Σελίδα 1 από 1

Διαμέριση του Χ x Υ

Δημοσιεύτηκε: Πέμ Ιούλ 25, 2019 7:50 pm
από nikolasuoi
Αν X, Y είναι δύο μη κενά σύνολα, \{A_{1}, A_{2}\} μια διαμέριση του X και \{B_{1}, B_{2}, B_{3}\} μια διαμέριση του Y, να δείξετε ότι η \big\{ A_{i} \times B_{j} : i \in \{1, 2\}, j \in \{1, 2, 3\} \big\} είναι μια διαμέριση του X \times Y.

Re: Διαμέριση του Χ x Υ

Δημοσιεύτηκε: Πέμ Ιούλ 25, 2019 11:55 pm
από Mihalis_Lambrou
nikolasuoi έγραψε:
Πέμ Ιούλ 25, 2019 7:50 pm
Αν X, Y είναι δύο μη κενά σύνολα, \{A_{1}, A_{2}\} μια διαμέριση του X και \{B_{1}, B_{2}, B_{3}\} μια διαμέριση του Y, να δείξετε ότι η \big\{ A_{i} \times B_{j} : i \in \{1, 2\}, j \in \{1, 2, 3\} \big\} είναι μια διαμέριση του X \times Y.
Είναι απόλυτα τετριμμένο. Δίνω μόνο υπόδειξη με το παρακάτω σχήμα. Δεν αξίζει περισσότερο μελάνι.

nikolauoi, περιμένουμε εδώ να συμπληρώσεις τις λεπτομέρειες.

Re: Διαμέριση του Χ x Υ

Δημοσιεύτηκε: Παρ Ιούλ 26, 2019 12:47 am
από nikolasuoi
Mihalis_Lambrou έγραψε:
Πέμ Ιούλ 25, 2019 11:55 pm
nikolasuoi έγραψε:
Πέμ Ιούλ 25, 2019 7:50 pm
Αν X, Y είναι δύο μη κενά σύνολα, \{A_{1}, A_{2}\} μια διαμέριση του X και \{B_{1}, B_{2}, B_{3}\} μια διαμέριση του Y, να δείξετε ότι η \big\{ A_{i} \times B_{j} : i \in \{1, 2\}, j \in \{1, 2, 3\} \big\} είναι μια διαμέριση του X \times Y.
Είναι απόλυτα τετριμμένο. Δίνω μόνο υπόδειξη με το παρακάτω σχήμα. Δεν αξίζει περισσότερο μελάνι.

nikolauoi, περιμένουμε εδώ να συμπληρώσεις τις λεπτομέρειες.

Γνωρίζω ότι πρέπει \big\{ A_{i} \times B_{j} \big\} = \cup X\times Y και \cap \left \{ \right.A_{i} \times B_{j}\left. \right \}= \oslash
όμως δυσκολεύομαι με την ολοκληρωμένη γραφή της απόδειξης.

Re: Διαμέριση του Χ x Υ

Δημοσιεύτηκε: Παρ Ιούλ 26, 2019 9:14 am
από Mihalis_Lambrou
nikolasuoi έγραψε:
Παρ Ιούλ 26, 2019 12:47 am
Γνωρίζω ότι πρέπει \big\{ A_{i} \times B_{j} \big\} = \cup X\times Y και \cap \left \{ \right.A_{i} \times B_{j}\left. \right \}= \oslash
όμως δυσκολεύομαι με την ολοκληρωμένη γραφή της απόδειξης.
Κάνε προσπάθεια γιατί είναι ΠΟΛΥ απλό.

Ας επισημάνω ότι τα \big\{ A_{i} \times B_{j} \big\} = \cup X\times Y και \cap \left \{ \right.A_{i} \times B_{j}\left. \right \}= \oslash που γράφεις ως αποδεικτέα, είναι λάθος. Το πρώτη πρέπει να γίνει \cup \big\{ A_{i} \times B_{j} \big\} = X\times Y ενώ στο δεύτερο δεν θέλουμε η τομή όλων των  A_{i} \times B_{j} να είναι κενό αλλά ανά ζεύγη. Αυτά βγαίνουν (υπόδειξη:) από τις αντίστοιχες ιδιότητες των A_{i} ,\,  B_{j}.

Re: Διαμέριση του Χ x Υ

Δημοσιεύτηκε: Παρ Ιούλ 26, 2019 11:46 pm
από nikolasuoi
\left ( \left ( \forall i\in \left \{ 1,2 \right \} \right ) A_{i}\subseteq X\right )\wedge \left ( \left ( \forall j\in \left \{ 1,2,3 \right \} \right ) B_{j}\subseteq Y\right ) \Rightarrow \left ( \forall \left (i,j \right )\in \left \{ 1,2 \right \}\times \left \{ 1,2,3 \right \} \right )A_{i}\times B_{j}\subseteq X\times Y \Rightarrow \cup _{\left (i,j \right )\in \left \{ 1,2 \right \}\times \left \{ 1,2,3 \right \}}A_{i}\times B_{j}\subseteq X\times Y.

Αντίστροφα, για τυχόν ζεύγος \left ( x,y \right ) έχουμε:

\left ( x,y \right )\in X\times Y\Leftrightarrow \left ( x\in X\wedge y\in Y \right )\Rightarrow \left ( \left ( \exists i\in \left \{ 1,2 \right \} \right )x\in A_{i} \right )\wedge \left ( \left ( \exists j\in \left \{ 1,2,3 \right \} \right )y\in B_{j} \right )\Leftrightarrow \left (\exists \left (i,j \right )\in \left \{ 1,2 \right \}\times \left \{ 1,2,3 \right \} \right )\left ( x,y \right )\in A_{i}\times B_{j}\Rightarrow \left ( x,y \right )\in \cup _{\left (i,j \right )\in \left \{ 1,2 \right \}\times \left \{ 1,2,3 \right \}}A_{i}\times B_{j}.

Άρα
\cup _{\left (i,j \right )\in \left \{ 1,2 \right \}\times \left \{ 1,2,3 \right \}}A_{i}\times B_{j}=X\times Y

Επιπλέον, αν ισχύει \left ( i,j \right )\neq \left ( u,v \right ) , έχουμε i\neq u \vee j\neq v, οπότε παίρνουμε:

i\neq u\vee j\neq v\Rightarrow A_{i}\cap A_{u}=\varnothing \vee B_{j}\cap B_{v}=\varnothing \Rightarrow \left ( A_{i}\cap A_{u} \right )\times \left ( B_{j}\cap B_{v} \right )=\left ( A_{i}\times B_{j} \right )\cap \left ( A_{u}\times B_{v} \right )=\varnothing.

Επομένως, η \left \{ A_{i}\times B_{j} \right \} είναι μια διαμέριση του X\times Y.

Είναι ολοκληρωμένη τωρα; Υπάρχει κάποια ένσταση; Γίνεται ακόμα πιο απλά;

Re: Διαμέριση του Χ x Υ

Δημοσιεύτηκε: Σάβ Ιούλ 27, 2019 12:58 am
από Mihalis_Lambrou
nikolasuoi έγραψε:
Παρ Ιούλ 26, 2019 11:46 pm
Είναι ολοκληρωμένη τωρα; Υπάρχει κάποια ένσταση; Γίνεται ακόμα πιο απλά;
:10sta10:

Το μόνο σχόλιο που έχω είναι ότι γράφεις πολύ φορμαλιστικά για ένα τόσο απλό, τετριμμένο, θέμα. Σωστός μεν ο φορμαλισμός, αλλά δεν πρέπει να κάνουμε τα εύκολα να φαίνονται δύσκολα.

Re: Διαμέριση του Χ x Υ

Δημοσιεύτηκε: Σάβ Ιούλ 27, 2019 1:20 am
από nikolasuoi
Ευχαριστώ πάρα πολύ για την ενασχόληση.