mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Αύγ 18, 2019 1:26 am**

Αν $x,y \in \mathbb{R}$ ώστε να ισχύει $x<y+\varepsilon , \forall \varepsilon > 0$ , δείξτε ότι $x\leq y.$

Θεώρησα ότι x>y

, προς απαγωγή σε άτοπο. Τότε $x+\varepsilon >y+\varepsilon >x\Rightarrow \varepsilon >0$ που ισχύει και δεν καταλήγω σε άτοπο.
Μπορεί να μού πει κάποιος πού κάνω λάθος;

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Αύγ 18, 2019 1:33 am**

nikolasuoi έγραψε: ↑
Κυρ Αύγ 18, 2019 1:26 am
Αν $x,y \in \mathbb{R}$ ώστε να ισχύει $x<y+\varepsilon , \forall \varepsilon > 0$ , δείξτε ότι $x\leq y.$

Θεώρησα ότι , προς απαγωγή σε άτοπο. Τότε $x+\varepsilon >y+\varepsilon >x\Rightarrow \varepsilon >0$ που ισχύει και δεν καταλήγω σε άτοπο.
Μπορεί να μού πει κάποιος πού κάνω λάθος;

Δεν κάνεις κανένα λάθος, δεν είναι απαραίτητο οτι οποιαδήποτε λάθος υπόθεση κάνεις να καταλήξεις σε άτοπο. Δοκίμασε κάποιον άλλον συλλογισμό. Για να σε βοηθήσω να καταλήξεις σε αυτόν σκέψου το γεωμετρικά, βαλε πάνω στην ευθεία τα x, y

δες τι σημαίνει η συνθήκη με το ε. Βλέπεις κάποια ε για τα οποία καταλήγεις σε άτοπο;

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Αύγ 18, 2019 4:55 pm**

sot arm έγραψε: ↑
Κυρ Αύγ 18, 2019 1:33 am

nikolasuoi έγραψε: ↑
Κυρ Αύγ 18, 2019 1:26 am
Αν $x,y \in \mathbb{R}$ ώστε να ισχύει $x<y+\varepsilon , \forall \varepsilon > 0$ , δείξτε ότι $x\leq y.$

Θεώρησα ότι , προς απαγωγή σε άτοπο. Τότε $x+\varepsilon >y+\varepsilon >x\Rightarrow \varepsilon >0$ που ισχύει και δεν καταλήγω σε άτοπο.
Μπορεί να μού πει κάποιος πού κάνω λάθος;
Δεν κάνεις κανένα λάθος, δεν είναι απαραίτητο οτι οποιαδήποτε λάθος υπόθεση κάνεις να καταλήξεις σε άτοπο. Δοκίμασε κάποιον άλλον συλλογισμό. Για να σε βοηθήσω να καταλήξεις σε αυτόν σκέψου το γεωμετρικά, βαλε πάνω στην ευθεία τα δες τι σημαίνει η συνθήκη με το ε. Βλέπεις κάποια ε για τα οποία καταλήγεις σε άτοπο;

Αντιλαμβάνομαι ότι αν y< x

, τότε θα υπήρχε $\varepsilon$ τέτοιο, ώστε $y+\varepsilon \leq x$ , που είναι αντίθετο με το δεδομένο. Άρα πρέπει $x\leq y.$
Όμως είναι αρκετό αυτό ως απόδειξη; Τί είναι αυτό που λείπει;
Τα $\varepsilon$ για τα οποία έχω άτοπο είναι τα $\varepsilon \leq x-y$ .

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Αύγ 18, 2019 5:19 pm**

nikolasuoi έγραψε: ↑
Κυρ Αύγ 18, 2019 4:55 pm
Αντιλαμβάνομαι ότι αν , τότε θα υπήρχε $\varepsilon$ τέτοιο, ώστε $y+\varepsilon \leq x$ , που είναι αντίθετο με το δεδομένο. Άρα πρέπει $x\leq y.$
Όμως είναι αρκετό αυτό ως απόδειξη; Τί είναι αυτό που λείπει;
Τα $\varepsilon$ για τα οποία έχω άτοπο είναι τα $\varepsilon \leq x-y$ .

Σωστά. Όμως σπεύδω να επαναλάβω ένα μήνυμά μου που σου έγραψα πρόσφατα:

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Σάβ Αύγ 10, 2019 6:31 pm

Αν είναι φοιτητής Μαθηματικού, πρέπει να τα ξεκαθαρίσεις όλα αυτά. Είναι στο επίπεδο της αρχής (όροφος μηδέν). Το οικοδόμημα αρχίζει από εκεί και πέρα.

Ο λόγος που το λέω είναι γιατί η παραπάνω είναι ιδιαίτερα απλή άσκηση η οποία τυχαίνει να είναι στην καρδιά των συλλογισμών της Ανάλυσης. Δεν πρέπει να κολλάς σε τέτοιες ασκήσεις. Σε παροτρύνω να τις λύνεις μόνος σου, όσο χρόνο και αν σου παίρνει. Έχεις περισσότερα να κερδίσεις αν ακολουθήσεις την συμβουλή που σου δίνω παρά να ρωτάς με πρώτη ευκαιρία το φόρουμ. Όπως και να είναι, εδώ είμαστε για όποια βοήθεια μας ζητήσεις.

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Αύγ 18, 2019 5:20 pm**

nikolasuoi έγραψε: ↑
Κυρ Αύγ 18, 2019 4:55 pm

sot arm έγραψε: ↑
Κυρ Αύγ 18, 2019 1:33 am

nikolasuoi έγραψε: ↑
Κυρ Αύγ 18, 2019 1:26 am
Αν $x,y \in \mathbb{R}$ ώστε να ισχύει $x<y+\varepsilon , \forall \varepsilon > 0$ , δείξτε ότι $x\leq y.$

Θεώρησα ότι , προς απαγωγή σε άτοπο. Τότε $x+\varepsilon >y+\varepsilon >x\Rightarrow \varepsilon >0$ που ισχύει και δεν καταλήγω σε άτοπο.
Μπορεί να μού πει κάποιος πού κάνω λάθος;
Δεν κάνεις κανένα λάθος, δεν είναι απαραίτητο οτι οποιαδήποτε λάθος υπόθεση κάνεις να καταλήξεις σε άτοπο. Δοκίμασε κάποιον άλλον συλλογισμό. Για να σε βοηθήσω να καταλήξεις σε αυτόν σκέψου το γεωμετρικά, βαλε πάνω στην ευθεία τα δες τι σημαίνει η συνθήκη με το ε. Βλέπεις κάποια ε για τα οποία καταλήγεις σε άτοπο;
Αντιλαμβάνομαι ότι αν , τότε θα υπήρχε $\varepsilon$ τέτοιο, ώστε $y+\varepsilon \leq x$ , που είναι αντίθετο με το δεδομένο. Άρα πρέπει $x\leq y.$
Όμως είναι αρκετό αυτό ως απόδειξη; Τί είναι αυτό που λείπει;
Τα $\varepsilon$ για τα οποία έχω άτοπο είναι τα $\varepsilon \leq x-y$ .

Αυτή είναι η ιδέα. Προσπάθησε όμως να το γράψεις σωστά. Κάνω την αρχή.

Έστω προς άτοπο ότι x > y

και έστω $\varepsilon = \cdots$

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Αύγ 19, 2019 6:20 am**

Demetres έγραψε: ↑
Κυρ Αύγ 18, 2019 5:20 pm

nikolasuoi έγραψε: ↑
Κυρ Αύγ 18, 2019 4:55 pm

sot arm έγραψε: ↑
Κυρ Αύγ 18, 2019 1:33 am

nikolasuoi έγραψε: ↑
Κυρ Αύγ 18, 2019 1:26 am
Αν $x,y \in \mathbb{R}$ ώστε να ισχύει $x<y+\varepsilon , \forall \varepsilon > 0$ , δείξτε ότι $x\leq y.$

Θεώρησα ότι , προς απαγωγή σε άτοπο. Τότε $x+\varepsilon >y+\varepsilon >x\Rightarrow \varepsilon >0$ που ισχύει και δεν καταλήγω σε άτοπο.
Μπορεί να μού πει κάποιος πού κάνω λάθος;
Δεν κάνεις κανένα λάθος, δεν είναι απαραίτητο οτι οποιαδήποτε λάθος υπόθεση κάνεις να καταλήξεις σε άτοπο. Δοκίμασε κάποιον άλλον συλλογισμό. Για να σε βοηθήσω να καταλήξεις σε αυτόν σκέψου το γεωμετρικά, βαλε πάνω στην ευθεία τα δες τι σημαίνει η συνθήκη με το ε. Βλέπεις κάποια ε για τα οποία καταλήγεις σε άτοπο;
Αντιλαμβάνομαι ότι αν , τότε θα υπήρχε $\varepsilon$ τέτοιο, ώστε $y+\varepsilon \leq x$ , που είναι αντίθετο με το δεδομένο. Άρα πρέπει $x\leq y.$
Όμως είναι αρκετό αυτό ως απόδειξη; Τί είναι αυτό που λείπει;
Τα $\varepsilon$ για τα οποία έχω άτοπο είναι τα $\varepsilon \leq x-y$ .

Αυτή είναι η ιδέα. Προσπάθησε όμως να το γράψεις σωστά. Κάνω την αρχή.

Έστω προς άτοπο ότι και έστω $\varepsilon = \cdots$

Παίρνω $\varepsilon =2\left ( x-y \right )> 0$ , το οποίο ικανοποιεί τη συνθήκη. Τότε, $y+\varepsilon \leq x\Rightarrow y+2\left ( x-y \right )\leq x\Rightarrow y-2y\leq x-2x\Rightarrow y\geq x$ , άτοπο από υπόθεση.

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Αύγ 19, 2019 6:55 am**

Έχεις κάνει λάθος στην υπόθεση.Είναι $x<y+\epsilon$ για κάθε $\epsilon>0$ και όχι $y+\epsilon \leq x$ για κάθε $\epsilon>0$ .
Δοκίμασε να πάρεις ένα μικρότερο $\epsilon$ .Μπορείς να πάρεις όποιο $\epsilon$ θέλεις αρκεί να είναι θετικό.
Κάνε το σχήμα της πραγματικής ευθείας και τότε θα δεις ποιο $\epsilon$ πρέπει να πάρεις.

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Αύγ 19, 2019 7:14 am**

stranger έγραψε: ↑
Δευ Αύγ 19, 2019 6:55 am
Έχεις κάνει λάθος στην υπόθεση.Είναι $x<y+\epsilon$ για κάθε $\epsilon>0$ και όχι $y+\epsilon \leq x$ για κάθε $\epsilon>0$ .
Δοκίμασε να πάρεις ένα μικρότερο $\epsilon$ .Μπορείς να πάρεις όποιο $\epsilon$ θέλεις αρκεί να είναι θετικό.
Κάνε το σχήμα της πραγματικής ευθείας και τότε θα δεις ποιο $\epsilon$ πρέπει να πάρεις.

$\varepsilon =\left ( x-y \right )/2$ , τότε $x<y+\varepsilon \Rightarrow x<y+\left ( x-y \right )/2\Rightarrow x<y$ , άτοπο.

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Αύγ 19, 2019 7:20 am**

Μπράβο!

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Αύγ 19, 2019 7:23 am**

Είχα μπερδευτεί λίγο με τις διάφορες παρεμβάσεις. Σας ευχαριστώ!

mathematica.gr

Αποδεικτική

Αποδεικτική

Re: Αποδεικτική

Re: Αποδεικτική

Re: Αποδεικτική

Re: Αποδεικτική

Re: Αποδεικτική

Re: Αποδεικτική

Re: Αποδεικτική

Re: Αποδεικτική

Re: Αποδεικτική