Ωραίες ασκησούλες! άν και δέν τις δούλεψα όλες. Πάντως, ο Μακρυπήδης με έκανε να νιώσω περήφανος ως έλλην.
Στην ουσία του πράγματος, και μιά και υπέπεσε στην αντίληψή μου πρόσφατα
παρόμοιο θέμα στο φόρουμ, έχω μία ερώτηση να κάνω στους ενεργούς εκπαιδευτικούς, και δή παιδιών σε σχολεία (απ' τη διδασκαλία σε τέτοιες ηλικίες έχω μικρή εμπειρία και απέχω όπως και νά 'χει εδώ και πολλά χρόνια). Η ερώτηση είναι:
στο ελληνικό σχολείο όπως το ξέρουμε, πόσο μπορεί να εμβαθύνει κανείς στη λεπτή διάκριση ανάμεσα στις ριζικά διαφορετικές χρήσεις της αντίφασης σε αποδεικτικές διαδικασίες;
Δυό λόγια παραπάνω, για να γίνω σαφής. Με τον όρο
αντίφαση εννοώ μία οποιαδήποτε ψευδή μαθηματική πρόταση. Μπορεί κανείς, χοντρικά, να διακρίνει δύο θεμελιακά διαφορετικές χρήσεις τέτοιων προτάσεων.
(α) Στην απόδειξη
αρνητικών προτάσεων (εδώ εμπίπτουν και τα λεγόμενα αντιπαραδείγματα), οπου καλούμαι να δείξω οτι
κάτι δέν ισχύει -πιχί, «ο αριθμός τάδε είναι άρρητος» (παναπεί «δέν είναι ρητός»), «οι δύο ευθείες δέν είναι παράλληλες», «δέν υπάρχει αριθμός ωστε να», «δέν αληθεύει οτι για κάθε δύο τρίγωνα μπλά μπλά», και τα λοιπά. Υπάρχει
ένας μόνον τρόπος να δείξω κάτι τέτοιο, ο ευθύς: δείχνω οτι αυτό το κάτι οδηγεί αναγκαστικά σε αντίφαση. Οι περισσότερες απ' τις πρώτες ασκήσεις του συνημμένου, απ' ότι είδα, είναι τέτοιες (2, 3, 4...): σ' αυτές
δέ μπορείς ν' αποφύγεις την απόδειξη με αντίφαση. [Προσθήκη: Παρεμπιπτόντως, σ' αυτήν την περίπτωση εμπίπτει και το παράδειγμα του έφ μάκ 65 με το δικηγόρο: ο δικηγόρος αποδεικνύει μία αρνητική πρόταση, συγκεκριμένα οτι «ο ύποπτος
δέν είναι ο φονιάς».]
(β) Στην απόδειξη
θετικών προτάσεων, οπου καλούμαι να δείξω οτι
κάτι ισχύει. Εδώ μπορεί κανείς να δουλέψει ευθέως, μπορεί όμως να κάνει τον ελιγμό να προσποιηθεί προστιγμήν οτι αυτό το κάτι
δέν ισχύει, και να οδηγηθεί κατόπιν σε αντίφαση. Αυτός είναι ο έμμεσος τρόπος (δείχνω χωρίς να δείχνω). Στο συνημμένο, η άσκηση 1 είναι τέτοια: μπορεί κανείς είτε να δείξει ευθέως οτι «ο Βασίλης είναι αδερφός του Γιώργου» (βασιζόμενος άμεσα στις ιδιότητες της σχέσης «ο x και ο y είναι αδέρφια»), είτε να το στραμπουλήξει και να κάνει ακροβατικά («ας υποθέσουμε προστιγμήν οτι ο Βασίλης και ο Γιώργος
δέν είναι αδέρφια· αυτό όμως δέ μπορεί να ισχύει, γιατι τότε μπλά-μπλά-μπλά»...).
Έχω μάθει το (β) να το λέω «απαγωγή σε άτοπο», ενώ το (α), απλώς, «απόδειξη αρνητικής πρότασης». Καί τα δύο βασίζονται στη χρήση αντιφάσεων, δέν είναι όμως καθόλου το ίδιο πράμα, προφανώς.
Λοιπόν, τη διάκριση αυτή την έκανα πολύ αργότερα απ' το σχολείο, και μάλιστα μου πήρε κάποιο χρόνο να συνειδητοποιήσω προς τί ο όλος τζερτζελές (απο συναδέλφους). Απ' τη μιά, είναι μία διάκριση που βάζει τα πράματα στη θέση τους, και βοηθάει στην καλύτερη κατανόηση καί της απόδειξης, καί της έννοιας της αντίφασης. Ακόμη, μπορείς κανείς να εξηγήσει έτσι με πιό στιβαρό τρόπο γιατί μία έμμεση απόδεξη (με απαγωγή σε άτοπο) δέν είναι τόσο ικανοποιητική όσο μία ευθεία, άρα μπορεί να θεωρείται (όπως και θεωρείται απο πολλούς) αποφευκταία. Απ' την άλλη όμως, αναρωτιέμαι άν μπορεί κανείς να εξηγήσει σε ένα παιδί τέτοιες θεμελιακές, αλλα ομολογουμένως λεπτές διαφορές,
δεδομένου του επιπέδου και του προσανατολισμού της διδακτέας ύλης.