Λήμματα vs Προτάσεις

biomass · #1

Με βάση ποιο κριτήριο διακρίνονται οι μαθηματικές ''εκφράσεις'' σε λήμματα και προτάσεις?
Και τα δύο δεν είναι βοηθητικά στην απόδειξη ενός θεωρήματος;

#2

Κατ΄αρχάς και τα δύο είναι προτάσεις. Συνήθως ως λήμματα αναφέρονται διακριτές προτάσεις που βοηθούν την απόδειξη σε ένα θεώρημα όπου θεώρήματα είναι οι ας το πούμε σημαντικές προτάσεις και πορίσματα είναι οι προτάσεις που η απόδειξη τους είναι άμεση.
Μαυρογιάννης

biomass · #3

nsmavrogiannis έγραψε:Κατ΄αρχάς και τα δύο είναι προτάσεις. Συνήθως ως λήμματα αναφέρονται διακριτές προτάσεις που βοηθούν την απόδειξη σε ένα θεώρημα όπου θεώρήματα είναι οι ας το πούμε σημαντικές προτάσεις και πορίσματα είναι οι προτάσεις που η απόδειξη τους είναι άμεση.
Μαυρογιάννης

Σας ευχαριστώ κ.Μαυρόγιαννη!!
Τι εννοείτε με το ''διακριτές προτάσεις'';

Σίλης · #4

«Διακριτές», υποθέτω με την έννοια οτι στέκονται απο μόνες τους, ανεξάρτητα απ' το θεώρημα στο οποίο σε φέρνουν πιό κοντά.

Αυτές, σκέψου, είναι έννοιες μή αυστηρές, που διευκολύνουνε «απλώς» τη μαθηματική αφήγηση. Άν θέλει κανείς να τα δεί αυστηρά, το κριτήριο θα είναι το αποδειγμένο, ή, πιό χαλαρά, το αποδεικτέο: όλα είναι μαθηματικοί ισχυρισμοί· άν έχουνε αποδειχτεί, μιλάμε συνήθως για «λήμματα», «πορίσματα», «προτάσεις», «θεωρήματα»· άν θέλουμε να τα αποδείξουμε (ή διαψεύσουμε!), αλλα δέν ξέρουμε ακόμα άν μπορούμε, μιλάμε για «εικασίες», «προβλήματα», «ερωτήματα»· και άν θέλουμε απλά να τα χρησιμοποιήσουμε για να δείξουμε κάτι άλλο, χωρίς να μας ενδιαφέρει άν έχουμε ή όχι απόδειξη γι' αυτά, μιλάμε για «υποθέσεις», «αξιώματα», «αιτήματα» (ενδεχομένως να χρησιμοποιούνται και άλλα παρατσούκλια, ανάλογα τα συμφραζόμενα).

biomass · #5

Σίλης έγραψε:«Διακριτές», υποθέτω με την έννοια οτι στέκονται απο μόνες τους, ανεξάρτητα απ' το θεώρημα στο οποίο σε φέρνουν πιό κοντά.

Αυτές, σκέψου, είναι έννοιες μή αυστηρές, που διευκολύνουνε «απλώς» τη μαθηματική αφήγηση. Άν θέλει κανείς να τα δεί αυστηρά, το κριτήριο θα είναι το αποδειγμένο, ή, πιό χαλαρά, το αποδεικτέο: όλα είναι μαθηματικοί ισχυρισμοί· άν έχουνε αποδειχτεί, μιλάμε συνήθως για «λήμματα», «πορίσματα», «προτάσεις», «θεωρήματα»· άν θέλουμε να τα αποδείξουμε (ή διαψεύσουμε!), αλλα δέν ξέρουμε ακόμα άν μπορούμε, μιλάμε για «εικασίες», «προβλήματα», «ερωτήματα»· και άν θέλουμε απλά να τα χρησιμοποιήσουμε για να δείξουμε κάτι άλλο, χωρίς να μας ενδιαφέρει άν έχουμε ή όχι απόδειξη γι' αυτά, μιλάμε για «υποθέσεις», «αξιώματα», «αιτήματα» (ενδεχομένως να χρησιμοποιούνται και άλλα παρατσούκλια, ανάλογα τα συμφραζόμενα).

Σας ευχαριστώ!!
Κατάλαβα.Ένα ακόμη που θέλω αν ρωτήσω είναι, σε ορισμένες προτάσεις, που αναφέρονται στην βιβλιογραφία, ως πιο ισχυρές, πχ μια ανισότητα σε πιο ισχυρή μορφη, αυτό έχει να κάνει με την χρησιμότητα σε ένα μεγαλύτερο εύρος προβλημάτων, ή ως επικουρικές σε προβλήματα οδηγούν πιο γρήγορα στην ολοκλήρωση των αποδείξεων;

Σίλης · #6

Σας ευχαριστώ!!

Το ξέρω οτι δέν φαίνεται, αλλα ένας είμαι, δέν είμαστε πολλοί που γράφουμε -άλλωστε, απαγορεύεται απ' τους όρους χρήσης άν δεν κάνω λάθος.

Πολύ καλή ερώτηση αυτό με το «πιό ισχυρή μορφή», και με βάζεις να σκεφτώ. Η αλήθεια είναι το βρίσκω απ' τις ατυχέστερες λέξεις της πιάτσας, γιατι έχει φαινομενικά αντιφατικές χρήσεις, μέχρι και οι επαγγελματίες καλούνται να εξηγήσουνε τί εννοούν όταν λένε «πιό ισχυρός».

Βασικά, είν' αυτό που λές: μία φόρμουλα τη λέμε πιό ισχυρή απο μία άλλη, όταν πιάνει πιό πολλές περιπτώσεις, όταν είναι πιό γενική (και κανονικά, αλλα όχι πάντα!, ενσωματώνει τη δεύτερη ως ειδική περίπτωση). Κοίτα τώρα τι γίνεται: άν επικεντρώσουμε στις υποθέσεις της φόρμουλας (σχεδόν πάντα στα μαθηματικά έχεις φόρμουλες του τύπου «άν ..., τότε ισχύει οτι ...», ακόμα κι' άν τ' αποσιωπητικά στο «αν» αποσιωπούνται χάριν συντομίας), το να γίνονται αυτές πιό ισχυρές σημαίνει οτι ολόκληρη η φόρμουλα γίνεται ασθενέστερη (γιατι για να ισχύει οφείλει να ικανοποιεί περισσότερες προϋποθέσεις). Κάτι που συμβαινει συχνά λοιπόν, έχω την εντύπωση, είναι να χρησιμοποιείται συνεκδοχικά το «πιό ισχυρός» όχι απλά για τις υποθέσεις, αλλα κατεπέκταση για όλη τη φόρμουλα. Και τα πράματα βέβαια μπερδεύονται.

Θα μου πείς, γιατί να είναι τόσο διαδομένο αυτό το μπερδευτικό σχήμα λόγου στα μαθηματικά; Οι υποθέσεις ενός θεωρήματος είναι πολύ-πολύ καυτό θέμα, γι' αυτό. Αποδεικνύουμε ένα ωραίο θεώρημα πές, που αφορά ένα συγκεκριμένο μαθηματικό χώρο Α. Μετά, για άλλους μαθηματικούς ή εξωμαθηματικούς λόγους, αρχίζει να μας ενδιαφέρει ένας παρόμοιος αλλα πιό φαντεζί χώρος Β, με πιό πολλά καλούδια, περισσότερη (και ίσως και ελαφρώς διαφορετική!) δομή και σούξου-μούξου. Και θα θέλαμε να έχουμε «το ίδιο» θεώρημα γι' αυτόν το χώρο. Έ, αυτό θα έχει τη μορφή «άν μιλάμε για το χώρο Χ, τότε ...». Φανερό οτι το ίδιο θεώρημα με Β όπου Χ θα είναι ασθενέστερο απ' ότι με Α όπου Χ, παρόλ' αυτά, επειδή ο χώρος Β είναι πλουσιότερος, λέμε πολλές φορές το θεώρημα «ισχυρότερο». (Σε τέτοιες περιπτώσεις η συνεκδοχική χρήση στηρίζεται ίσως -ίσως!...- ενμέρει και απο ψυχολογικές τάσεις: λές «πιό ισχυρό» καί επειδή ήταν πιό δύσκολο να το δείξεις. Αλλα υποθέσεις κάνω εδωπέρα.)

Βιαστικά τα γράφω αυτά (γι' αυτό και λείπουν τα παραδείγματα). Έχω και γώ προσέξει την ασαφή χρήση του όρου στο παρελθόν, αλλα πρώτη φορά το βάζω κάτω, οπότε ίσως κάνω και λάθος. Άς με διορθώσει η παρέα.

#7

biomass έγραψε:.............Ένα ακόμη που θέλω αν ρωτήσω είναι, σε ορισμένες προτάσεις, που αναφέρονται στην βιβλιογραφία, ως πιο ισχυρές, πχ μια ανισότητα σε πιο ισχυρή μορφη, αυτό έχει να κάνει με την χρησιμότητα σε ένα μεγαλύτερο εύρος προβλημάτων, ή ως επικουρικές σε προβλήματα οδηγούν πιο γρήγορα στην ολοκλήρωση των αποδείξεων;

Μμμ, αυτό είναι τελείως άλλο πράγμα !

Για παράδειγμα αν ισχύει $A \geq B \geq C$ , τότε η ανισότητα $A \geq B$ είναι ισχυρότερη από την $A \geq C$ .

Για παράδειγμα, σε κάθε τρίγωνο ισχύει ότι a+b>c

αλλά στα οξυγώνια τρίγωνα(και όχι μόνο) ισχύει και η ανισότητα a+b>c+h_c

, όπου

είναι το αντίστοιχο ύψος.

Έτσι , στα τρίγωνα με τη γωνία

οξεία, η δεύτερη ανισότητα είναι ισχυρότερη από την τριγωνική.

Ελπίζω μέσα στην ταχύτητα του διαλείμματος να μην τα έγραψα ανάποδα !!!

Μπάμπης

Σίλης · #8

Νά! αυτό που γράφει ο Μπάμπης Στεργίου είναι τυπικό παράδειγμα «συνεκδοχικής» χρήσης. Ο ισχυρισμός είναι «άν μιλάμε για σχήματα ..., τότε ισχύει η ανισότητα ...». Στη μία περίπτωση τα σχήματα είναι όλα τα τρίγωνα, ενώ στη δεύτερη περίπτωση μόνο τα ορθογώνια (ισχυρότερη υπόθεση!). Η τριγωνική ανισότητα είναι «ισχυρότερη» απο την δεύτερη, με την έννοια οτι είναι γενικότερη, αλλα η δεύτερη είναι «ισχυρότερη» απο την πρώτη, επειδή αφορά ισχυρότερες προϋποθέσεις.

Μπορούμε να το πούμε και αλλιώς. Το «ισχυρότερος» στην πρώτη περίπτωση σημαίνει «μεγαλύτερο πλάτος εφαρμογής» ενώ στη δεύτερη περίπτωση «μεγαλύτερο βάθος εφαρμογής», τα οποία φυσικά βρίσκονται σε διελκυστίνδα μεταξύ τους (σε ποιό μάθημα τα κάναμε αυτά στο σχολείο ρε παδιά;... «βάθος και πλάτος εννοιών»;...) Ανάλογα με τα συμφραζόμενα, στις μαθηματικές κουβέντες χρησιμοποιείται η λέξη καί με τις δύο έννοιες, και πρέπει κανείς να έχει το νού του, και στην τελική απλά να κοιτάζει την ενλόγω φόρμουλα κάθε φορά για να είναι βέβαιος.

Σίλης · #9

Και εντέλει, μπορούμε να το πούμε και αλλιώς. Λέμε «ισχυρότερος» για μία κατα τ' άλλα στενότερη φόρμουλα (όπως επάνω ο Μπάμπης Στεργίου), επειδή βέβαια μας παρέχει επιπλέον εργαλεία να κάνουμε τη δουλειά μας (πράγμα που μπορεί να το κάνει, καθώς εκμεταλλεύεται τις επιλέον προϋποθέσεις, αλλιώς δέν έχει χαΐρι).

Αυτά ειχα να πώ, και συγνώμη για την πολυλογία. :-)

biomass · #10

Σίλης έγραψε:Και εντέλει, μπορούμε να το πούμε και αλλιώς. Λέμε «ισχυρότερος» για μία κατα τ' άλλα στενότερη φόρμουλα (όπως επάνω ο Μπάμπης Στεργίου), επειδή βέβαια μας παρέχει επιπλέον εργαλεία να κάνουμε τη δουλειά μας (πράγμα που μπορεί να το κάνει, καθώς εκμεταλλεύεται τις επιλέον προϋποθέσεις, αλλιώς δέν έχει χαΐρι).

Αυτά ειχα να πώ, και συγνώμη για την πολυλογία.

Ευχαριστώ για αυτά που είπατε!! Ήταν πολύ βοηθητικά, και περιεκτικά, καθώς επίσης παρατηρώ ότι τα λέτε με τρόπο πολύ φιλικό και κατανοητό!!

biomass · #11

Μπάμπης Στεργίου έγραψε:
biomass έγραψε:.............Ένα ακόμη που θέλω αν ρωτήσω είναι, σε ορισμένες προτάσεις, που αναφέρονται στην βιβλιογραφία, ως πιο ισχυρές, πχ μια ανισότητα σε πιο ισχυρή μορφη, αυτό έχει να κάνει με την χρησιμότητα σε ένα μεγαλύτερο εύρος προβλημάτων, ή ως επικουρικές σε προβλήματα οδηγούν πιο γρήγορα στην ολοκλήρωση των αποδείξεων;
Μμμ, αυτό είναι τελείως άλλο πράγμα !

Για παράδειγμα αν ισχύει $A \geq B \geq C$ , τότε η ανισότητα $A \geq B$ είναι ισχυρότερη από την $A \geq C$ .

Για παράδειγμα, σε κάθε τρίγωνο ισχύει ότι αλλά στα οξυγώνια τρίγωνα(και όχι μόνο) ισχύει και η ανισότητα , όπου

είναι το αντίστοιχο ύψος.

Έτσι , στα τρίγωνα με τη γωνία οξεία, η δεύτερη ανισότητα είναι ισχυρότερη από την τριγωνική.

Ελπίζω μέσα στην ταχύτητα του διαλείμματος να μην τα έγραψα ανάποδα !!!

Μπάμπης

Σας ευχαριστώ κ. Στεργίου!!

Θα παραθέσω κάποιο άλλο παράδειγμα , για να δείξω αυτήν την ''ισχύρή'' μορφή .

Σε κάποιες αποδείξεις άλλωστε , σε ασκήσεις, αναφέρεται το ,ότι '' Θα αποδείξω το γενικότερο και ισχυρότερο λήμμα... π.χ.''

Σίλης · #12

Νά 'σαι καλά biomass, αλλα, έστω απ' το λίγο που έχω περιδιαβάσει το φόρουμ του μαθεμάτικα, δέν θυμάμαι να έχω δεί κάποιον εδωμέσα να μή γράφει φιλικά.

Στο θέμα μας, τώρα που τα ξαναβλέπω μετά απο κάποιες ώρες, νομίζω θα συμφωνήσουν και οι συνάδελφοι οτι τα παραμπερδεύω επάνω -ίσως μάλιστα παραείναι φιλικοί για να μου το γράψουνε κιόλας. :-) Νομίζω τελοσπάντων οτι το τελευταίο μου πόστ είν' αυτό που εξηγεί καλύτερα γιατί συχνά λέμε «ισχυρότερος» για ισχυρισμούς που κατα τ' άλλα εφαρμόζονται σε λιγότερες περιπτώσεις, άρα «ισχύουνε λιγότερο»: επειδή μας παρέχουν επιπλέον εργαλεία, που οι γενικότεροι ισχυρισμοί, χάριν γενικότητας ακριβώς, δέν δεσμεύονται να μας δώσουν. Υπόψιν επίσης οτι παρότι το «ισχυρότερος» βγαίνει απ' το «ισχύω», η χρήση τους εδώ είναι διαφορετική (στα αγγλικά λένε ας πούμε "stronger", όχι "more valid" ξερωγώ).

Τέλος, είδα οτι έκανα κι' ένα λάθος επάνω: έγραψα απο παραδρομή «ορθογώνια» αντί για «οξυγώνια».

#13

Μια και η κουβέντα απλώθηκε με ωραίο τρόπο, να διευκρινήσω ότι αναφέρθηκα μόνο σε αυτό που λέμε '' Ισχυρότερη ανισότητα ''.

Τη στιγμή που έγραφα το μήνυμα δεν είχα πιο γενικό παράδειγμα, για αυτό έγραψα πρώτα το αρχικό γενικό σχήμα και μετά την εφαρμογή που τυχαία βρήκα εκείνη τη στιγμή.

Έχουμε κατά καιρούς βρει πολύ πιο εύστοχα παραδείγματα ανισοτήτων και ισχυρότερων ανισοτήτων. Ο Θάνος Μάγκος , ο Θανάσης(socrates) και ο Γιώργος Μπασδέκης

μπορούν να μας δώσουν πλήθος από τέτοια ωραία παραδείγματα. Ένα που βρήκα εδώ στο mathematica είναι και το επόμενο :

viewtopic.php?f=109&t=46712&p=220000&hi ... BD#p220000

, όπου γίνεται και εκεί λόγος για ...ισχυρότερη ανισότητα κλπ. Ας δούμε αυτό το παράδειγμα :

socrates έγραψε:Ισχύει και η ισχυρότερη:

$\displaystyle{ \frac {a^2}{b}+ \frac {b^2}{c}+\frac {c^2}{a} \geq \frac{3(a^2+b^2+c^2)}{a+b+c}\geq \sqrt {3(a^2+b^2+c^2)}}$

Έτσι, η ανισότητα :

$\displaystyle{ \frac {a^2}{b}+ \frac {b^2}{c}+\frac {c^2}{a} \geq \frac{3(a^2+b^2+c^2)}{a+b+c}$

είναι ισχυρότερη από την :

$\displaystyle{ \frac {a^2}{b}+ \frac {b^2}{c}+\frac {c^2}{a} \geq \sqrt {3(a^2+b^2+c^2)}}$

Προφανώς ο όρος ''ισχυρότερη υπόθεση '' ή '' ισχυρότερη πρόταση '' ή ''γενικότερη πρόταση '' μπορεί να έχει ίσως άλλη σημασία,διαφορετική από την παραπάνω,

αν βρεθούμε σε άλλο θέμα μαθηματικής συζήτησης.

Μπάμπης

biomass · #14

Μπάμπης Στεργίου έγραψε:Μια και η κουβέντα απλώθηκε με ωραίο τρόπο, να διευκρινήσω ότι αναφέρθηκα μόνο σε αυτό που λέμε '' Ισχυρότερη ανισότητα ''.

Τη στιγμή που έγραφα το μήνυμα δεν είχα πιο γενικό παράδειγμα, για αυτό έγραψα πρώτα το αρχικό γενικό σχήμα και μετά την εφαρμογή που τυχαία βρήκα εκείνη τη στιγμή.

Έχουμε κατά καιρούς βρει πολύ πιο εύστοχα παραδείγματα ανισοτήτων και ισχυρότερων ανισοτήτων. Ο Θάνος Μάγκος , ο Θανάσης(socrates) και ο Γιώργος Μπασδέκης

μπορούν να μας δώσουν πλήθος από τέτοια ωραία παραδείγματα. Ένα που βρήκα εδώ στο mathematica είναι και το επόμενο :

viewtopic.php?f=109&t=46712&p=220000&hi ... BD#p220000

, όπου γίνεται και εκεί λόγος για ...ισχυρότερη ανισότητα κλπ. Ας δούμε αυτό το παράδειγμα :

socrates έγραψε:Ισχύει και η ισχυρότερη:

$\displaystyle{ \frac {a^2}{b}+ \frac {b^2}{c}+\frac {c^2}{a} \geq \frac{3(a^2+b^2+c^2)}{a+b+c}\geq \sqrt {3(a^2+b^2+c^2)}}$
Έτσι, η ανισότητα :

$\displaystyle{ \frac {a^2}{b}+ \frac {b^2}{c}+\frac {c^2}{a} \geq \frac{3(a^2+b^2+c^2)}{a+b+c}$
είναι ισχυρότερη από την :

$\displaystyle{ \frac {a^2}{b}+ \frac {b^2}{c}+\frac {c^2}{a} \geq \sqrt {3(a^2+b^2+c^2)}}$

Προφανώς ο όρος ''ισχυρότερη υπόθεση '' ή '' ισχυρότερη πρόταση '' ή ''γενικότερη πρόταση '' μπορεί να έχει ίσως άλλη σημασία,διαφορετική από την παραπάνω,

αν βρεθούμε σε άλλο θέμα μαθηματικής συζήτησης.

Μπάμπης

Ωραίο και έυστοχο παράδειγμα κύριε Στεργίου!!

Λήμματα vs Προτάσεις

Λήμματα vs Προτάσεις

Re: Λήμματα vs Προτάσεις

Re: Λήμματα vs Προτάσεις

Re: Λήμματα vs Προτάσεις

Re: Λήμματα vs Προτάσεις

Re: Λήμματα vs Προτάσεις

Re: Λήμματα vs Προτάσεις

Re: Λήμματα vs Προτάσεις

Re: Λήμματα vs Προτάσεις

Re: Λήμματα vs Προτάσεις

Re: Λήμματα vs Προτάσεις

Re: Λήμματα vs Προτάσεις

Re: Λήμματα vs Προτάσεις

Re: Λήμματα vs Προτάσεις

Μέλη σε σύνδεση