Ισοδυναμία Αρχής Ελαχίστου και Επαγωγής
Συντονιστής: s.kap
- Kostas Tzimoulias
- Δημοσιεύσεις: 308
- Εγγραφή: Τετ Μαρ 26, 2014 9:50 pm
Ισοδυναμία Αρχής Ελαχίστου και Επαγωγής
Καλησπέρα βρήκα μια πρόταση που έχω κάποιους ενδοιασμούς για την πορεία της απόδειξης. ( συγγνώμη αν βρίσκομαι εκτός φακέλου)
Η αρχή του ελαχίστου και η αρχή της επαγωγής είναι ισοδύναμες προτάσεις. Να αποδειχθεί η ισοδυναμία τους.
σκέψη: Ουσιαστικά πρέπει να αποδείξω ότι αν για ένα τυχαίο μη κενό σύνολο φυσικών αριθμών ισχύει ή α.ελ. τότε ισχύει και η α.επ. και το αντίστροφο ;
Είναι απο τις σημειώσεις απειροστικού 1 του ΕΚΠΑ απο τον κύριο Γιαννόπουλο. Αλήθεια γιατί ή αναφορά γίνεται στο και όχι στο
Η αρχή του ελαχίστου και η αρχή της επαγωγής είναι ισοδύναμες προτάσεις. Να αποδειχθεί η ισοδυναμία τους.
σκέψη: Ουσιαστικά πρέπει να αποδείξω ότι αν για ένα τυχαίο μη κενό σύνολο φυσικών αριθμών ισχύει ή α.ελ. τότε ισχύει και η α.επ. και το αντίστροφο ;
Είναι απο τις σημειώσεις απειροστικού 1 του ΕΚΠΑ απο τον κύριο Γιαννόπουλο. Αλήθεια γιατί ή αναφορά γίνεται στο και όχι στο
“Somewhere, something incredible is waiting to be known...”
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Ισοδυναμία Αρχής Ελαχίστου και Επαγωγής
Η μία κατεύθυνση είναι στις σημειώσεις που αναφέρεις.
Η άλλη είναι το Θ 0.15 στην σελίδα 6 του συνημμένου.
Στους ακεραίους δεν ισχύει η αρχή του ελαχίστου ούτε η επαγωγή.
Η άλλη είναι το Θ 0.15 στην σελίδα 6 του συνημμένου.
Στους ακεραίους δεν ισχύει η αρχή του ελαχίστου ούτε η επαγωγή.
- Συνημμένα
-
- realan_compl_natural_numbers.pdf
- (160.41 KiB) Μεταφορτώθηκε 349 φορές
- Kostas Tzimoulias
- Δημοσιεύσεις: 308
- Εγγραφή: Τετ Μαρ 26, 2014 9:50 pm
Re: Ισοδυναμία Αρχής Ελαχίστου και Επαγωγής
Ευχαριστώ για την απάντηση θα μελετήσω την εργασία όταν βρω χρόνο. Η επαγωγή δεν ισχύει στους ακέραιους? ( για την αρχή του ελαχίστου το γνώριζα) δεν έχει νόημα δηλαδή να μιλάμε για αρνητικούς ακεραίους στην μέθοδο της επαγωγής?
“Somewhere, something incredible is waiting to be known...”
Re: Ισοδυναμία Αρχής Ελαχίστου και Επαγωγής
Όταν μιλάμε για την αρχή της επαγωγής σε ένα σύνολο εφοδιασμένο με τη διμελή σχέση , εννοούμε την ιδιότητα:
Αν για κάποιο ισχύει ότι τότε .
Με λόγια: Αν ένα υποσύνολο του έχει την ιδιότητα, "για οποιοδήποτε , αν περιέχει όλα τα στοιχεία με , τότε περιέχει και το ", τότε είναι το .
Αυτή η ιδιότητα ισχύει στο αλλά, όπως μπορείς να διαπιστώσεις, το κενό σύνολο είναι αντιπαράδειγμα στην περίπτωση του .
Γενικά, η αρχή της επαγωγής ισχύει αν και μόνο αν η διμελής σχέση είναι "καλώς θεμελιωμένη" (χωρίς απαραίτητα να είναι διάταξη) στο σύνολο.
Αν για κάποιο ισχύει ότι τότε .
Με λόγια: Αν ένα υποσύνολο του έχει την ιδιότητα, "για οποιοδήποτε , αν περιέχει όλα τα στοιχεία με , τότε περιέχει και το ", τότε είναι το .
Αυτή η ιδιότητα ισχύει στο αλλά, όπως μπορείς να διαπιστώσεις, το κενό σύνολο είναι αντιπαράδειγμα στην περίπτωση του .
Γενικά, η αρχή της επαγωγής ισχύει αν και μόνο αν η διμελής σχέση είναι "καλώς θεμελιωμένη" (χωρίς απαραίτητα να είναι διάταξη) στο σύνολο.
Δημήτρης Σκουτέρης
Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
- Kostas Tzimoulias
- Δημοσιεύσεις: 308
- Εγγραφή: Τετ Μαρ 26, 2014 9:50 pm
Re: Ισοδυναμία Αρχής Ελαχίστου και Επαγωγής
Νομίζω κατάλαβα κύριε Σκουτέρη. ( οι παρενθέσεις χρησιμοποιούνται αντί της άνω-κάτω τελείας στη μαθηματική λογική; )
“Somewhere, something incredible is waiting to be known...”
Re: Ισοδυναμία Αρχής Ελαχίστου και Επαγωγής
Όχι, χρησιμοποιούνται ως παρενθέσεις (άλλο το που είναι αληθές και άλλο το που είναι ψευδές).
Δημήτρης Σκουτέρης
Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
- Kostas Tzimoulias
- Δημοσιεύσεις: 308
- Εγγραφή: Τετ Μαρ 26, 2014 9:50 pm
Re: Ισοδυναμία Αρχής Ελαχίστου και Επαγωγής
το εχάσα τώρα τι διαφορά έχουν? στο πρώτο απ'ότι κατάλαβα αναφέρει πως για κάθε το ισούται με . Αυτό συνεπάγεται ότι , γενικά κάθε αριθμός ισούται με 1. σωστά;dement έγραψε:Όχι, χρησιμοποιούνται ως παρενθέσεις (άλλο το που είναι αληθές και άλλο το που είναι ψευδές).
“Somewhere, something incredible is waiting to be known...”
Re: Ισοδυναμία Αρχής Ελαχίστου και Επαγωγής
Όχι ακριβώς. Θυμήσου ότι μια συνεπαγωγή είναι αληθής αν και μόνο αν έχει ψευδή υπόθεση ή αληθές συμπέρασμα (ή και τα δύο).
Το πρώτο λέει ότι "Αν κάθε αριθμός ισούται με , τότε " που ισχύει (ψευδής υπόθεση).
Το δεύτερο λέει ότι "Για κάθε αριθμό , αν ισούται με , ισχύει " που δεν ισχύει στην περίπτωση (αληθής υπόθεση, ψευδές συμπέρασμα) οπότε δεν ισχύει καθολικά.
Εν πάση περιπτώσει, για να μη φεύγουμε από το θέμα: Οι παρενθέσεις χρησιμεύουν στο ίδιο ακριβώς που χρησιμεύουν και στην άλγεβρα - καθορίζουν την "προτεραιότητα" των λογικών πράξεων.
Το πρώτο λέει ότι "Αν κάθε αριθμός ισούται με , τότε " που ισχύει (ψευδής υπόθεση).
Το δεύτερο λέει ότι "Για κάθε αριθμό , αν ισούται με , ισχύει " που δεν ισχύει στην περίπτωση (αληθής υπόθεση, ψευδές συμπέρασμα) οπότε δεν ισχύει καθολικά.
Εν πάση περιπτώσει, για να μη φεύγουμε από το θέμα: Οι παρενθέσεις χρησιμεύουν στο ίδιο ακριβώς που χρησιμεύουν και στην άλγεβρα - καθορίζουν την "προτεραιότητα" των λογικών πράξεων.
Δημήτρης Σκουτέρης
Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
- Kostas Tzimoulias
- Δημοσιεύσεις: 308
- Εγγραφή: Τετ Μαρ 26, 2014 9:50 pm
Re: Ισοδυναμία Αρχής Ελαχίστου και Επαγωγής
ευχαριστώ το κατάλαβα
“Somewhere, something incredible is waiting to be known...”
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 8 επισκέπτες