Προβληματισμός σχετικά με τις απόλυτες τιμές

#1

Στο βιβλίο της 'Α λυκείου γράφει:

Αν $\theta>0$ , τότε: $|x|<\theta\Leftrightarrow -\theta<x<\theta$ .

Λέω εγώ τώρα:

Έστω $\theta\leq0$ .

1)α) Είναι η πρόταση : $(\forall x:|x|\geq\theta)$ αληθής;

β) Αν ναι, έπεται ότι η πρόταση $(\exists x:|x|<\theta)$ είναι ψευδής;

2) Είναι η πρόταση $(\exists x:-\theta<x<\theta)$ ψευδής;

3) Αν ναι, δεν θα είναι η ισοδυναμία $(\exists x:|x|<\theta)\Leftrightarrow(\exists x:-\theta<x<\theta)$ αληθής;

Ερώτηση: Μήπως από τα παραπάνω συμπεραίνουμε ότι:

Έστω $\theta\in\mathbb{R}$ . Τότε $|x|<\theta\Leftrightarrow -\theta<x<\theta$ ;

Αν τα παραπάνω είναι λάθος, μπορεί να βρεθεί παράδειγμα ανίσωσης της μορφής |P(x)|<Q(x)

όπου τα

είναι πολυώνυμα πρώτου ή δευτέρου βαθμού (ή κάτι τέτοιο) και για την οποία, οι λύσεις που προκύπτουν από την επίλυσή της με τον ορθόδοξο τρόπο (: περιορισμοί για το πρόσημο του Q(x)

, αφαίρεση απολύτων με περιπτώσεις και τα λοιπά) να είναι διαφορετικές απο εκείνες που θα προέκυπταν αν κάποιος, έτσι για δοκιμή, χωρίς να πάρει περιορισμούς για το πρόσημο του Q(x)

προχωρούσε (με ισοδυναμίες "σύμφωνα με τα παραπάνω") λέγοντας -Q(x)<P(x)<Q(x)

και σπάζοντας σε δυο συναληθεύουσες ανισώσεις;

Christos.N · #2

Γράφεται στο 3 ότι η ισοδυναμία $p\Leftrightarrow q$ αληθεύει και αυτό στηρίζεται στο ότι και οι δύο προτάσεις p,q

είναι ψευδής, σωστό αλλα το $\exists:x$ σε αυτή την περίπτωση αναφέρεται στο κενό σύνολο, αρα το συμπέρασμα σας επεκτείνει τον ορισμό των απολύτων σε οποιoδήποτε δυνατό υποσύνολο πραγματικών αριθμών (συμπεριλαμβανομένου του κενού συνόλου), ενω στο βιβλίο της Α' ο ορισμός δίνεται σε μη κενό σύνολο πραγματικών αριθμών.
Στο συμπέρασμα που παραθέτεται για τα (πραγματικά φαντάζομαι)πολυώνυμα δεν θα αντιμετώπιζε κανείς πρόβλημα γιατι τα σύνολα λύσεων που θα προέκυπταν θα έδιναν τομή αντίστοιχα κενό ή μη κενό σύνολο.

#3

Τα πολυώνυμα είναι πραγματικά, ναι, αλλά θέλω να καταλήξω στο εξής:

Αν για $\theta\in\mathbb{R}$ η ισοδυναμία $|x|<\theta\Leftrightarrow-\theta<x<\theta$ είναι αληθής, τότε η επίλυση ανισοτήτων του τύπου |P(x)|<Q(x)

γράφοντας

, διευκολύνεται κατά πολύ αφού θα αποφεύγονταν οι περιορισμοί και οι επακόλουθες περιπτωσιολογίες.
Είναι όμως;

#4

Aναστάση κάπου κολλάει ο συλλογισμός σου. Λες αν θ πραγματικός και |χ|<θ. Μα αυτό αυτομάτως δεν καθιστά το θ>ο;
Δεν πιάνω τόσο ''υψίσυχνα'', ομολογουμένως!!

#5

chris_gatos έγραψε:Aναστάση κάπου κολλάει ο συλλογισμός σου. Λες αν θ πραγματικός και |χ|<θ. Μα αυτό αυτομάτως δεν καθιστά το θ>ο;
Δεν πιάνω τόσο ''υψίσυχνα'', ομολογουμένως!!

Αναρωτιέμαι αν μπορεί να ενταχθεί η περίπτωση που το $\theta\leq0$ στην αλήθεια της ισοδυναμίας $|x|<\theta\Leftrightarrow-\theta<x<\theta$ , υπό την εξής έννοια:

Για $\theta\leq0$ η $|x|<\theta\Leftrightarrow-\theta<x<\theta$ είναι ουσιαστικά η $x\in\mathbb{\emptyset}\Leftrightarrow x\in\mathbb{\emptyset}$ , η οποία είναι αληθής(;).

Christos.N · #6

Σαφέστατα , κύριε Αναστάση μπορείτε αλλα το συμπέρασμα θα είναι κενό ή μη, οσο για τα πολυώνυμα πραγματικά το μόνο που φαντάζει δύσκολο είναι η διπλή φασαρία και η συναλήθευση στο τέλος, πάντως επιμένω αυτό που προτείνεται έμμεσα είναι ενας νέος ορισμός πιο γενικός...Φιλικά Χρήστος Ντάβας

#7

Κοτρώνης Αναστάσιος έγραψε: Αναρωτιέμαι αν μπορεί να ενταχθεί η περίπτωση που το $\theta\leq0$ στην αλήθεια της ισοδυναμίας $|x|<\theta\Leftrightarrow-\theta<x<\theta$ , υπό την εξής έννοια:

Για $\theta\leq0$ η $|x|<\theta\Leftrightarrow -\theta<x<\theta$ είναι ουσιαστικά η $x\in\mathbb{\emptyset}\Leftrightarrow x\in\mathbb{\emptyset}$ , η οποία είναι αληθής(;).

Αναστάση κατά τη γνώμη μου δεν μπορεί να ισχύει η ισοδυναμία.

Για παράδειγμα αν θ =-5 < 0, τότε η παράσταση -θ<x<θ σημαίνει -(-5)<x<-5, δηλαδή, 5<x<-5, άρα και 5<-5.

Αποδεικνύεται πολύ εύκολα με άτοπο, ότι αν θ < 0 δεν μπορεί να ισχύει -θ<x<θ.

Επιπλεόν για θ < 0 η $-\theta<x<\theta$ δεν είναι ισοδύναμη της $x\in\mathbb{\emptyset}$ , αφού η αρχική είναι λανθασμένη, όπως έδειξα παραπάνω.

dement · #8

lepro έγραψε:
Κοτρώνης Αναστάσιος έγραψε: Αναρωτιέμαι αν μπορεί να ενταχθεί η περίπτωση που το $\theta\leq0$ στην αλήθεια της ισοδυναμίας $|x|<\theta\Leftrightarrow-\theta<x<\theta$ , υπό την εξής έννοια:

Για $\theta\leq0$ η $|x|<\theta\Leftrightarrow -\theta<x<\theta$ είναι ουσιαστικά η $x\in\mathbb{\emptyset}\Leftrightarrow x\in\mathbb{\emptyset}$ , η οποία είναι αληθής(;).
Αναστάση κατά τη γνώμη μου δεν μπορεί να ισχύει η ισοδυναμία.

Κατα τη γνωμη μου ο Αναστασης εχει δικιο.

Μιλαμε λοιπον (αν καταλαβα καλα!) για την ισοδυναμια $\forall \theta \in \mathbb{R} \ \forall x \in \mathbb{R} \ \left( |x| < \theta \Longleftrightarrow - \theta < x < \theta \right)$ .

Ισχυει.

Για παράδειγμα αν θ =-5 < 0, τότε η παράσταση -θ<x<θ σημαίνει -(-5)<x<-5, δηλαδή, 5<x<-5, άρα και 5<-5.

Κανενα oops. Το οτι το συμπερασμα ειναι ψευδες δε σημαινει οτι ειναι ψευδης και η συνεπαγωγη. Στην προκειμενη περιπτωση, η αρνητικη τιμη του $\theta$ καθιστα αυτοματα την υποθεση $|x| < \theta$ ψευδη και κατα συνεπεια τη συνεπαγωγη αληθη, ασχετως συμπερασματος.

Αποδεικνύεται πολύ εύκολα με άτοπο, ότι αν θ < 0 δεν μπορεί να ισχύει -θ<x<θ.

Σωστα, αλλα δεν ειναι αυτο το ερωτημα. Δε μας απασχολει αν ισχυει η ανισοτητα $- \theta < x < \theta$ , αλλα αν ισχυει η ισοδυναμια $|x| < \theta \Longleftrightarrow - \theta < x < \theta$ . Η οποια ισχυει για οποιεσδηποτε πραγματικες τιμες του $\theta$ και του

.

Δημητρης Σκουτερης

#9

Ωραία!!!
Αφού αποφανθήκαμε , ας εισηγηθούμε να αλλάξουν όλα στο βιβλίο της Α'Λυκείου
κι εγω που δεν είμαι και τόσο ''υψίσυχνος'', θα ακολουθήσω.
Πάω για ψάρεμα!

#10

dement έγραψε: Κανενα oops. Το οτι το συμπερασμα ειναι ψευδες δε σημαινει οτι ειναι ψευδης και η συνεπαγωγη. Στην προκειμενη περιπτωση, η αρνητικη τιμη του $\theta$ καθιστα αυτοματα την υποθεση $|x| < \theta$ ψευδη και κατα συνεπεια τη συνεπαγωγη αληθη, ασχετως συμπερασματος.

Πολλά ουπς κατά τη γνώμη μου. Ίσως δεν εκφράστηκα καλά. Ας τα πάρουμε από την αρχή.
Όσα αναφέρεις για τη λογική των προτάσεων και αν είναι αληθείς ή ψευδείς κανένα πρόβλημα.
Ας πάρουμε το αντίστροφο της ισοδυναμίας.
Γράφοντας (για θ=-5) ότι 5 <x<-5, αναζητώ τα x που βρίσκονται στο διάστημα (5,-5). Αν δεν ξεχνώ κάτι, αυτό το διάστημα δεν υπάρχει.
Αν δεχθούμε ότι το διάστημα αυτό υπάρχει, καταργούνται ή τίθενται σε αμφισβήτιση κάποιες "συμβάσεις" που κάνουμε για συμβολίσμούς στα μαθηματικά, οπότε ο καθένας μας θα μπορεί άλλα να γράφει και να εννοεί ότι θέλει.

dement · #11

lepro έγραψε: Γράφοντας (για θ=-5) ότι 5 <x<-5, αναζητώ τα x που βρίσκονται στο διάστημα (5,-5). Αν δεν ξεχνώ κάτι, αυτό το διάστημα δεν υπάρχει.

Οριζοντας το διαστημα (a,b)

ως $\{ x \in \mathbb{R} \ : \ a < x \wedge x < b \}$ τοτε το διαστημα (5,-5)

υπαρχει και ειναι το κενο συνολο. Παντως, ασχετως της (συμβατικης) υπαρξης η μη του διαστηματος, θεωρω οτι η ανισοτητα $- \theta < x < \theta$ δεν ειναι παρα συντομογραφια της $- \theta < x \wedge x < \theta$ , οποτε ασχολουμαι με τη διπλη ανισοτητα και οχι με την υπαρξη η μη του διαστηματος συμφωνα με το σχολικο βιβλιο.

Πραγματι λοιπον, ισχυει οτι δεν υπαρχει

με

, οπως ακριβως δεν υπαρχει

με

. Ετσι, η ισοδυναμια μας παραμενει ανεπαφη (με τα δυο μερη της ειτε ταυτοχρονα ψευδη ειτε ταυτοχρονα αληθη).

Δημητρης Σκουτερης

#12

Παιδιά ας το κόψουμε το αστείο γιατί σε λίγο βλέπω να βγαίνει ο ποιητής Φανφάρας και
να απαγγέλει τον ''Σκοταδόψυχο''.

dement · #13

Ειναι το συνολο κενο, πωπωπωπω, πωπωπωπω.

Γεια σου ρε Χρηστο γιγαντα.

Δημητρης

#14

Με το σκεπτικό αυτό κάποιος μπορεί να γράψει 2<χ>1 ή 5>χ<8;

Όλοι μας καταλαβαίνουμε τι θέλει να πει κάποιος με αυτά ή τι σημαίνουν αυτά, αλλά ...

Το επόμενο βήμα θα είναι κάποιος να γράψει $x \in (4,+\infty]$ ή $x \in (5,-\infty)$ και όλα να είναι καλά.

Υ.Γ. Ωραίος ο Φανφάρας με το κενό σύνολο

#15

chris_gatos έγραψε:Παιδιά ας το κόψουμε το αστείο γιατί σε λίγο βλέπω να βγαίνει ο ποιητής Φανφάρας και
να απαγγέλει τον ''Σκοταδόψυχο''.

Φοβερή ποιητική συλλογή!!! Βρίσκεται στη βιβλιοθήκη μου!!!!

chris_gatos έγραψε:Πάω για ψάρεμα!

Αν πιάσεις πράμα να το βάλεις ζγκατάψυξ' να το φάμε Αθήνα παρέα!!!

chris_gatos έγραψε:Ωραία!!!
Αφού αποφανθήκαμε , ας εισηγηθούμε να αλλάξουν όλα στο βιβλίο της Α'Λυκείου

Ο προβληματισμός μου δεν αφορά αυτό. Το θέμα είναι το εξής:

Ας υποθέσουμε ότι σε κάποιο διαγώνισμα της Α' Λυκείου είχε τεθεί το θέμα: Ας λυθεί η ανίσωση |2x+4|<x+5

και
κάποιος μαθητής είχε γράψει το ακόλουθο:

$|2x+4|<x+5\Leftrightarrow-x-5<2x+4<x+5\Leftrightarrow(-x-5<2x+4)$ και $(2x+4<x+5)\Leftrightarrow(x>-3)$ και $(x<1)\Leftrightarrow-3<x<1$ .

Θα το βαθμολογούσαμε ως σωστό ή θα κοβόταν η λύση γιατί σύμφωνα με το σχολικό βιβλίο ήταν επιβεβλημένο να τεθούν περιορισμοί για το πρόσημο του x+5

......;

dement · #16

Απο λογικης αποψεως ειναι μια χαρα, ουτε αφαιρουνται ουτε προστιθενται λυσεις και η ισοδυναμια προχωραει ρολοι. Οι ενδεχομενες παρεισακτες 'λυσεις' που θα προστεθουν στη μια ανισοτητα λογω απουσιας περιορισμου, θα αφαιρεθουν απο την αλλη, οποτε η συζευξη των δυο θα προκυψει 'καθαρη'. Εγω δε θα εκοβα μοναδες.

Τωρα βεβαια, το τι θελει το σχολικο βιβλιο ειναι αλλο καπελο στο οποιο δε μπορω να εκφρασω γνωμη...

Δημητρης Σκουτερης

#17

Κοτρώνης Αναστάσιος έγραψε: ...............................κάποιος μαθητής είχε γράψει το ακόλουθο:

$|2x+4|<x+5\Leftrightarrow-x-5<2x+4<x+5\Leftrightarrow(-x-5<2x+4)$ και $(2x+4<x+5)\Leftrightarrow(x>-3)$ και $(x<1)\Leftrightarrow-3<x<1$ .

Θα το βαθμολογούσαμε ως σωστό ή θα κοβόταν η λύση γιατί σύμφωνα με το σχολικό βιβλίο ήταν επιβεβλημένο να τεθούν περιορισμοί για το πρόσημο του ......;

Aναστάση, εδώ το μόνο σημείο που θα μπει για κουβέντα , σε σχολικό επίπεδο, είναι ότι η ισοδυναμία :

$|x|< \theta \Leftrightarrow -\theta <x< \theta$

έχει αποδειχθεί για θετικά θ . Θα μας ρωτήσει λοιπόν καποιος :πώς ένας μαθητής να χρησιμοποιήσει μια πρόταση, αν δεν πληρεί τις προϋποθέσεις της ;
Η λογική ισοδυναμία στο θέμα που αναλύσατε είναι άλλο ζήτημα και για την ώρα το αντιπαρέρχομαι.

Μπάμπης

#18

Μπάμπης Στεργίου έγραψε:πώς ένας μαθητής να χρησιμοποιήσει μια πρόταση, αν δεν πληρεί τις προϋποθέσεις της ;

Δεδομένου ότι έχει δώσει μια λύση όπως αυτή που περιέγραψα, το πιθανότερο είναι να το έχει κάνει από απροσεξία. Ποιά είναι όμως η θέση του διορθωτή σε αυτήν την περίπτωση...;

Μάκης Χατζόπουλος · #19

Αναστάση αν και δεν ήμουν θετικός στην αρχή νομίζω τώρα που το έψαξα έχεις δίκιο!!

Α> Ξεκινάω με παράδειγμα για να γίνω πιο πειστικός (δίνω και τις λύσεις για να είναι πιο εύκολη η παρακολούθηση της σκέψης μου):

Πχ. α) Έστω $\displaystyle{ \left| {x^2 - 6} \right| < 5x }$
τότε γίνεται $\displaystyle{ - 5x < x^2 - 6 < 5x }$

Αν λύσουμε την αριστερή ανίσωση, $\displaystyle{ - 5x < x^2 - 6 \Leftrightarrow x^2 - 5x - 6 > 0 }$
άρα έχει λύσεις $\displaystyle{ x < - 6 }$ ή $\displaystyle{ x > 1}$

Λύνουμε την δεξιά ανίσωση, $\displaystyle{ x^2 - 6 < 5x \Leftrightarrow x^2 - 5x - 6 < 0 }$
και βρίσκουμε εύκολα $\displaystyle{ - 1 < x < 6 }$

Οπότε οι κοινές λύσεις είναι $\displaystyle{ 1 < x < 6 }$
που αν παρατηρήσουμε μας δίνει αυτόματα το 5χ θετικό!!

Πχ. β) Όμοια αν πάρουμε τώρα την $\displaystyle{ \left| {x^2 - 6} \right| < - 5x }$
και κάνουμε τα ίδια θα βρούμε κοινές λύσεις $\displaystyle{ - 6 < x < - 1 }$
που πάλι το -5χ είναι θετικό!!

Β. Συμπέρασμα: Δεν υπάρχει παράδειγμα της μορφής $\displaystyle{ \left| {P\left( x \right)} \right| < Q\left( x \right) }$
με P(x),Q(x) πολυώνυμα, που να την λύσετε (δηλ. αφού βρείτε τις κοινές λύσεις) και το Q(x) να γίνεται αρνητικό έστω και για μια τιμή τουλάχιστον. Δηλαδή κατά την επίλυση αυτόματα σου δίνει τις σωστές λύσεις χωρίς διερεύνηση του β μέλους...

Γ. Αυτό δεν λες Αναστάση;; Άρα για αυτό ορίζεις και την ανάλογη ισοδυναμία;; Ζωστά;

#20

Μάκης Χατζόπουλος έγραψε:Αναστάση αν και δεν ήμουν θετικός στην αρχή νομίζω τώρα που το έψαξα έχεις δίκιο!!

Α> Ξεκινάω με παράδειγμα για να γίνω πιο πειστικός (δίνω και τις λύσεις για να είναι πιο εύκολη η παρακολούθηση της σκέψης μου):

Πχ. α) Έστω $\displaystyle{ \left| {x^2 - 6} \right| < 5x }$
τότε γίνεται $\displaystyle{ - 5x < x^2 - 6 < 5x }$

Αν λύσουμε την αριστερή ανίσωση, $\displaystyle{ - 5x < x^2 - 6 \Leftrightarrow x^2 - 5x - 6 > 0 }$
άρα έχει λύσεις $\displaystyle{ x < - 6 }$ ή $\displaystyle{ x > 1}$

Λύνουμε την δεξιά ανίσωση, $\displaystyle{ x^2 - 6 < 5x \Leftrightarrow x^2 - 5x - 6 < 0 }$
και βρίσκουμε εύκολα $\displaystyle{ - 1 < x < 6 }$

Οπότε οι κοινές λύσεις είναι $\displaystyle{ 1 < x < 6 }$
που αν παρατηρήσουμε μας δίνει αυτόματα το 5χ θετικό!!

Πχ. β) Όμοια αν πάρουμε τώρα την $\displaystyle{ \left| {x^2 - 6} \right| < - 5x }$
και κάνουμε τα ίδια θα βρούμε κοινές λύσεις $\displaystyle{ - 6 < x < - 1 }$
που πάλι το -5χ είναι θετικό!!

Β. Συμπέρασμα: Δεν υπάρχει παράδειγμα της μορφής $\displaystyle{ \left| {P\left( x \right)} \right| < Q\left( x \right) }$
με P(x),Q(x) πολυώνυμα, που να την λύσετε (δηλ. αφού βρείτε τις κοινές λύσεις) και το Q(x) να γίνεται αρνητικό έστω και για μια τιμή τουλάχιστον. Δηλαδή κατά την επίλυση αυτόματα σου δίνει τις σωστές λύσεις χωρίς διερεύνηση του β μέλους...

Γ. Αυτό δεν λες Αναστάση;; Άρα για αυτό ορίζεις και την ανάλογη ισοδυναμία;; Σωστά;

Γιάπ!

Προβληματισμός σχετικά με τις απόλυτες τιμές

Προβληματισμός σχετικά με τις απόλυτες τιμές

Re: Προβληματισμός

Re: Προβληματισμός

Re: Προβληματισμός

Re: Προβληματισμός

Re: Προβληματισμός

Re: Προβληματισμός

Re: Προβληματισμός

Re: Προβληματισμός

Re: Προβληματισμός

Re: Προβληματισμός

Re: Προβληματισμός

Re: Προβληματισμός

Re: Προβληματισμός

Re: Προβληματισμός

Re: Προβληματισμός σχετικά με τις απόλυτες τιμές

Re: Προβληματισμός

Re: Προβληματισμός

Re: Προβληματισμός σχετικά με τις απόλυτες τιμές

Re: Προβληματισμός σχετικά με τις απόλυτες τιμές

Μέλη σε σύνδεση