Ευρεση τύπου ρίζας

Σ' αυτόν τόν φάκελο καταχωρούνται, γιά περιορισμένο χρονικό διάστημα, ασκήσεις πού προτείνονται από οποιοδήποτε μέλος, αλλά η επίλυσή τους αφήνεται ΜΟΝΟ στούς μαθητές.

Συντονιστής: polysot

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3028
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Ευρεση τύπου ρίζας

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Σάβ Μάιος 16, 2020 7:12 pm

Θεωρούμε την εξίσωση
x^3+ax^2+bx+c=0
όπου a,b,c πραγματικοί

Αν ο πραγματικός r είναι τέτοιος ώστε
το (x-r)^2 διαιρεί το πολυώνυμο x^3+ax^2+bx+c
τότε

1)Να δειχθεί ότι ο r είναι ριζα της 3x^2+2ax+b=0

2)Να βρείτε τον r σαν παράσταση των a,b,c

Σχολική ύλη Β Λυκείου.

Μέχρι 18-5-2020 14.00



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Christos.N
Δημοσιεύσεις: 1836
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 26, 2009 2:28 pm
Τοποθεσία: Ίλιον

Re: Ευρεση τύπου ρίζας

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Christos.N » Δευ Μάιος 18, 2020 2:07 pm

Από την ευκλείδεια διαίρεση πολυωνύμων προκύπτει

x^3+ax^2+bx+c=(x-r)^2\left(x+(a+2r)\right)+\upsilon(x),~~\upsilon(x)=(3r^2+2ar+b)x+c-r^2(a^2+2r)

Το υπόλοιπο όμως πρέπει να είναι το μηδενικό πολυώνυμο άρα:

\begin{cases}  3r^2+2ar+b&=0 \\ 2r^3+ar^2-c&=0\end{cases}

Απο την πρώτη συνάγεται το συμπέρασμα ότι r είναι ρίζα της εξίσωσης 3x^2+2ax+b=0.

Βάζοντας στο κάδρο των εξισώσεων και το ότι r είναι ρίζα του αρχικού πολυωνύμου τότε

\begin{cases}  3r^2+2ar+b&=0 \\ 2r^3+ar^2-c&=0 \\ r^3+ar^2+br+c&=0 \end{cases}, κάνοντας απαλοιφή του όρου r^3 από την δεύτερη και τρίτη εξίσωση έχουμε

\begin{cases}  3r^2+2ar+b&=0 \\ ar^2+2br+3c&=0 \end{cases}, συνδυάζοντας τες -προσπαθώντας να κάνουμε απαλοιφή του όρου r^2 -προκύπτει η εξίσωση

(6b-2a^2)r=ab-9c, διακρίνουμε στην συνέχεια δύο περιπτώσεις

Αν 6b-2a^2\neq 0 τότε r=\dfrac{ab-9c}{6b-2a^2}

Αν 6b-2a^2=0\Leftrightarrow a^2=3b τότε η εξίσωση 3x^2+2ax+b=0 έχει διακρίνουσα \Delta=4a^2-12b=0 δηλαδή μοναδική ρίζα την r=-\dfrac{a}{3}


Χρήστος Ντάβας
Wir müssen wissen — wir werden wissen! D.Hilbert
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3028
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Ευρεση τύπου ρίζας

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τρί Μάιος 19, 2020 9:46 pm

Christos.N έγραψε:
Δευ Μάιος 18, 2020 2:07 pm
Από την ευκλείδεια διαίρεση πολυωνύμων προκύπτει

x^3+ax^2+bx+c=(x-r)^2\left(x+(a+2r)\right)+\upsilon(x),~~\upsilon(x)=(3r^2+2ar+b)x+c-r^2(a^2+2r)

Το υπόλοιπο όμως πρέπει να είναι το μηδενικό πολυώνυμο άρα:

\begin{cases}  3r^2+2ar+b&=0 \\ 2r^3+ar^2-c&=0\end{cases}

Απο την πρώτη συνάγεται το συμπέρασμα ότι r είναι ρίζα της εξίσωσης 3x^2+2ax+b=0.

Βάζοντας στο κάδρο των εξισώσεων και το ότι r είναι ρίζα του αρχικού πολυωνύμου τότε

\begin{cases}  3r^2+2ar+b&=0 \\ 2r^3+ar^2-c&=0 \\ r^3+ar^2+br+c&=0 \end{cases}, κάνοντας απαλοιφή του όρου r^3 από την δεύτερη και τρίτη εξίσωση έχουμε

\begin{cases}  3r^2+2ar+b&=0 \\ ar^2+2br+3c&=0 \end{cases}, συνδυάζοντας τες -προσπαθώντας να κάνουμε απαλοιφή του όρου r^2 -προκύπτει η εξίσωση

(6b-2a^2)r=ab-9c, διακρίνουμε στην συνέχεια δύο περιπτώσεις

Αν 6b-2a^2\neq 0 τότε r=\dfrac{ab-9c}{6b-2a^2}

Αν 6b-2a^2=0\Leftrightarrow a^2=3b τότε η εξίσωση 3x^2+2ax+b=0 έχει διακρίνουσα \Delta=4a^2-12b=0 δηλαδή μοναδική ρίζα την r=-\dfrac{a}{3}
Σωστά.

Τον τύπο για την ρίζα μπορούμε να τον βρούμε ως εξής.
Κάνοντας την διαίρεση του x^3+ax^2+bx+c με το 3x^2+2ax+b προκύπτει υπόλοιπο
το πολύ πρώτου βαθμού .
Αυτό είναι το
\frac{2}{9}(3b-a^2)x+c-\frac{ba}{9}
Αν 3b\neq a^2
βρίσκουμε το r αφού είναι ρίζα του.
Διαφορετικά αντικαθιστούμε και παίρνουμε ότι και ο Χρήστος.


Επίσης αν  a^2=3b προκύπτει ότι x^3+ax^2+bx+c=(x+\dfrac{a}{3})^3


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9230
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ευρεση τύπου ρίζας

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τετ Μάιος 20, 2020 10:38 am

Αλλιώς το 1ο ερώτημα:

\displaystyle {x^3} + a{x^2} + bx + c = {(x - r)^2}(x + k) = {x^3} + (k - 2r){x^2} + ({r^2} - 2rk)x + {r^2}k

Άρα, \displaystyle \left\{ \begin{array}{l} 
a = k - 2r\\ 
b = {r^2} - 2rk 
\end{array} \right. \Rightarrow 3{r^2} + 2ar + b = 3{r^2} + (2kr - 4{r^2}) + ({r^2} - 2rk) = 0


miltosk
Δημοσιεύσεις: 68
Εγγραφή: Τετ Μάιος 29, 2019 7:28 pm

Re: Ευρεση τύπου ρίζας

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από miltosk » Τετ Μάιος 20, 2020 11:36 am

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Σάβ Μάιος 16, 2020 7:12 pm
Θεωρούμε την εξίσωση
x^3+ax^2+bx+c=0
όπου a,b,c πραγματικοί

Αν ο πραγματικός r είναι τέτοιος ώστε
το (x-r)^2 διαιρεί το πολυώνυμο x^3+ax^2+bx+c
τότε

1)Να δειχθεί ότι ο r είναι ριζα της 3x^2+2ax+b=0

Μέχρι 18-5-2020 14.00
Μια με ύλη Γ Λυκείου για το πρώτο ερώτημα.Αφού το (x-r)^2 διαιρεί το x^3+ax^2+bx+c, το r είναι διπλή του ρίζα. Άρα είναι και ρίζα της παραγώγου 3x^2+2ax+b.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης