Σελίδα 1 από 1

Ένα προς ένα και επί συνάρτηση

Δημοσιεύτηκε: Κυρ Αύγ 18, 2019 2:32 am
από lefsk
Δίνονται a,b \in \mathbb{Z}, a < b. Έστω A= \left \{ x\in \mathbb{Q}, a\leq x\leq b \right \} και B= \left \{ x\in \mathbb{Z}, a\leq x\leq b \right \}. Κάθε συνάρτηση 1-1 από το A στο A είναι επί, Σωστό ή Λάθος; Κάθε συνάρτηση 1-1 από το A στο B είναι επί, Σωστό ή Λάθος; Κάθε συνάρτηση 1-1 από το B στο B είναι επί, Σωστό ή Λάθος;

Νομίζω ότι Σωστές είναι η πρόταση 2 και 3. Και η πρόταση 1 Λάθος. Μπορεί κάποιος να βοηθήσει;
Για την Πρόταση 1 σκέφτηκα την f(x)=\frac{1}{2}x+1 με a=1, b=4 που δεν βγαίνει επί, αφού το σύνολο τιμών είναι υποσύνολο του πεδίου τιμών.

Re: Ένα προς ένα και επί συνάρτηση

Δημοσιεύτηκε: Κυρ Αύγ 18, 2019 5:41 am
από stranger
Το 2 είναι τετριμένα σωστό γιατί δεν υπάρχει καμία 1-1 συνάρτηση από το Α στο Β αφού το Α είναι άπειρο και το Β πεπερασμένο.
Το 3 είναι σωστό γιατί το Β είναι πεπερασμένο.
Το 1 είναι λάθος αφού το Α είναι άπειρο σύνολο.Μια ιδέα για να το δείξουμε είναι να πούμε ότι θεωρούμε ένα άπειρο γνήσιο υποσύνολο του Α(έστω Γ).Τότε το Α είναι ισοπληθικό με το Γ(άπειρα αριθμήσιμα και τα δυο) και άρα αυτό σημαίνει ότι υπάρχει συνάρτηση από το Α στο Γ 1-1 και επί.Τότε έχουμε ότι η συνάρτηση αυτή είναι 1-1 αλλά όχι επί του Α.Τελειώσαμε.

Re: Ένα προς ένα και επί συνάρτηση

Δημοσιεύτηκε: Κυρ Αύγ 18, 2019 11:51 am
από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
lefsk έγραψε:
Κυρ Αύγ 18, 2019 2:32 am
Δίνονται a,b \in \mathbb{Z}, a < b. Έστω A= \left \{ x\in \mathbb{Q}, a\leq x\leq b \right \} και B= \left \{ x\in \mathbb{Z}, a\leq x\leq b \right \}. Κάθε συνάρτηση 1-1 από το A στο A είναι επί, Σωστό ή Λάθος; Κάθε συνάρτηση 1-1 από το A στο B είναι επί, Σωστό ή Λάθος; Κάθε συνάρτηση 1-1 από το B στο B είναι επί, Σωστό ή Λάθος;

Νομίζω ότι Σωστές είναι η πρόταση 2 και 3. Και η πρόταση 1 Λάθος. Μπορεί κάποιος να βοηθήσει;
Για την Πρόταση 1 σκέφτηκα την f(x)=\frac{1}{2}x+1 με a=1, b=4 που δεν βγαίνει επί, αφού το σύνολο τιμών είναι υποσύνολο του πεδίου τιμών.
Για την γενική περίπτωση μπορείς να πάρεις την

f(x)=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}a

Re: Ένα προς ένα και επί συνάρτηση

Δημοσιεύτηκε: Κυρ Αύγ 18, 2019 11:54 am
από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
stranger έγραψε:
Κυρ Αύγ 18, 2019 5:41 am
Το 2 είναι τετριμένα σωστό γιατί δεν υπάρχει καμία 1-1 συνάρτηση από το Α στο Β αφού το Α είναι άπειρο και το Β πεπερασμένο.
Το 3 είναι σωστό γιατί το Β είναι πεπερασμένο.
Το 1 είναι λάθος αφού το Α είναι άπειρο σύνολο.Μια ιδέα για να το δείξουμε είναι να πούμε ότι θεωρούμε ένα άπειρο γνήσιο υποσύνολο του Α(έστω Γ).Τότε το Α είναι ισοπληθικό με το Γ(άπειρα αριθμήσιμα και τα δυο) και άρα αυτό σημαίνει ότι υπάρχει συνάρτηση από το Α στο Γ 1-1 και επί.Τότε έχουμε ότι η συνάρτηση αυτή είναι 1-1 αλλά όχι επί του Α.Τελειώσαμε.

3. Τα Μαθηματικά πρέπει να είναι αποκλειστικά γραμμένα σε LaTeX. Πολλές πληροφορίες και οδηγίες υπάρχουν στον φάκελο Οδηγίες για γραφή με TeX και βασικές οδηγίες στο Εισαγωγικές Οδηγίες για Εισαγωγή Μαθηματικού Κειμένου. Για τα νέα μέλη που δεν είναι εξοικειωμένα με το LaTeX η εκμάθηση (μπορούν να εξοικειωθούν γράφοντας μόνο στον φάκελο Δοκιμές Γραφής με Tex ) προηγείται της αποστολής μηνυμάτων. Στην προσπάθεια τους αυτή θα έχουν την βοήθεια των πιο έμπειρων μελών μας. Επισημαίνουμε ότι στο LaTeX πρέπει να γράφονται όχι μόνο οι τύποι αλλά ο οποιοσδήποτε μαθηματικός συμβολισμός (γράμματα για σημεία, σχήματα, γωνίες, συναρτήσεις, σύνολα κ.τ.λ.). Μεικτός συμβολισμός, περιγραφή των σχέσεων, χρήση κώδικα ascii ή ansii, χρήση συνημμένου εικόνας, .doc, .pdf (εξαιρούνται τα σχήματα) δεν είναι αποδεκτά.

Re: Ένα προς ένα και επί συνάρτηση

Δημοσιεύτηκε: Τρί Σεπ 03, 2019 7:27 pm
από MathSc
Καλησπέρα! Συγγνώμη για την ενόχληση αλλά πώς μπορώ να εξηγήσω γιατί το 2 είναι τετριμενα σωστό; δηλαδή αν κάποιος με ρωτήσει, πώς θα του απαντήσω; Το ότι δεν ισχύει το πρώτο μέρος της πρότασης αυτής, πως την κάνει σωστή; Ευχαριστώ

Re: Ένα προς ένα και επί συνάρτηση

Δημοσιεύτηκε: Τετ Σεπ 04, 2019 7:19 am
από stranger
Ο λόγος είναι επειδή δεν υπάρχει καμία 1-1 συνάρτηση από το A στο B.Αυτό συμβαίνει γιατί όταν υπάρχει μια 1-1 συνάρτηση από το X στο Y τότε έχουμε ότι το σύνολο X έχει πληθάριθμο μικρότερο η ίσο του Y.Όμως στο παράδειγμα σου το σύνολο A είναι άπειρο και το B πεπερασμένο.
Στα μαθηματικά όταν έχουμε προτάσεις της μορφής για κάθε x στο σύνολο M συνεπάγεται P(x) τότε αν δεν υπάρχει κανένα x στο σύνολο M τότε η πρόταση είναι αυτομάτως σωστή όποια και να είναι η ιδιότητα P(x).
Για παράδειγμα ξέρουμε ότι το κενό σύνολο είναι υποσύνολο κάθε συνόλου.Ισοδύναμα έχουμε την πρόταση : Για κάθε x στο \emptyset ισχύει x \in M,όπου δεν υπάρχει κανένα x στο \emptyset.
Αν δεν έχεις πειστεί ακόμα και θες κάποιου είδους απόδειξη τότε θεώρησε μια τυχαία ιδιότητα P και θεώρησε την πρόταση: Για κάθε x στο \emptyset ισχύει P(x).Η άρνηση αυτής της πρότασης είναι : υπάρχει x στο \emptyset έτσι ώστε να μην ισχύει η P(x) το οποίο είναι άτοπο γιατί δεν υπάρχει κανένα x στο \emptyset.
Τα εξήγησα πολύ αναλυτικά.Δεν πιστέυω να έχεις πρόβλημα στην κατανόηση.

Re: Ένα προς ένα και επί συνάρτηση

Δημοσιεύτηκε: Τετ Σεπ 04, 2019 9:51 pm
από lefsk
Ευχαριστώ πάρα πολύ! Με βοηθήσατε πολύ!