Συνέπεια αξιωματικού συστηματος

[stranger]

Να αποδειχθεί ότι αν η ZFC είναι συνεπής τότε υπάρχει ένα αξιωματικό σύστημα T, έτσι ώστε το T να είναι συνεπές και το Τ να αποδεικνύει το θεώρημα ότι το T δεν είναι συνεπές.

[stranger]

Ας δώσω εγώ τη λύαη. Πρώτα να ξεκαθαρίσουμε κάποια πράγματα.Εκτός από την αξιωματική θεωρία ενός αξιωματικού συστήματος(formal theory) υπάρχει στα μαθηματικά και η μεταθεωρία(metatheory) η οποία ασχολείται με τις ιδιότητες των αξιωματικών συστημάτων.
Για παράδειγμα τα θεωρήματα του Godel ανήκουν στην μεταθεωρία και δεν είναι θεωρήματα της ZFC η οποιουδήποτε άλλου αξιωματικού συστήματος.
Είναι μεταθεωρήματα. Στην μεταθεωρία ασχολούμαστε με έννοιες όπως συνέπεια η πληρότητα αξιωματικών συστημάτων. Εδώ πρέπει να πούμε ότι τα μεταθεωρήματα ανήκουν σε άλλο επίπεδο σε σχέση με τα θεωρήματα ενός αξιωματικού συστήματος.Καλό είναι να μην τα συνδέουμε αυτά τα δύο.Για παράδειγμα όσον αφορά την πρόταση "Η ZFC είναι συνεπής" υπάρχει τέτοια πρόταση και στο "formal theory" και στο metatheory. Όπως είπαμε και πριν οι δυο προτάσεις αυτές δεν ταυτίζονται,αλλά ανήκουν σε διαφορετικό επίπεδο.
Για την λύση της άσκησης χρησιμοποιούμε το μεταθεώρημα του Godel που λέει ότι αν η ZFC είναι συνεπής(μεταθεωρηρικά) τότε η ZFC δεν αποδεικνύει την πρόταση CON(ZFC), όπου CON(ZFC) είναι μια πρόταση στο "formal theory" που μεταφράζεται "Η ZFC είναι συνεπής".
Τώρα για την λύση της άσκησης έχουμε:
Αφού η ZFC είναι συνεπής(από υπόθεση) έχουμε από το θεώρημα του Godel ότι το αξιωματικό σύστημα ZFC + not(CON(ZFC)) είναι συνεπές,(not(CON(ZFC)) είναι η άρνηση της πρότασης "CON(ZFC)"). Έστω λοιπόν Τ= ZFC + not(CON(ZFC)). Τότε το Τ είναι συνεπές.
Άρα λοιπόν στο T ισχύει η πρόταση not(CON(ZFC)).Άρα επειδή η ZFC είναι υποσύστημα του Τ,θα ισχύει και η πρόταση not(CON(T)).
Άρα το Τ είναι συνεπές και αποδεικνύει την πρόταση not(CON(T)).