mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Μάιος 10, 2009 3:15 pm**

Καθώς κάναμε επανάληψη σχολείο μας βάζει ο καθηγητής μία ανίσωση του τύπου $\frac{x-1}{x-2}<0$ και όταν σηκώθηκε ένα παιδί να τη λύσει είπε πως αρχικά θα πάρουμε $x\neq2$ .Δεν έφερε κάποια αντίρρηση απλά στο τέλος μας είπε ότι σε περίπτωση που έχουμε καθαρή ανισότητα δεν χρειάζεται να πάρουμε περιορισμό διότι αποκλείεται να αποτελεί ο περιορισμός λύση(και μάλιστα μας είπε ότι είχε ''τσακωθεί'' με συνάδελφο άλλου σχολείου πάνω σε αυτό το θέμα).Εγώ από τη μεριά μου νομίζω πως οφείλουμε να πάρουμε τον περιορισμό για να δείξουμε για ποιες τιμές της μεταβλητής έχει νόημα η παράσταση.Θα μου πείτε μπει δε μπει ο περιορισμός το ίδιο είναι ή ότι δεν είναι και τόσο σοβαρό το θέμα όμως νομίζω πως θα είχε ενδιαφέρον να ακουστούν και άλλες γνώμες.

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Μάιος 10, 2009 3:30 pm**

Να συνεχίσεις να βάζεις τους περιορισμούς.
Επειδή καθόμαστε στην ίδια περιοχή δεν θα πω τίποτε άλλο.
Θωμάς

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Μάιος 10, 2009 3:33 pm**

Aν θέλεις τη γνώμη μου, αυτή είναι πως πρέπει να λαμβάνεις υπ'όψη σου τον περιορισμό, έτσι ώστε σε κάθε σου βήμα να τηρείς το ''ισοδύναμο'' του συλλογισμού σου...Είναι , νομίζω καθαρά θέμα μαθηματικής λογικής.

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Μάιος 10, 2009 3:55 pm**

Πολλές φορές οι μαθητές αντιλαμβάνονται διαφορετικά αυτό που λέει ο καθηγητής. Βέβαια το φταίξιμο είναι του καθηγητή που δεν έγινε κατανοητός. Η συγκεκριμένη περίπτωση έχει να κάνει με την παρακάτω ισοδυναμία:
Α(Χ)/Β(Χ)>0 ισοδύναμα Α(Χ)Β(Χ)>0. Επομένως η ισοδυναμία διατηρείται με αυτόν τον τρόπο και όχι με τον περιορισμό
Β(Χ) διάφορο του μηδέν. Επιπλέον οι λύσεις της ανίσωσης Α(Χ)Β(Χ)>0 προφανώς δεν μηδενίζουν τον παρονομαστή
Β(Χ). Με άλλα λογια ο περιορισμός Β(Χ) διάφορο του μηδέν εμπεριέχεται στην Α(Χ)Β(Χ)>0. Πιστεύω ότι αυτό ήθελε να πεί ο καθηγητής.

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Μάιος 10, 2009 3:58 pm**

Kαι σ'αυτήν την περίπτωση τι θα έπαιρνε ως λύση;
$\displaystyle{\displaystyle \frac{{x - 1}} {{\left( {x - 2} \right)^2 }} > 0 }$

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Μάιος 10, 2009 4:05 pm**

Και στην περίπτωση αυτή ζητούμε τις τιμές του χ ώστε η παράσταση να είναι θετική. Άρα μέσω του γινομένου εξαιρείται η τιμή που μηδενίζει τον παρονομαστή. Ας μην μπρδεύουμε τα πράγματα και τους μαθητές μας.

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Μάιος 10, 2009 4:07 pm**

Συμφωνώ, αλλά δεν είμαι εγω αυτός που τα μπερδεύει...
Σταματάω εδώ και απο εδω και πέρα θα τους μαθαίνω πως Α(χ)/Β(χ)>0 και Α(χ)Β(χ) είναι ισοδύναμα..
Ευχαριστώ για τις διευκρινίσεις. Να'στε καλά!

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Μάιος 10, 2009 4:15 pm**

Συνάδελφε χρησιμοποίησα πληθυντικό στο "μπερδεύουμε " και δεν είχα σκοπό να θίξω κανένα. Συγγνώμη αν φάνηκε κάτι τέτοιο στο κείμενο.

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Μάιος 11, 2009 12:02 am**

Αρραγε την ισοδυναμία μετάβασης από το πηλίκο στο γινόμενο πώς την αποδείξαμε,χωρίς τον περιορισμό Β(Χ) διάφορο του μηδενός? Οι περιορισμοί πρέπει να τίθενται ΟΠΩΣΔΗΠΟΤΕ και πάντως είναι κρίμα να διαφωνούμε σε θέματα που λύνονται με μια απλή ανάγνωση του σχολικού.Απαντώ γιατί κατάλαβα ότι την αρχική απορία την είχε μαθητής.
Με την ευκαιρία μια θερμή καλησπέρα σε όλους τους ΦΙΛΟΥΣ!!! ΓΙΑΝΝΗΣ

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Μάιος 11, 2009 12:22 am**

Το σχολικό της Α. Λυκείου πάντως λέει αυτό που γράφει ο sorfan. Πάντως και γω είμαι υπέρ της άποψης να μπαίνουν οι περιορισμοί ώστε όταν χρειάζεται ο περιορισμός να μην τον ξεχάσουν.

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Μάιος 11, 2009 12:33 am**

Συμφωνώ κι εγώ. Το κλάσμα $\frac{a}{b}$ είναι θετικό, μόνον όταν οι αριθμοί a, b

είναι ομόσημοι (αποκλείεται η περίπτωση μηδενισμού κάποιου από τους δύο) κι αυτό συμβαίνει μόνον όταν ab>0

.

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Μάιος 11, 2009 12:38 am**

Αντιγράφω από το σχολικό βιβλίο σελίδα 149

Επειδή καμία από τις λύσεις της Α(χ)Β(χ)<0 δεν μηδενίζει το Β(χ), η επίλυση π.χ της ανίσωσης Α(χ)/Β(χ)>0 ανάγεται στην επίλυση της Α(χ)Β(χ)>0 .
Επίσης για να λύσουμε την Α(χ)/Β(χ)>=0 , αρκεί να λύσουμε την Α(χ)Β(χ)>=0 και από τις λύσεις της να εξαιρέσουμε όσες μηδενίζουν το Β(χ).

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ: Σύμφωνα με το σχολικό λοιπόν για τη λύση της ανισότητας με γνήσια μικρότερο δε χρειάζεται περιορισμός, ενώ για τη λύση της ανισο-ισότητας χρειάζεται περιορισμός......

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Μάιος 11, 2009 12:56 am**

Σωστά: Η ανισοΐσότητα $\frac{a}{b}\geq 0$ συμβαίνει μόνον όταν $\frac{a}{b}>0[\Leftrightarrow ab>0]$ ή $\frac{a}{b}=0[\Leftrightarrow (a=0,b\neq 0)]$ , δηλαδή όταν ab>0

ή $(a=0,b\neq 0)$ που είναι ισοδύναμο - μια και η
συνθήκη ab>0

εμπεριέχει την $b\neq 0$ - με: $(ab>0, b\neq 0)$ ή $(a=0,b\neq 0)$ . Ισοδύναμα: $ab\geq 0, b\neq 0$ .

Λεωνίδας

ΥΓ: Δεν ξέρω αν έγινα σαφής στο προηγούμενο μήνυμα: Πιστεύω ότι δεν χρειάζεται να παίρνουμε περιορισμό για τον παρονομαστή στη μετάβαση από πηλίκο σε γινόμενο όταν έχουμε ανισότητα. Μόνο σε ανισοΐσότητα. Καλό βράδυ σε όλους.

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Μάιος 11, 2009 1:28 am**

Είναι ένα διδακτικο μαθηματικό ολισθήμα.
Επιτρέψτε μου να διαφωνήσω η άποψη μου είναι η εξής , σε οτιδήποτε μας δίνουν να λύσουμε η να επεξεργαστούμε
Είναι απαραίτητο να πάρουμε περιορισμούς δηλαδή να βρούμε το ευρύτερο δυνατό υποσύνολο του R ,που η ανίσωση έχει μαθηματικό νόημα ( με απλά λόγια το πεδίο ορισμού της οποιαδήποτε σχέσης).
Π.χ

$\displaystyle{\begin{array}{l} {\rm N}\alpha {\rm{ }}\lambda \upsilon \theta \varepsilon \iota {\rm{ }}\eta \frac{{x - \sqrt x }}{{\sqrt x - 1}} > 0 \\ \Lambda \alpha \theta o\varsigma \Lambda \Upsilon \Sigma {\rm H} \\ \Gamma \iota \alpha \chi \ge 0 \\ \frac{{x - \sqrt x }}{{\sqrt x - 1}} > 0 \\ \frac{{\sqrt x (\sqrt x - 1)}}{{\sqrt x - 1}} < 0 \\ \sqrt x > 0 \\ \end{array}}$
Αρα εχουμε χ>0 που προφανως ειναι λαθος .

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Μάιος 11, 2009 1:40 am**

Εύστοχο το παραδειγμα, αλλά δεν αναιρεί αυτό που λέει το σχολικό βιβλίο, διότι απλοποίησες, ενώ από τη μορφή Α(χ)/Β(χ)>0 του βιβλίου είναι σαφές ότι περνάμε στη μορφή Α(χ)Β(χ)>0 χωρίς απλοποιήσεις.
Μου θύμισε αυτό που λέμε στους μαθητές ότι για να βρούμε το πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης δεν κάνουμε πρώτα "αλλαγές" και "απλοποιήσεις" στον τύπο της συνάρτησης..
Βέβαια είναι προφανές ότι μετά την απλοποίηση είναι πιο εύκολη η επίλυση της ανισότητας....

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Μάιος 11, 2009 1:48 am**

Ακριβως για να μην << απογορευσουμε >> και την απλοποιηση ειναι καλυτερα να αφησουμε το σχολικο στην ακρη.... να μην τα μπερδεψουμε κ΄ αλλο τα παιδια, μια περνω περιορισμους την αλλη δεν περνω, και τελικα οι μαθητες δεν περνουν ποτε γιατι το λεει το σχολικο .

vasilis kalamatas έγραψε:Εύστοχο το παραδειγμα, αλλά δεν αναιρεί αυτό που λέει το σχολικό βιβλίο, διότι απλοποίησες, ενώ από τη μορφή Α(χ)/Β(χ)>0 του βιβλίου είναι σαφές ότι περνάμε στη μορφή Α(χ)Β(χ)>0 χωρίς απλοποιήσεις.
Μου θύμισε αυτό που λέμε στους μαθητές ότι για να βρούμε το πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης δεν κάνουμε πρώτα "αλλαγές" και "απλοποιήσεις" στον τύπο της συνάρτησης..
Βέβαια είναι προφανές ότι μετά την απλοποίηση είναι πιο εύκολη η επίλυση της ανισότητας....

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Μάιος 11, 2009 1:50 am**

Τηλέγραφος Κώστας έγραψε:Είναι ένα από τα μαθηματικά ολισθήματα
Επιτρέψτε μου να διαφωνήσω η άποψη μου είναι η εξής , σε οτιδήποτε μας δίνουν να λύσουμε η να επεξεργαστούμε
Είναι απαραίτητο να πάρουμε περιορισμούς δηλαδή να βρούμε το ευρύτερο δυνατό υποσύνολο του R ,που η ανίσωση έχει μαθηματικό νόημα ( με απλά λόγια το πεδίο ορισμού της οποιαδήποτε σχέσης).
Π.χ

$\displaystyle{\begin{array}{l} {\rm N}\alpha {\rm{ }}\lambda \upsilon \theta \varepsilon \iota {\rm{ }}\eta \frac{{x - \sqrt x }}{{\sqrt x - 1}} > 0 \\ \Lambda \alpha \theta o\varsigma \Lambda \Upsilon \Sigma {\rm H} \\ \Gamma \iota \alpha \chi \ge 0 \\ \frac{{x - \sqrt x }}{{\sqrt x - 1}} > 0 \\ \frac{{\sqrt x (\sqrt x - 1)}}{{\sqrt x - 1}} < 0 \\ \sqrt x > 0 \\ \end{array}}$
Αρα εχουμε χ>0 που προφανως ειναι λαθος .

Καλημέρα
Καταρχήν πρέπει $x\geq 0$

$\frac{\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)}{(\sqrt{x}-1)}>0\Leftrightarrow \sqrt{x}(\sqrt{x}-1)^2>0\Leftrightarrow x> 0$ και $x\neq 1$

Γιώργος

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Μάιος 11, 2009 1:53 am**

Καλημέρα.
Συζητάμε τα αυτονόητο, Τι θέλει να διδάξει ο καθηγητής και γιατί.
Είναι γεγονός ότι οι συνεχείς εκπτώσεις (απλουστεύσεις) στα μαθηματιικά δημιουργούν κάποια στιγμή προβλήματα.
Οι περιορισμοί καλό είναι να μπαίνουν για να συνηθίσουν οι μαθητές σε μεταγενέστερες ένοιες.
Σε ένα διαγώνισμα αν ο μαθητής σε μια τέτοια περίπτωση

% MathType!Translator!2!1!AMS LaTeX.tdl!TeX -- AMS-LaTeX!
% MathType!MTEF!2!1!+-
% feaaguart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn
% hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr
% 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9
% vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x
% fr-xb9adbeqabeqaceGabiqabeqabmqabeabbaGcbaWaaSaaaeaaca
% WG4bGaeyOeI0IaaGOmaaqaaiaadIhacqGHsislcaaIXaaaaiabgYda
% 8iaaicdacqGHuhY2caGGOaGaamiEaiabgkHiTiaaikdacaGGPaGaai
% ikaiaadIhacqGHsislcaaIXaGaaiykaiabgYda8iaaicdaaaa!4928!

\displaystyle \frac{{x - 2}}
{{x - 1}} < 0 \Leftrightarrow (x - 2)(x - 1) < 0 % MathType!End!2!1!

δεν βάλει περιορισμούς δεν κόβεις μονάδες, όμως καλό είναι διδακτικά να κρατιέται ενοιαία τακτική.
Βάζουμε περιορισμούς και προχωράμε.
Συμφωνώ απόλυτα με τον Κώστα.

Θωμάς

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Μάιος 11, 2009 2:04 am**

Γιωργο εδω τη θα κανες
$\displaystyle{{{\rm{N}}\alpha \lambda \upsilon \theta \varepsilon \iota \eta \frac{{x - \sqrt { - x} }}{{\sqrt x - 1}} > 0}}$
Δεν υποστηριζω οτι ο τροπος του σχολικου ειναι λαθος ,αλλα οτι ειναι διδακτικα απαραδεκτος .

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Μάιος 11, 2009 2:14 am**

Τηλέγραφος Κώστας έγραψε:Γιωργο εδω τη θα κανες
$\displaystyle{{{\rm{N}}\alpha \lambda \upsilon \theta \varepsilon \iota \eta \frac{{x - \sqrt { - x} }}{{\sqrt x - 1}} > 0}}$
Δεν υποστηριζω οτι ο τροπος του σχολικου ειναι λαθος ,αλλα οτι ειναι διδακτικα απαραδεκτος .

Καταρχήν πρέπει $-x\geq 0$ και $x\geq 0$ δηλαδή x =0 που δεν είναι δεκτή τιμή. Η ανίσωση είναι αδύνατη.

Κώστα δεν υπάρχει ουσιαστική διαφωνία. Έχω την γνώμη να παίρνουμε μόνο τους απαραίτητους περιορισμούς.

Φιλικά Γιώργος

mathematica.gr

Περιορισμοί

Περιορισμοί

Re: Περιορισμοί

Re: Περιορισμοί

Re: Περιορισμοί

Re: Περιορισμοί

Re: Περιορισμοί

Re: Περιορισμοί

Re: Περιορισμοί

Re: Περιορισμοί

Re: Περιορισμοί

Re: Περιορισμοί

Re: Περιορισμοί

Re: Περιορισμοί

Re: Περιορισμοί

Re: Περιορισμοί

Re: Περιορισμοί

Re: Περιορισμοί

Re: Περιορισμοί

Re: Περιορισμοί

Re: Περιορισμοί