Όριο σύνθεσης αλλά αλλιώς...

Συντονιστής: s.kap

Απάντηση
Ιάσων Κωνσταντόπουλος
Δημοσιεύσεις: 251
Εγγραφή: Κυρ Ιαν 28, 2024 10:16 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Όριο σύνθεσης αλλά αλλιώς...

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ιάσων Κωνσταντόπουλος »

Δίνονται συναρτήσεις f,g\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R} για τις οποίες γνωρίζουμε ότι

\lim\limits_{x\to x_o}g(x)=u_o\in\mathbb{R} (*)
\lim\limits_{x\to x_o}f(g(x))=\ell\in\mathbb{R} (**)

Να βρεθεί ποια είναι η αναγκαία συνθήκη που πρέπει να ικανοποιεί η g, έστω P=P(g,x_o,u_o),
ώστε για κάθε x_o, u_o, \ell\in\mathbb{R} και για κάθε συνάρτηση f να ισχύει:

P\wedge (*) \wedge (**) \Rightarrow \lim\limits_{u\to u_o}f(u)=\ell

ΣΗΜΕΙΩΣΗ
Τα παραπάνω όρια ορίζονται με τα συνηθισμένα \varepsilon,\delta.

Το Αξίωμα της Επιλογής ΔΕΝ πρέπει σε καμία περίπτωση (ή εκδοχή του) να χρησιμοποιηθεί, είτε έμμεσα είτε άμεσα.

ΣΗΜΕΙΩΣΗ
Με την παρούσα ανάρτηση ουσιαστικά αναζητάμε την ασθενέστερη συνθήκη (επιπλέον με τις (*),(**)) που πρέπει να ικανοποιεί η συνάρτηση g ώστε το βήμα #3 του συλλογισμού στο
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 52&t=76265
να καθίσταται ορθό.

ΣΗΜΕΙΩΣΗ
Σε ακριβέστερη γλώσσα,
θέλουμε να προσδιορίσουμε την ιδιότητα P ώστε να ισχύει

\forall x_o, u_o ,\ell\in\mathbb{R}\ ( (*) \Rightarrow (P\Leftrightarrow (\forall f \colon\mathbb{R}\to\mathbb{R} ( (**)\Rightarrow \lim\limits_{u\to u_o}f(u)=\ell ))))

ΣΗΜΕΙΩΣΗ
Το παρόν είναι μια πιο ενδιαφέρουσα εκδοχή του ακόλουθου:
viewtopic.php?f=9&t=77531
Φιλόλογος τυπικών γλωσσών
Ετικέτες:
αξίωμα-επιλογής
όριο-σύνθεσης
Κορυφή
Απάντηση

Επιστροφή στο “Μαθηματική απόδειξη & Λογική”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης