Μύηση στη μέθοδο της απαγωγής σε άτοπο για μαθητές Γυμνασίου

[Στέλιος Μαρίνης]

Στο συνημμένο δίνονται προβλήματα που μπορούν, κατά τη γνώμη μου, να μυήσουν τους μαθητές της Γ΄ Γυμνασίου στη μέθοδο της απαγωγής σε άτοπο. Αρχικά δίνονται 3 προβλήματα - κουίζ και στη συνέχεια καθαρά μαθηματικά προβλήματα. Ελπίζω να φανεί χρήσιμο.

[fmak65]

Για να δείξω στους μαθητές ότι την μέθοδο αυτή την χρησιμοποιούν και άλλες επιστήμες, δίνω ένα παράδειγμα από δικαστήριο πως την χρησιμοποιεί ένας δικηγόρος (τελείως άσχετη ειδικότητα με τα μαθηματικά) για το άλλοθι.
Π.χ. έγινε ένας φόνος στο σχολείο και κατηγορούν τον Α μαθητή για δολοφόνο. Ο Β μαθητής είναι δικηγόρος και λέω ότι ρωτάει πόση ώρα είναι από το αεροδρόμιο ως το σχολείο, πόση το αεροπλάνο Αθήνα Θεσ/νίκη , πόση η διαδρομή Κολωνάκι αεροδρόμιο, π.χ. μιάμιση ώρα σύνολο. Ο φόνος έγινε στις 11 η ώρα και ο Α ήταν στις 10 σε καφετέρια στο Κολωνάκι με τον Γ μαθητή και προσκομίζει την απόδειξη και μια φωτογραφία που βγήκε στις 10.Άρα δεν μπορεί να είναι ο φονιάς.
Επίσης τους λέω ότι την χρησιμοποιούμε όλοι χωρίς να την ονομάζουμε εις άτοπο απαγωγή.

[Στέλιος Μαρίνης]

Για να δείξω στους μαθητές ότι την μέθοδο αυτή την χρησιμοποιούν και άλλες επιστήμες, δίνω ένα παράδειγμα από δικαστήριο πως την χρησιμοποιεί ένας δικηγόρος (τελείως άσχετη ειδικότητα με τα μαθηματικά) για το άλλοθι.
Π.χ. έγινε ένας φόνος στο σχολείο και κατηγορούν τον Α μαθητή για δολοφόνο. Ο Β μαθητής είναι δικηγόρος και λέω ότι ρωτάει πόση ώρα είναι από το αεροδρόμιο ως το σχολείο, πόση το αεροπλάνο Αθήνα Θεσ/νίκη , πόση η διαδρομή Κολωνάκι αεροδρόμιο, π.χ. μιάμιση ώρα σύνολο. Ο φόνος έγινε στις 11 η ώρα και ο Α ήταν στις 10 σε καφετέρια στο Κολωνάκι με τον Γ μαθητή και προσκομίζει την απόδειξη και μια φωτογραφία που βγήκε στις 10.Άρα δεν μπορεί να είναι ο φονιάς.
Επίσης τους λέω ότι την χρησιμοποιούμε όλοι χωρίς να την ονομάζουμε εις άτοπο απαγωγή.

Φώτη, θα σου την κλέψω την ιδέα!

[Σίλης]

Ωραίες ασκησούλες! άν και δέν τις δούλεψα όλες. Πάντως, ο Μακρυπήδης με έκανε να νιώσω περήφανος ως έλλην.

Στην ουσία του πράγματος, και μιά και υπέπεσε στην αντίληψή μου πρόσφατα παρόμοιο θέμα στο φόρουμ, έχω μία ερώτηση να κάνω στους ενεργούς εκπαιδευτικούς, και δή παιδιών σε σχολεία (απ' τη διδασκαλία σε τέτοιες ηλικίες έχω μικρή εμπειρία και απέχω όπως και νά 'χει εδώ και πολλά χρόνια). Η ερώτηση είναι: στο ελληνικό σχολείο όπως το ξέρουμε, πόσο μπορεί να εμβαθύνει κανείς στη λεπτή διάκριση ανάμεσα στις ριζικά διαφορετικές χρήσεις της αντίφασης σε αποδεικτικές διαδικασίες;

Δυό λόγια παραπάνω, για να γίνω σαφής. Με τον όρο αντίφαση εννοώ μία οποιαδήποτε ψευδή μαθηματική πρόταση. Μπορεί κανείς, χοντρικά, να διακρίνει δύο θεμελιακά διαφορετικές χρήσεις τέτοιων προτάσεων.

(α) Στην απόδειξη αρνητικών προτάσεων (εδώ εμπίπτουν και τα λεγόμενα αντιπαραδείγματα), οπου καλούμαι να δείξω οτι κάτι δέν ισχύει -πιχί, «ο αριθμός τάδε είναι άρρητος» (παναπεί «δέν είναι ρητός»), «οι δύο ευθείες δέν είναι παράλληλες», «δέν υπάρχει αριθμός ωστε να», «δέν αληθεύει οτι για κάθε δύο τρίγωνα μπλά μπλά», και τα λοιπά. Υπάρχει ένας μόνον τρόπος να δείξω κάτι τέτοιο, ο ευθύς: δείχνω οτι αυτό το κάτι οδηγεί αναγκαστικά σε αντίφαση. Οι περισσότερες απ' τις πρώτες ασκήσεις του συνημμένου, απ' ότι είδα, είναι τέτοιες (2, 3, 4...): σ' αυτές δέ μπορείς ν' αποφύγεις την απόδειξη με αντίφαση. [Προσθήκη: Παρεμπιπτόντως, σ' αυτήν την περίπτωση εμπίπτει και το παράδειγμα του έφ μάκ 65 με το δικηγόρο: ο δικηγόρος αποδεικνύει μία αρνητική πρόταση, συγκεκριμένα οτι «ο ύποπτος δέν είναι ο φονιάς».]

(β) Στην απόδειξη θετικών προτάσεων, οπου καλούμαι να δείξω οτι κάτι ισχύει. Εδώ μπορεί κανείς να δουλέψει ευθέως, μπορεί όμως να κάνει τον ελιγμό να προσποιηθεί προστιγμήν οτι αυτό το κάτι δέν ισχύει, και να οδηγηθεί κατόπιν σε αντίφαση. Αυτός είναι ο έμμεσος τρόπος (δείχνω χωρίς να δείχνω). Στο συνημμένο, η άσκηση 1 είναι τέτοια: μπορεί κανείς είτε να δείξει ευθέως οτι «ο Βασίλης είναι αδερφός του Γιώργου» (βασιζόμενος άμεσα στις ιδιότητες της σχέσης «ο x και ο y είναι αδέρφια»), είτε να το στραμπουλήξει και να κάνει ακροβατικά («ας υποθέσουμε προστιγμήν οτι ο Βασίλης και ο Γιώργος δέν είναι αδέρφια· αυτό όμως δέ μπορεί να ισχύει, γιατι τότε μπλά-μπλά-μπλά»...).

Έχω μάθει το (β) να το λέω «απαγωγή σε άτοπο», ενώ το (α), απλώς, «απόδειξη αρνητικής πρότασης». Καί τα δύο βασίζονται στη χρήση αντιφάσεων, δέν είναι όμως καθόλου το ίδιο πράμα, προφανώς.

Λοιπόν, τη διάκριση αυτή την έκανα πολύ αργότερα απ' το σχολείο, και μάλιστα μου πήρε κάποιο χρόνο να συνειδητοποιήσω προς τί ο όλος τζερτζελές (απο συναδέλφους). Απ' τη μιά, είναι μία διάκριση που βάζει τα πράματα στη θέση τους, και βοηθάει στην καλύτερη κατανόηση καί της απόδειξης, καί της έννοιας της αντίφασης. Ακόμη, μπορείς κανείς να εξηγήσει έτσι με πιό στιβαρό τρόπο γιατί μία έμμεση απόδεξη (με απαγωγή σε άτοπο) δέν είναι τόσο ικανοποιητική όσο μία ευθεία, άρα μπορεί να θεωρείται (όπως και θεωρείται απο πολλούς) αποφευκταία. Απ' την άλλη όμως, αναρωτιέμαι άν μπορεί κανείς να εξηγήσει σε ένα παιδί τέτοιες θεμελιακές, αλλα ομολογουμένως λεπτές διαφορές, δεδομένου του επιπέδου και του προσανατολισμού της διδακτέας ύλης.

[Στέλιος Μαρίνης]

Ωραίες ασκησούλες! άν και δέν τις δούλεψα όλες. Πάντως, ο Μακρυπήδης με έκανε να νιώσω περήφανος ως έλλην.

Στην ουσία του πράγματος, και μιά και υπέπεσε στην αντίληψή μου πρόσφατα παρόμοιο θέμα στο φόρουμ, έχω μία ερώτηση να κάνω στους ενεργούς εκπαιδευτικούς, και δή παιδιών σε σχολεία (απ' τη διδασκαλία σε τέτοιες ηλικίες έχω μικρή εμπειρία και απέχω όπως και νά 'χει εδώ και πολλά χρόνια). Η ερώτηση είναι: στο ελληνικό σχολείο όπως το ξέρουμε, πόσο μπορεί να εμβαθύνει κανείς στη λεπτή διάκριση ανάμεσα στις ριζικά διαφορετικές χρήσεις της αντίφασης σε αποδεικτικές διαδικασίες;

Δυό λόγια παραπάνω, για να γίνω σαφής. Με τον όρο αντίφαση εννοώ μία οποιαδήποτε ψευδή μαθηματική πρόταση. Μπορεί κανείς, χοντρικά, να διακρίνει δύο θεμελιακά διαφορετικές χρήσεις τέτοιων προτάσεων.

(α) Στην απόδειξη αρνητικών προτάσεων (εδώ εμπίπτουν και τα λεγόμενα αντιπαραδείγματα), οπου καλούμαι να δείξω οτι κάτι δέν ισχύει -πιχί, «ο αριθμός τάδε είναι άρρητος» (παναπεί «δέν είναι ρητός»), «οι δύο ευθείες δέν είναι παράλληλες», «δέν υπάρχει αριθμός ωστε να», «δέν αληθεύει οτι για κάθε δύο τρίγωνα μπλά μπλά», και τα λοιπά. Υπάρχει ένας μόνον τρόπος να δείξω κάτι τέτοιο, ο ευθύς: δείχνω οτι αυτό το κάτι οδηγεί αναγκαστικά σε αντίφαση. Οι περισσότερες απ' τις πρώτες ασκήσεις του συνημμένου, απ' ότι είδα, είναι τέτοιες (2, 3, 4...): σ' αυτές δέ μπορείς ν' αποφύγεις την απόδειξη με αντίφαση. [Προσθήκη: Παρεμπιπτόντως, σ' αυτήν την περίπτωση εμπίπτει και το παράδειγμα του έφ μάκ 65 με το δικηγόρο: ο δικηγόρος αποδεικνύει μία αρνητική πρόταση, συγκεκριμένα οτι «ο ύποπτος δέν είναι ο φονιάς».]

(β) Στην απόδειξη θετικών προτάσεων, οπου καλούμαι να δείξω οτι κάτι ισχύει. Εδώ μπορεί κανείς να δουλέψει ευθέως, μπορεί όμως να κάνει τον ελιγμό να προσποιηθεί προστιγμήν οτι αυτό το κάτι δέν ισχύει, και να οδηγηθεί κατόπιν σε αντίφαση. Αυτός είναι ο έμμεσος τρόπος (δείχνω χωρίς να δείχνω). Στο συνημμένο, η άσκηση 1 είναι τέτοια: μπορεί κανείς είτε να δείξει ευθέως οτι «ο Βασίλης είναι αδερφός του Γιώργου» (βασιζόμενος άμεσα στις ιδιότητες της σχέσης «ο x και ο y είναι αδέρφια»), είτε να το στραμπουλήξει και να κάνει ακροβατικά («ας υποθέσουμε προστιγμήν οτι ο Βασίλης και ο Γιώργος δέν είναι αδέρφια· αυτό όμως δέ μπορεί να ισχύει, γιατι τότε μπλά-μπλά-μπλά»...).

Έχω μάθει το (β) να το λέω «απαγωγή σε άτοπο», ενώ το (α), απλώς, «απόδειξη αρνητικής πρότασης». Καί τα δύο βασίζονται στη χρήση αντιφάσεων, δέν είναι όμως καθόλου το ίδιο πράμα, προφανώς.

Λοιπόν, τη διάκριση αυτή την έκανα πολύ αργότερα απ' το σχολείο, και μάλιστα μου πήρε κάποιο χρόνο να συνειδητοποιήσω προς τί ο όλος τζερτζελές (απο συναδέλφους). Απ' τη μιά, είναι μία διάκριση που βάζει τα πράματα στη θέση τους, και βοηθάει στην καλύτερη κατανόηση καί της απόδειξης, καί της έννοιας της αντίφασης. Ακόμη, μπορείς κανείς να εξηγήσει έτσι με πιό στιβαρό τρόπο γιατί μία έμμεση απόδεξη (με απαγωγή σε άτοπο) δέν είναι τόσο ικανοποιητική όσο μία ευθεία, άρα μπορεί να θεωρείται (όπως και θεωρείται απο πολλούς) αποφευκταία. Απ' την άλλη όμως, αναρωτιέμαι άν μπορεί κανείς να εξηγήσει σε ένα παιδί τέτοιες θεμελιακές, αλλα ομολογουμένως λεπτές διαφορές, δεδομένου του επιπέδου και του προσανατολισμού της διδακτέας ύλης.

Ας πω τι πιστεύω:
Η μέθοδος της απαγωγής σε άτοπο μπορεί να παρασταθεί με τον εξής πίνακα αλήθειας:



Γνωρίζουμε ότι q ψευδής, άρα για να ισχύει η συνεπαγωγή πρέπει η p να είναι αληθής.

Αν θέλουμε να αποδείξουμε ότι μία "αρνητική" πρόταση (θα πω την άποψή μου για τον αδόκιμο, κατά τη γνώμη μου, όρο "αρνητική") είναι ψευδής, η μέθοδος της απαγωγής σε άτοπο γίνεται:



Ωστόσο μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε απλώς τον πίνακα:



και να δούμε ότι η αρνητική πρόταση είναι ψευδής. Τότε, πράγματι, δεν έχουμε εφαρμόσει τη μέθοδος της απαγωγής σε άτοπο.

Ωστόσο, ΜΠΟΡΟΥΜΕ όπως φαίνεται στον δεύτερο πίνακα να εργαστούμε με απαγωγή σε άτοπο.

Τέλος, ο όρος "αρνητική πρόταση" είναι αδόκιμος. Όλες οι προτάσεις είναι αρνήσεις των αντιθέτων τους. Π.χ. "Είναι διάφορος του 3" ισοδυναμεί με την "είναι μεγαλύτερος του 3 ή είναι μικρότερος του 3". Συχνά δε, μπορούμε γλωσσικά να αποδώσουμε μια αρνητική πρόταση με θετικό τρόπο εξίσου κομψά. Π.χ. Δεν είναι άρτιος ισοδυναμεί με την "είναι περιττός". κ.ο.κ.

Αν το ζήτημα που θέτεις είναι πότε λέμε στα παιδιά ότι συμφέρει ή πρέπει να χρησιμοποιήσουμε τη μέθοδο του ατόπου, εδώ το πράγμα αλλάζει. Προσωπικά τους λέω ότι η μέθοδος συνιστάται όταν η προς απόδειξη πρόταση εκφράζεται πιο "κομψά" ως αντίθετη μιας άλλης και όταν έχουμε δοκιμάσει κάθε άλλη μέθοδο απόδειξης και απέτυχε! Πάντως δεν καλύπτονται όλες οι περιπτώσεις και με αυτό που τους λέω, αλλά απλώς μπορεί να βοηθηθούν σε κάποιες περιπτώσεις.

[S.E.Louridas]

Καλημέρα.
Κατά την άποψη μου μπορούμε να μπούμε απαλά στην κατανόηση του τύπου όταν θέλουμε να αποδείξουμε την αλήθεια της με βάση την μέθοδο της εις άτοπον απαγωγής. Εννοείται όχι με το δόγμα του Σοκ που πιθανόν να δημιουργεί ο συμβολισμός. Σημασία έχει να κατανοήσει το παιδί-λύτης, ότι θεωρώντας την άρνηση που θα το οδηγήσει σε άτοπο, αν επιλεγεί ως μέθοδος επίλυσης η μέθοδος της εις άτοπον απαγωγής, η υπόθεση διατηρείται ως "οπλοστάσιο" δεδομένων που μπορεί να χρησιμοποιηθεί. Δηλαδή θεωρεί ότι η υπόθεση είναι σε ισχύ σε συνδυασμό με το ότι η "άρνηση" του είναι σε ισχύ...άτοπον, άρα ισχύει