Διαμέριση του Χ x Υ

nikolasuoi
Δημοσιεύσεις: 30
Εγγραφή: Δευ Μάιος 16, 2016 11:13 am

Διαμέριση του Χ x Υ

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nikolasuoi » Πέμ Ιούλ 25, 2019 7:50 pm

Αν X, Y είναι δύο μη κενά σύνολα, \{A_{1}, A_{2}\} μια διαμέριση του X και \{B_{1}, B_{2}, B_{3}\} μια διαμέριση του Y, να δείξετε ότι η \big\{ A_{i} \times B_{j} : i \in \{1, 2\}, j \in \{1, 2, 3\} \big\} είναι μια διαμέριση του X \times Y.
τελευταία επεξεργασία από grigkost σε Πέμ Ιούλ 25, 2019 9:11 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Λόγος: διόρθωση κώδικα LaTeX



Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12135
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Διαμέριση του Χ x Υ

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Πέμ Ιούλ 25, 2019 11:55 pm

nikolasuoi έγραψε:
Πέμ Ιούλ 25, 2019 7:50 pm
Αν X, Y είναι δύο μη κενά σύνολα, \{A_{1}, A_{2}\} μια διαμέριση του X και \{B_{1}, B_{2}, B_{3}\} μια διαμέριση του Y, να δείξετε ότι η \big\{ A_{i} \times B_{j} : i \in \{1, 2\}, j \in \{1, 2, 3\} \big\} είναι μια διαμέριση του X \times Y.
Είναι απόλυτα τετριμμένο. Δίνω μόνο υπόδειξη με το παρακάτω σχήμα. Δεν αξίζει περισσότερο μελάνι.

nikolauoi, περιμένουμε εδώ να συμπληρώσεις τις λεπτομέρειες.
Συνημμένα
diamerisi.png
diamerisi.png (2.84 KiB) Προβλήθηκε 365 φορές


nikolasuoi
Δημοσιεύσεις: 30
Εγγραφή: Δευ Μάιος 16, 2016 11:13 am

Re: Διαμέριση του Χ x Υ

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nikolasuoi » Παρ Ιούλ 26, 2019 12:47 am

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Πέμ Ιούλ 25, 2019 11:55 pm
nikolasuoi έγραψε:
Πέμ Ιούλ 25, 2019 7:50 pm
Αν X, Y είναι δύο μη κενά σύνολα, \{A_{1}, A_{2}\} μια διαμέριση του X και \{B_{1}, B_{2}, B_{3}\} μια διαμέριση του Y, να δείξετε ότι η \big\{ A_{i} \times B_{j} : i \in \{1, 2\}, j \in \{1, 2, 3\} \big\} είναι μια διαμέριση του X \times Y.
Είναι απόλυτα τετριμμένο. Δίνω μόνο υπόδειξη με το παρακάτω σχήμα. Δεν αξίζει περισσότερο μελάνι.

nikolauoi, περιμένουμε εδώ να συμπληρώσεις τις λεπτομέρειες.

Γνωρίζω ότι πρέπει \big\{ A_{i} \times B_{j} \big\} = \cup X\times Y και \cap \left \{ \right.A_{i} \times B_{j}\left. \right \}= \oslash
όμως δυσκολεύομαι με την ολοκληρωμένη γραφή της απόδειξης.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12135
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Διαμέριση του Χ x Υ

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Παρ Ιούλ 26, 2019 9:14 am

nikolasuoi έγραψε:
Παρ Ιούλ 26, 2019 12:47 am
Γνωρίζω ότι πρέπει \big\{ A_{i} \times B_{j} \big\} = \cup X\times Y και \cap \left \{ \right.A_{i} \times B_{j}\left. \right \}= \oslash
όμως δυσκολεύομαι με την ολοκληρωμένη γραφή της απόδειξης.
Κάνε προσπάθεια γιατί είναι ΠΟΛΥ απλό.

Ας επισημάνω ότι τα \big\{ A_{i} \times B_{j} \big\} = \cup X\times Y και \cap \left \{ \right.A_{i} \times B_{j}\left. \right \}= \oslash που γράφεις ως αποδεικτέα, είναι λάθος. Το πρώτη πρέπει να γίνει \cup \big\{ A_{i} \times B_{j} \big\} = X\times Y ενώ στο δεύτερο δεν θέλουμε η τομή όλων των  A_{i} \times B_{j} να είναι κενό αλλά ανά ζεύγη. Αυτά βγαίνουν (υπόδειξη:) από τις αντίστοιχες ιδιότητες των A_{i} ,\,  B_{j}.


nikolasuoi
Δημοσιεύσεις: 30
Εγγραφή: Δευ Μάιος 16, 2016 11:13 am

Re: Διαμέριση του Χ x Υ

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nikolasuoi » Παρ Ιούλ 26, 2019 11:46 pm

\left ( \left ( \forall i\in \left \{ 1,2 \right \} \right ) A_{i}\subseteq X\right )\wedge \left ( \left ( \forall j\in \left \{ 1,2,3 \right \} \right ) B_{j}\subseteq Y\right ) \Rightarrow \left ( \forall \left (i,j \right )\in \left \{ 1,2 \right \}\times \left \{ 1,2,3 \right \} \right )A_{i}\times B_{j}\subseteq X\times Y \Rightarrow \cup _{\left (i,j \right )\in \left \{ 1,2 \right \}\times \left \{ 1,2,3 \right \}}A_{i}\times B_{j}\subseteq X\times Y.

Αντίστροφα, για τυχόν ζεύγος \left ( x,y \right ) έχουμε:

\left ( x,y \right )\in X\times Y\Leftrightarrow \left ( x\in X\wedge y\in Y \right )\Rightarrow \left ( \left ( \exists i\in \left \{ 1,2 \right \} \right )x\in A_{i} \right )\wedge \left ( \left ( \exists j\in \left \{ 1,2,3 \right \} \right )y\in B_{j} \right )\Leftrightarrow \left (\exists \left (i,j \right )\in \left \{ 1,2 \right \}\times \left \{ 1,2,3 \right \} \right )\left ( x,y \right )\in A_{i}\times B_{j}\Rightarrow \left ( x,y \right )\in \cup _{\left (i,j \right )\in \left \{ 1,2 \right \}\times \left \{ 1,2,3 \right \}}A_{i}\times B_{j}.

Άρα
\cup _{\left (i,j \right )\in \left \{ 1,2 \right \}\times \left \{ 1,2,3 \right \}}A_{i}\times B_{j}=X\times Y

Επιπλέον, αν ισχύει \left ( i,j \right )\neq \left ( u,v \right ) , έχουμε i\neq u \vee j\neq v, οπότε παίρνουμε:

i\neq u\vee j\neq v\Rightarrow A_{i}\cap A_{u}=\varnothing \vee B_{j}\cap B_{v}=\varnothing \Rightarrow \left ( A_{i}\cap A_{u} \right )\times \left ( B_{j}\cap B_{v} \right )=\left ( A_{i}\times B_{j} \right )\cap \left ( A_{u}\times B_{v} \right )=\varnothing.

Επομένως, η \left \{ A_{i}\times B_{j} \right \} είναι μια διαμέριση του X\times Y.

Είναι ολοκληρωμένη τωρα; Υπάρχει κάποια ένσταση; Γίνεται ακόμα πιο απλά;


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12135
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Διαμέριση του Χ x Υ

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Σάβ Ιούλ 27, 2019 12:58 am

nikolasuoi έγραψε:
Παρ Ιούλ 26, 2019 11:46 pm
Είναι ολοκληρωμένη τωρα; Υπάρχει κάποια ένσταση; Γίνεται ακόμα πιο απλά;
:10sta10:

Το μόνο σχόλιο που έχω είναι ότι γράφεις πολύ φορμαλιστικά για ένα τόσο απλό, τετριμμένο, θέμα. Σωστός μεν ο φορμαλισμός, αλλά δεν πρέπει να κάνουμε τα εύκολα να φαίνονται δύσκολα.


nikolasuoi
Δημοσιεύσεις: 30
Εγγραφή: Δευ Μάιος 16, 2016 11:13 am

Re: Διαμέριση του Χ x Υ

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nikolasuoi » Σάβ Ιούλ 27, 2019 1:20 am

Ευχαριστώ πάρα πολύ για την ενασχόληση.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Μαθηματική Λογική & Θεμέλια Μαθηματικών”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης