek:
Αν για τυπογραφική ευκολία γράψουμε \log 2 =X τότε \log 5 = \log 10 -\log 2 = 1-X, \log 20 = \log 10 +\log 2 = 1+X και \log 8 = \log2^3=3X. \log 0,25 = \log \dfrac {1}{4} =-2X. Οπότε η παράσταση ισούται

\displaystyle{(1-X)^3+(1+X)^3 -3X\cdot 2X= (1-3X+3X^2+X^3) + (1+3X+3X^2+X^3)-6X^2=2}


Απάντηση

Επιστροφή σε “Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης