Σχετικά Πρώτοι Αριθμοί

Συντονιστής: s.kap

dimitriskouf
Δημοσιεύσεις: 12
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 07, 2016 6:59 am

Σχετικά Πρώτοι Αριθμοί

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dimitriskouf » Παρ Ιαν 08, 2016 11:46 am

Πόσοι θετικοί ακέραιοι μικρότεροι ή ίσοι του 1000 είναι σχετικά πρώτοι με το 15?


Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8181
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Σχετικά Πρώτοι Αριθμοί

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Σάβ Ιαν 09, 2016 12:25 pm

Υπόδειξη: Αρχή αποκλεισμού-εγκλεισμού.


christodoulos703
Δημοσιεύσεις: 72
Εγγραφή: Τετ Αύγ 03, 2016 1:57 pm

Re: Σχετικά Πρώτοι Αριθμοί

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από christodoulos703 » Τρί Αύγ 23, 2016 11:46 am

Ευχάριστο πρόβλημα.Παρομοιο του έχει προταθεί και στον διαγωνισμό Ευκλειδη.Απλα βρίσκουμε το πλήθος των πολ3 και των πολ5 ως το 1000 και αφαιρούμε από το νούμερο που προκύπτει το πλήθος των κοινών πολλαπλάσιων του 3 και του 5. Μετα αφαιρούμε από το 1000 το νέο νούμερο που έχει προκύψει και έχουμε βρει το πλήθος των ζητούμενων αριθμών. Πηραμε τα πολλαπλάσια των 3 και 5 γιατί 15=3*5. Με άλλα λόγια βρήκαμε τους αριθμούς που δεν διαιρούνται με το 3 ή το 5.


Χατζηγρηγοριάδης Χριστόδουλος
sot arm
Δημοσιεύσεις: 178
Εγγραφή: Τρί Μάιος 03, 2016 5:25 pm

Re: Σχετικά Πρώτοι Αριθμοί

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από sot arm » Τρί Αύγ 23, 2016 1:04 pm

Έστω \displaystyle{A_{1}} το σύνολο όλων των αριθμών μικρότερων του 1.000 που διαρούνται με το 3 και έστω \displaystyle{A_{2}} το σύνολο όλων των αριθμών μικρότερων του 1.000 που διαιρούνται με το 5.Έχω:
\displaystyle{|A_{1}|=\left \lceil \frac{1000}{3} \right \rceil = 333, 
|A_{2}|=\left \lfloor \frac{1000}{5} \right \rfloor = 200 , 
|A_{1}\cup A_{2}|=\left \lfloor \frac{1000}{15} \right \rfloor = 66}
Τέλος το πλήθος των ζητούμενων αριθμών είναι, από την αρχή αποκλεισμού εγκλεισμού :
\displaystyle{|\bar{A_{1}}\cap  \bar{A_{2}}|= |S|-[|A_{1}|+|A_{2}|]+|A_{1}\cap A_{2}|=1000-333-200+66=533}


Αρμενιάκος Σωτήρης
stranger
Δημοσιεύσεις: 44
Εγγραφή: Δευ Ιαν 14, 2019 6:12 am
Τοποθεσία: United States of America

Re: Σχετικά Πρώτοι Αριθμοί

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από stranger » Τετ Ιαν 16, 2019 5:50 am

Πιο απλά, το πηλίκο της διαίρεσης του 1000 με το 15 είναι 66 και το υπόλοιπο 10 και το πλήθος των φυσικών αριθμών που είναι μικρότεροι η ίσοι του 10 και είναι σχετικά πρώτοι με το 15 είναι 5.
Αρα το ζητούμενο πλήθος ειναι 66\phi(15)+5=66 \times 8+5=533.


Κωνσταντίνος Σμπώκος
Μαθηματικός
Απάντηση

Επιστροφή σε “Μαθηματική απόδειξη & Λογική”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης