Από Louis Brand

Σ' αυτόν τόν φάκελο καταχωρούνται, γιά περιορισμένο χρονικό διάστημα, ασκήσεις πού προτείνονται από οποιοδήποτε μέλος, αλλά η επίλυσή τους αφήνεται ΜΟΝΟ στούς μαθητές.

Συντονιστής: polysot

Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7796
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Από Louis Brand

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Πέμ Δεκ 17, 2020 1:25 am

Ι)
Μια διπλά παραγωγίσιμη συνάρτηση f είναι τέτοια ώστε : f(a) = f(b) = 0.

Επί πλέον f(c) > 0 όπου a < c < b.

Δείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον μια τιμή \xi μεταξύ των a\,\,\kappa \alpha \iota \,\,b για την οποία

f''\left( \xi  \right) < 0.

ΙΙ)

Οι συναρτήσεις f\,\,\kappa \alpha \iota \,\,g είναι συνεχείς στο κλειστό διάστημα \left[ {a,b} \right] και παραγωγίσιμες στο ανοικτό διάστημα \left( {a,b} \right).

Δείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα , \xi  \in \left( {a,b} \right) τέτοιο ώστε:

\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 
  {f(a)}&{f(b)} \\  
  {g(a)}&{g(b)}  
\end{array}} \right| = \left( {b - a} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 
  {f(a)}&{f'(\xi )} \\  
  {g(a)}&{g'(\xi )}  
\end{array}} \right|

Μαθηματικά κατεύθυνσης μέχρι τα Χριστούγεννα.



Λέξεις Κλειδιά:
Μπάμπης Στεργίου
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5496
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 2:16 pm
Τοποθεσία: Χαλκίδα - Καρδίτσα

Re: Από Louis Brand

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μπάμπης Στεργίου » Πέμ Δεκ 17, 2020 1:39 am

Doloros έγραψε:
Πέμ Δεκ 17, 2020 1:25 am
Ι)
Μια διπλά παραγωγίσιμη συνάρτηση f είναι τέτοια ώστε : f(a) = f(b) = 0.

Επί πλέον f(c) > 0 όπου a < c < b.

Δείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον μια τιμή \xi μεταξύ των a\,\,\kappa \alpha \iota \,\,b για την οποία

f''\left( \xi  \right) < 0.

Ι..........................
Νίκο, τι σου θυμίζει αυτή η άσκηση ;
Μεγάλη περιπέτεια για την ΕΜΕ και την ΚΕΓΕ !
Καλά Χριστούγεννα !

ΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧ


ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ
Δημοσιεύσεις: 1007
Εγγραφή: Δευ Δεκ 28, 2009 11:41 pm
Τοποθεσία: Kάπου στο πιο μεγάλο νησί του Ιονίου

Re: Από Louis Brand

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ » Πέμ Δεκ 17, 2020 8:14 am

Aν θυμάμαι καλά, αποτελούσε τμήμα θέματος από τα θέματα των Μαθηματικών Κατεύθυνσης του 2003 ...
Δεν θα ξεχάσω τι έγινε με το τελευταίο ζητούμενο του θέματος αυτού...
Το ζητούμενο εδώ είναι διαφορετικό.
Αρκετά γράφηκαν για την ιστορία, ας αφήσουμε τα παιδιά να προσπαθήσουν...


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7796
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Από Louis Brand

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Πέμ Δεκ 17, 2020 10:30 am

Καλημέρα στους αγαπητούς : Μπάμπη και ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗ . Καλά Χριστούγεννα να έχουμε.

Μια και μου ξυπνήσατε πιο πολύ το παρελθόν, από το ίδιο βιβλίο ( σελίδα 175 άσκηση 11 της μεταφρασμένης έκδοσης της Ε.Μ.Ε ) ήταν θέμα στις

εξετάσεις του 1983, έκανα επιτήρηση στην Σητεία ! . Το Βιβλίο που έχω είναι έκδοση 1984, αλλά υπήρχε από το "μακρινό" 1955, ίσως και πιο παλιά.


ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ
Δημοσιεύσεις: 1007
Εγγραφή: Δευ Δεκ 28, 2009 11:41 pm
Τοποθεσία: Kάπου στο πιο μεγάλο νησί του Ιονίου

Re: Από Louis Brand

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ » Τρί Φεβ 23, 2021 9:49 pm

Ας γραφεί μια λύση, να μην μένει αναπάντητη...

i) Ασφαλώς ισχύουν οι δύο συνθήκες για την εφαρμογή του Θεωρήματος Μέσης Τιμής του Διαφορικού Λογισμού για την f στο \left [ a,c \right ]
Έτσι λοιπόν υπάρχει ένα τουλάχιστον x_{1}\epsilon \left ( a,c \right ) τέτοιο ώστε

\displaystyle f'\left ( x_{1} \right )=\frac{f(c)-f\left ( a \right )}{c-a}=\frac{f\left ( c \right )-0}{c-a}=\frac{f\left ( c \right )}{c-a}>0


Ασφαλώς ισχύουν οι δύο συνθήκες για την εφαρμογή του Θεωρήματος Μέσης Τιμής του Διαφορικού Λογισμού για την f στο \left [ c,b\right ]
Έτσι λοιπόν υπάρχει ένα τουλάχιστον x_{2}\epsilon \left ( c,b \right ) τέτοιο ώστε

\displaystyle f'\left ( x_{2} \right )=\frac{f(b)-f\left ( c \right )}{b-c}=\frac{0-f\left ( c \right )}{b-c}=-\frac{f\left ( c \right )}{b-c}<0


Ασφαλώς ισχύουν οι δύο συνθήκες για την εφαρμογή του Θεωρήματος Μέσης Τιμής του Διαφορικού Λογισμού για την f' στο \left [x_{1} , x_{2}\right ]
Έτσι λοιπόν υπάρχει ένα τουλάχιστον \xi\epsilon \left (x_{1} ,x_{2} \right ) τέτοιο ώστε

\displaystyle f''\left (\xi  \right )=\frac{f'(x_{2})-f'\left ( x_{1} \right )}{x_{2}-x_{1}} που είναι σίγουρα μια αρνητική ποσότητα αφού ο αριθμητής είναι αρνητικός και ο παρoνομαστής θετικός.

ii) Το σκέλος αυτό ουδεμία σχέση έχει με το i)...


Έστω συνάρτηση h με h(x)=f(a)g(x)-g(a)f(x) με x\epsilon \left [a,b]
Για την h ισχύουν οι δύο συνθήκες για την εφαρμογή του Θεωρήματος Μέσης Τιμής του Διαφορικού Λογισμού στο  \left [a,b]
Έτσι λοιπόν υπάρχει ένα τουλάχιστον \xi\epsilon \left (a ,b \right ) τέτοιο ώστε

\displaystyle h'(\xi )=\frac{h\left ( b \right )-h\left ( a \right )}{b-a}\Leftrightarrow

\left [ f\left ( a \right )g'\left ( \xi  \right )-g\left ( a \right )f'\left ( \xi  \right ) \right ]\left ( b-a \right )=f\left ( a \right )g\left ( b \right )-g\left ( a \right )f\left ( b \right )-f\left ( a \right )g\left ( a \right )+g\left ( a \right )f\left ( a \right )

κάτι που ισοδυναμεί με την ισότητα που ζητείται.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης